广东省清远市平安学校2021-2022学年高三数学理模拟试题含解析

广东省清远市平安学校2021-2022学年高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.复数（是虚数单位）的虚部为(

)A．

B．

C．

D．参考答案：C2..某同学为了模拟测定圆周率，设计如下方案；点满足不等式组，向圆内均匀撒M粒黄豆，已知落在不等式组所表示的区域内的黄豆数是N，则圆周率π为（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】作出平面区域，根据黄豆落在区域内的概率列方程得出π的值．【详解】作出点D所在的平面区域如图所示：黄豆落在内的概率，即，故．故选：D．【点睛】本题考查利用随机模拟求，考查几何概型的概率计算，属于中档题．3.执行下图所示的程序框图，为使输出M的值大于9，则输入的正整数t的最小值为（

）A．2

B．3

C.4

D．5参考答案：C4.在等差数列中，已知，则的值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D5.用秦九韶算法计算多项式在时的值时，v3的值为(

)

A.3

B.5

C.－3

D.2参考答案：B略6.在△ABC中，，．若点D满足，则=(

) A． B． C． D．参考答案：A考点：向量加减混合运算及其几何意义．分析：把向量用一组向量来表示，做法是从要求向量的起点出发，尽量沿着已知向量，走到要求向量的终点，把整个过程写下来，即为所求．本题也可以根据D点把BC分成一比二的两部分入手．解答： 解：∵由，∴，∴．故选A点评：用一组向量来表示一个向量，是以后解题过程中常见到的，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好运算，才能用向量解决立体几何问题，三角函数问题，好多问题都是以向量为载体的7.如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E，F为CD上任意两点，且EF的长为定值，则下面的四个值中不为定值的是（）A．点Q到平面PEF的距离 B．直线PE与平面QEF所成的角C．三棱锥P﹣QEF的体积 D．二面角P﹣EF﹣Q的大小参考答案：B【考点】直线与平面所成的角．【分析】根据线面平行的性质可以判断A答案的对错；根据线面角的定义，可以判断C的对错；根据等底同高的三角形面积相等及A的结论结合棱锥的体积公式，可判断B的对错；根据二面角的定义可以判断D的对错，进而得到答案．【解答】解：A中，取B1C1的中点M，∵QEF平面也就是平面PDCM，Q和平面PDCM都是固定的，∴Q到平面PEF为定值；B中，∵P是动点，EF也是动点，推不出定值的结论，∴就不是定值．∴直线PE与平面QEF所成的角不是定值；C中，∵△QEF的面积是定值．（∵EF定长，Q到EF的距离就是Q到CD的距离也为定长，即底和高都是定值），再根据A的结论P到QEF平面的距离也是定值，∴三棱锥的高也是定值，于是体积固定．∴三棱锥P﹣QEF的体积是定值；D中，∵A1B1∥CD，Q为A1B1上任意一点，E、F为CD上任意两点，∴二面角P﹣EF﹣Q的大小为定值．故选：B．【点评】本题考查的知识点是直线与平面所成的角，二面角，棱锥的体积及点到平面的距离，其中两线平行时，一条线的上的点到另一条直线的距离相等，线面平行时直线上到点到平面的距离相等，平面平行时一个平面上的点到另一个平面的距离相等是解答本题的关键．8.=(

)A．1+2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．﹣1﹣2i参考答案：D【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：原式===﹣1﹣2i，故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则，属于基础题．9.函数有4个零点，其图象如下图，和图象吻合的函数解析式是（

