2022-2023学年上海初二下学期同步讲义第1讲 一次函数的概念及图像(含详解)

第1讲一次函数的概念及图像

模块一：一次函数的概念

知识精讲

1、一次函数的概念

(1)一般地，解析式形如y=(k,。是常数，且%/0)的函数叫做一次函

数；

(2)一次函数>=丘+6的定义域是一切实数；

(3)当匕=0时，解析式y=履+〃就成为y=区(&是常数，且上片0)这时，y是x

的正比例函数，所以正比例函数是一次函数的特例；

(4)一般地，我们把函数y=c(为常数)叫做常值函数.它的自变量由所讨论的问

题确定.

例题解析

例1.下列函数中，哪些是一次函数？

(1)y=3x2—2；(2)y—1=2x；(3)y=，w(x—5)(〃?X0)；

(4)y=ax+—(a^Qi)；(5)y=kx+—(k^O)；(6)y=-(%+3)x(女工一3).

ax

例2.(1)己知函数y=(r-2)x+l是一次函数，则A的取值范围是；

(2)当止时，函数尸产一-("⑼是一次函数，且不是正比例函数.

例3.已知一个一次函数，当自变量x=-2时，函数值为y=-l；当x=2时，y=ll.求这

个函数的解析式.

例4.已知一次函数y=(Z-l)/3+3+7是一次函数，求实数《的值.

例5.(2020•上海市格致初级中学)如图，正方形/腼的顶点/、6落在x轴正半轴上，

点。落在正比例函数尸(A>0)上，点〃落在直线y=2x上，且点〃的横坐标为a.

(1)直接写出/、B、C,〃各点的坐标(用含a的代数式表示)；

(2)求出力的值；

(3)将直线OC绕点。旋转，旋转后的直线将正方形/崎的面积分成1：3两个部分，求

旋转后得到的新直线解析式.

模块二：一次函数的图像

知识精讲

1、一次函数的图像:

一般地，一次函数丫="+人（A,6是常数，且&X0）的图像是一条直线.一次函数y=jlr+b

的图像也称为直线y="+〃，这时，我们把一次函数的解析式y="+匕称为这一直线的表

达式.

画一次函数丫=自+匕的图像时，只需描出图像上的两个点，然后过这两点作一条直线.

2、一次函数的截距：

一条直线与y轴的交点的纵坐标叫做这条直线在y轴上的截距，简称直线的截距，

一般地，直线y=+匕（&力0）与y轴的交点坐标是（0，b）,直线），=依+人（%#0）的

截距是b.

3、一次函数图像的平移：

一般地，一次函数丫=丘+匕（6x0）的图像可由正比例函数丫=依的图像平移得到.当6＞0

时，向上平移回个单位；当人＜0时，向下平移例个单位.

（函数平移口诀简记为：“上加下减，左加右减”）

4、直线位置关系：

如果々那么直线y=h+伉与直线y=丘+8平行.

反过来，如果直线＞=4/+a与直线y=&x+%平行，那么匕=&,b产瓦.

例题解析

例1.若一次函数y=（3-a）x+（"-9）函数图像过原点，求a的值，并在坐标系中画出函数

的图像.

例2.若一次函数丁=依+。，当下2时，片T,且函数图像的截距为-3,求函数的解析式.

例3.若一次函数产-x+b的图像的截距是-4,求将这个一次函数向左平移2个单位后的函

数解析式.

例4.将直线尸-0x+l向右平移1个单位，相当于将直线片-0x+l向上平移了多少个单

位？

7

例5.已知一次函数的图像平行于直线尸士x,且当x=-3时，函数y的值是1,求这个函数

3

解析式.

例6.若直线y=(,“2-3)x+(2〃?+1)与直线y=-2x+3平行，求勿的值.

例7.根据下列条件，求解相应的直线表达式.

(1)直线经过(3,2)以及(1,1)；

(2)直线经过(7,0)以及截距是14；

(3)直线经过(-3,0)以及截距是-0.

例8.直线y=（1-3k2）x+（2k-2）与已知直线y=-2x+\平行，且不经过第三象限，求女的值.

