正余弦定理习题课

(2)a=2RsinA,b=2RsinB,

;(3)sinA=sinB=,sinC=等形式,以解决不同的三角形问题.返回目录

1.正弦定理:其中R是三角形外接圆的半径.由正弦定理可以变形为:a:b:c=sinA:sinB:sinC;(1)

2R

c=2RsinC

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2.余弦定理:a2=

,b2=

,c2=

.余弦定理可以变形为:cosA=

,cosB=

,cosC=

.

3.S△ABC=absinC=

=acsinB==(a+b+c)·r（r是三角形内切圆的半径），并可由此计算R,r.b2+c2-2bccosAa2+c2-2accosBa2+b2-2abcosCbcsinA

第2页/共38页第二页，共39页。A为锐角A为钝角或直角图形关系式a=bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的个数一解两角一解一解返回目录

解三角形的类型△ABC中,已知a,b和A时,解的情况如下:第3页/共38页第三页，共39页。返回目录

7.实际问题中的常用角

(1)仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线

叫仰角，目标视线在水平视线

叫俯角（如图3-7-1中①).

6.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等.上方下方

第4页/共38页第四页，共39页。(2)方位角指从

方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图3-7-1②).(3)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数.返回目录

正北

第5页/共38页第五页，共39页。返回目录

(1)在△ABC中,a=,b=,B=45°.求角A,C和边c;(2)在△ABC中,a=8,B=60°,C=75°,求边b和c.【分析】已知两边及一边对角或已知两角及一边,可利用正弦定理解这个三角形,但要注意解的判断.考点一正弦定理的应用

第6页/共38页第六页，共39页。返回目录

【解析】(1)由正弦定理得sinA=.∵a>b,∴A=60°或A=120°.①当A=60°时,C=180°-45°-60°=75°,∴c=.②∵当A=120°时,C=180°-45°-120°=15°,∴c=.由①②知,A=60°,C=75°,c=或A=120°,C=15°,c=.

第7页/共38页第七页，共39页。(2)∵B=60°,C=75°,∴A=45°.由正弦定理,得b=·a=4,c=·a=4+4.返回目录

第8页/共38页第八页，共39页。在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且.(1)求B的大小;(2)若b=,a+c=4,求△ABC的面积.【分析】由,利用余弦定理转化为边的关系求解.考点二余弦定理的应用返回目录

第9页/共38页第九页，共39页。返回目录

【解析】(1)由余弦定理知,cosB=,cosC=.

将上式代入得整理得a2+c2-b2=-ac,∴cosB=∵B为三角形的内角，∴B=π.

第10页/共38页第十页，共39页。(2)将b=,a+c=4,B=代入b2=a2+c2-2accosB,得b2=(a+c)2-2ac-2accosB，∴b2=16-2ac(1-),∴ac=3.∴S△ABC=acsinB=.返回目录

第11页/共38页第十一页，共39页。＊对应演练＊在△ABC中,a,b,c为A,B,C的对边,B=,b=,a+c=4,求a.由余弦定理b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-2accos=a2+c2+ac=(a+c)2-ac,∵a+c=4,b=,∴ac=3,a+c=4ac=3,返回目录

联立解得a=1或a=3.

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在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,且b2+c2-a2+bc=0.(1)求角A的大小;(2)若a=,求bc的最大值;(3)求的值.考点三正、余弦定理的综合应用

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【解析】(1)∵cosA=又∵A∈(0,180°),∴A=120°.(2)由a=,得b2+c2=3-bc,

又∵b2+c2≥2bc（当且仅当c=b时取等号），∴3-bc≥2bc(当且仅当c=b时取等号）.

即当且仅当c=b=1时,bc取得最大值为1.

第14页/共38页第十四页，共39页。(3)由正弦定理得∴返回目录

第15页/共38页第十五页，共39页。返回目录

＊对应演练＊已知△ABC是半径为R的圆内接三角形,且2R(sin2A-sin2C)=(a-b)sinB.(1)求角C;(2)试求△ABC面积S的最大值(1)由2R(sin2A-sin2C)=(a-b)sinB,两边同乘以2R,得(2RsinA)2-(2RsinC)2=(a-b)2RsinB,根据正弦定理,得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,∴a2-c2=(a-b)b,即a2+b2-c2=ab.