）A．

B．C．

D．参考答案：D10.已知实数x，y满足，则z=3x﹣y的最大值为（）A．﹣5 B．1 C．3 D．4参考答案：C【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据z的几何意义，利用数形结合即可得到z的最大值．【解答】解：不等式组，对应的平面区域如图：由z=3x﹣y得y=3x﹣z，平移直线y=3x﹣z，则由图象可知当直线y=3x﹣z经过点A时直线y=3x﹣z的截距最小，此时z最大，为3x﹣y=3．，解得，即A（1，0），此时点A在z=3x﹣y，解得z=3，故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数的反函数是，则反函数的解析式是．参考答案：12.已知函数的最大值为1，则．参考答案：13.己知x>0，y>0，且，则x+y的最大值是______.参考答案： 14.已知，，与的夹角为60°，则____．参考答案：【分析】利用两个向量的数量积的定义求出，再利用|2-|=即可得解.【详解】因为=2，=3，、的夹角为60°，所以=23=3，所以|2-|==.故答案为.【点睛】本题考查两个向量的数量积的定义，向量的模的定义，求向量的模的方法．15.已知函数，实数m，n满足，且，若在区间上的最大值是2，则的值为______.参考答案：16【分析】利用函数的单调性可得||＝2，或＝2，分别检验两种情况下的最大值是否为2，可得结论．【详解】由题意得﹣＝，∴n，且,又函数在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，∴||＝2，或＝2．∴当||＝2时，m，又n，∴n＝e，此时，f（x）在区间[m2，n]上的最大值为2，满足条件．当＝2时，n＝，m，此时，f（x）在区间[m2，n]上最大值为||＝4，不满足条件．综上，n＝e，m．,故答案为．【点睛】本题考查了含绝对值函数的单调性、函数的最值的求法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．16.直线与圆相交于、两点且，则__________________参考答案：0圆的圆心为,半径。因为，所以圆心到直线的距离，即，所以，平方得，解得。17.现从甲、乙、丙人中随机选派人参加某项活动，则甲被选中的概率为

.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，（1）求（2）若，△ABC的面积为，求b，c.参考答案：：（1）（2）或（1）由得即从而（2）由于，所以又，即，解得由余弦定理，得解方程组，得或19.（本小题满分10分）己知曲线的极坐标方程是．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系．在平面直角坐标系中，直线经过点，倾斜角为．(1)写出曲线的直角坐标方程和直线，的参数方程；(2)设直线，与曲线相交于两点，求的值.参考答案：20.（12分）已知函数f（x）=ex﹣ax2，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线在x轴上的截距为．（1）求实数a的值；（2）设g（x）=f（2x）﹣f（x），求证：g（x）在R上单调递增．参考答案：（1）函数的导数f′（x）=ex﹣2ax，f′（1）=e﹣2a，f（1）=e﹣a，∴y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣（e﹣a）=（e﹣2a）（x﹣1），由y=0，得x=，∵切线在x轴上的截距为．∴=．解得a=1．（2）由（1）知f（x）=f（x）=ex﹣x2，则g（x）=e2x﹣ex﹣3x2，函数的导数g′（x）=2e2x﹣ex﹣6x，令h（x）=2e2x﹣ex﹣6x，h′（x）=2e2x﹣ex﹣6，令h′（x）＞0，得或（舍去），∴当x＞ln时，h（x）递增，当x＜ln时，h（x）递减，∴h（x）≥h（）=2（）2﹣﹣6ln=﹣6ln＞=，下面证明：ln（x+1）≤x，（x＞﹣1），设d（x）=ln（x+1）﹣x，则d′（x）=，则d（x）在（﹣1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，∴d（x）≤d（0）=0，∴ln（x+1）≤x，∴ln（+3）≤，∴h（x），即g（x）在R上单调递增．21.已知曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线的参数方程为（为参数）.（1）求曲线的直角坐标方程与直线的普通方程；（2）设曲线与直线相交于两点，以为一条边作曲线的内接矩形，求该矩形的面积。参考答案：解：（1）对于：由，得，进而

对于：由（为参数），得，即.（2）由（1）可知为圆，圆心为，半径为2，弦心距，.弦长，.因此以为边的圆的内接矩形面积略22.（本小题满分12分）交通指数是指交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通指数T.其范围为[0，10],分别有五个级别：T畅通；基本畅通；轻度拥堵；中度拥堵；严重拥堵.在晚高峰时段，从贵阳市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示.(1)

求出轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段各有多少个？(2)

用分层抽样的方法从轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段中共抽出6个路段，求依次抽取的三个级别路段的个数；(3)

从（2）中抽取的6个路段中任取2个，求至少一个路段为轻度拥堵的概率.参考答案：【知识点】统计与概率.

I1

I2

K2【答案解析】(1)轻度拥堵的路段有6个，中度拥堵的路段有9个，严重拥堵的路段有3个；（2）2,3,1；（3）.解析：（1）由直方图得：这20个路段中，轻度拥堵的路段有（0.1+0.2）个，中度拥堵的路段有个，严重拥堵的路段有个.----------4分（2）由（1）知：拥堵路段共有6+9+3=18个，按分层抽样，从18个路段选出6个，依次抽取的三个级别路段的个数分别为，即从交通指数在的路段中分别抽取的个数为2,3,1.-------8分（3）记选出的2个轻度拥堵路段为,选出的3个中度拥堵路段为,选出的1个严重拥