第16页/共38页第十六页，共39页。再由余弦定理,得cosC=,又0<C<π,∴C=.(2)∵C=,∴A+B=.S=absinC=(2RsinA)(2RsinB)=R2sinAsinB=-R2［cos(A+B)-cos(A-B)］=R2〔+cos(A-B)〕.∵0<A<π,0<B<π,∴-π<A-B<π,当且仅当A-B=0,即A=B=时,sin(A-B)=1,S取到最大值R2.返回目录

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已知方程x2-(bcosA)x+acosB=0的两根之积等于两根之和，且a,b为△ABC的两边，A,B为两内角，试判定这个三角形的形状.考点四判断三角形的形状【分析】先由已知条件得出三角形的边角关系.要判定三角形的形状，只需将边角关系转化为边之间或角之间的关系即可判定.

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【解析】方法一:设方程的两根为x1,x2，由韦达定理知x1+x2=bcosA,x1x2=acosB.由题意有bcosA=acosB,根据余弦定理得b·=a·,∴b2+c2-a2=a2+c2-b2,化简得a=b,∴△ABC为等腰三角形.

第19页/共38页第十九页，共39页。方法二:同方法一得bcosA=acosB,由正弦定理得2RsinBcosA=2RsinAcosB,∴sinAcosB-cosAsinB=0,即sin(A-B)=0.∵0＜A＜π,0＜B＜π，∴-π＜A-B＜π.∴A-B=0，即A=B.故△ABC为等腰三角形.返回目录

第20页/共38页第二十页，共39页。＊对应演练＊在△ABC中，sinA=，试判断△ABC的形状.返回目录

第21页/共38页第二十一页，共39页。解法一：由条件,得∵≠0(否则A=π),∴2sin2=1,即cosA=0.又∵0＜A＜π,∴A=,即△ABC为直角三角形.返回目录

第22页/共38页第二十二页，共39页。解法二:用正、余弦定理得a()=a+b.化简，得a2=b2+c2,故△ABC为直角三角形.返回目录

第23页/共38页第二十三页，共39页。考点七解三角形在△ABC中，BC=a，AC=b，a,b是方程x2-2x+2=0的两个根，且2cos(A+B)=1.求：（1）角C的度数；（2）AB的长；（3）△ABC的面积.

【分析】解三角形时要注意利用隐含条件A+B+C=π,然后再利用正、余弦定理求之.返回目录

第24页/共38页第二十四页，共39页。

【解析】

(1)由题意知cosC=cos［π-(A+B)］

=-cos(A+B)=-,∴C=120°.(2)∵a,b是方程x2-2x+2=0的两个根,a+b=2a·b=2.∴AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cosC=b2+a2-2abcos120°=b2+a2+ab=(a+b)2-ab=(2)2-2=10.∴AB=.∴返回目录

第25页/共38页第二十五页，共39页。(3)S△ABC=·a·b·sinC=·a·b·sin120°=×2×=.

【评析】在△ABC中已知两边a,b的关系，需再知一个条件，才能确定第三边.这样，需充分利用2cos(A+B)=1，并注意利用韦达定理、余弦定理及面积公式.返回目录

第26页/共38页第二十六页，共39页。再见第27页/共38页第二十七页，共39页。返回目录

某观测站在城A的南偏西20°的方向,由城A出发的一条公路,走向是南偏东40°,在C处测得公路上B处有一人,距C为31千米,正沿公路向A城走去,走了20千米后到达D处,此时CD间的距离为21千米,问:这人还要走多少千米才能到达A城?【分析】正确画出图形,综合运用正弦定理与余弦定理解题.考点五测量问题

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【解析】本题为解斜三角形的应用问题,要求这人走多少路可到达A城,也就是要求AD的长.在△ACD中,已知CD=21千米,∠CAD=60°,只需再求出一个量即可.

如图,令∠ACD=α,∠CDB=β,在△CBD中,由余弦定理得

第29页/共38页第二十九页，共39页。∴sinβ=.而sinα=sin(β-60°)=sinβcos60°-sin60°cosβ=在△ACD中,,∴AD==15(千米).∴这个人再走15千米就可到达A城.返回目录

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如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.现测得∠BCD=α,∠BDC=β,CD=s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.＊对应演练＊

第31页/共38页第三十一页，共39页。在△BCD中，∠CBD=π-α-β.由正弦定理，得.所以在Rt△ABC中，AB=BCtan∠ACB=返回目录

第32页/共38页第三十二页，共39页。返回目录

沿一条小路前进，从A到B，方位角（从正北方向顺时针转到AB方向所成的角）是50°,距离是3km,从B到C,方位角是110°,距离是3km,从C到D,方位角是140°,距离是(9+3)km.试画出示意图,并计算出从A到D的方位角和距离(结果保留根号).【分析】画出示意图,要求A到D的方位角,需要构造三角形,连接AC,在△ABC中,可知∠BAC=30°,用余弦定理求出AC,再在△