例9.设点。（3,加，0（〃，2）都在函数片户8的图象上，求而〃的值.

例10.设一次函数>=丘+6的图像过点尸（3,2）,它与x轴、y轴的正半轴分别交于从B

两点，且曲+力>12时，求一次函数的解析式.

例11.已知一次函数丫=怨1%与丫=-：》+£的图像在第四象限内交于一点，求整数

m的值.

例12.已知两个一次函数y=--x-4fty=-x+-

42aa

(1)“、6为何值时，两函数的图像重合？

(2)。、〃满足什么关系时，两函数的图像相互平行？

(3)a、〃取何值时，两函数图像交于x轴上同一点，并求这一点的坐标.

例13.(1)一次函数y=3x+b的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为48,求6的值；

(2)一次函数丫=依+/>的图像与两坐标围成的三角形的面积是10,截距是否，求一次函

数的解析式.

例14.(1)求直线y=gx-4和y=2x+2与y轴所围成的三角形的面积;

(2)求直线y=2x-4与直线y=-3x+l与x轴所围成的三角形的面积.

例15.如图，已知由x轴、一次函数y="+4(k<0)的图像及分别过点C(l,0)、。(4,0)

两点作平行于y轴的两条直线所围成的图形48%的面积为7,试求这个一次函数的解析式.

模块三：一次函数的性质

知识精讲

1、一次函数的增减性：

一般地，一次函数丫=履+人（％力为常数，具有以下性质：

当&>0时，函数值y随自变量X的值增大而增大，图像为上升；

当后<0时，函数值y随自变量x的值增大而减小，图像为下降.

2、一次函数图像的位置情况：

直线y=+6片0）过（0,3）且与直线y=Ax平行，由直线y=fcc在平面直角坐标

系内的位置情况可知：（要用图像的平移推导可得）

当%>0,且6>0时，直线y=+6经过一、二、三象限；

当々>0,且匕<0时，直线y=丘+〃经过一、三、四象限；

当大<（）,且b>0时，直线丁=履+人经过一、二、四象限；

当&<0,且8<0时，直线y=H+6经过二、三、四象限.

例题解析

例1.如果一次函数尸府+6的图象经过第一象限，且与y轴负半轴相交，那么（）

A.k>0,b>0B.k>0,ZKOC.kvO,b>0D.k<0,b<0

例2.一次函数片一2广3的图象不经过的象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

例3.根据下列条件填空：

（1）已知函数y=（，〃-l）x“TM+5+（m-3）,当机等于时，它是一次函数，此时它的

图象经过象限，y随x的增大而；

（2）如果一次函数y=2x和y=x+Z的图象的交点在第一象限，则A的取值范围是

（3）己知关于x的一次函数y=（2"-7）x+a-2的图象与y轴的交点在x轴的上方，且y

随x的增大而减小，则a的取值范围是

例4.设将一次函数y=+a与y=分+〃的图像画在同一平面直角坐标系内，则有

一组%〃取值，使得下列四幅图中的一个为正确的是（）

展）的君哂

ABCD

例5.若36是一元二次方程/+*-|4=0的两个实根（妙#0）,在一次函数y=+b

中，y随x的增大而减小，则一次函数的图像一定经过（）

A、第一、二、四象限B、第一、二、三象限

C、第二、三、四象限D、第一、三、四象限

例6.已知必CH（）,而且厘=处£=*=°,那么直线y=Q:+2一定经过（）

cab

A、第一、二象限；B、第二、三象限；C、第三、四象限；D、第一、四象限

例7.在式子、="+6伏，匕为常数）中，当-34x41时,lMy49,求妨的值.

例8.已知一次函数y==—x+1中y随x的增大而增大，它的图像与两坐标轴构成的直角

2k-\

三角形的面积不超过3,反比例函数y=4逖的图像在第二、四象限，求满足以上条件

2x

的人的整数值.

例9.如图，已知函数y=x+l的图象与y轴交于点力,一次函数y=Ax+b的图象经过点反0,

-1),并且与x轴以及y=x+l的图象分别交于点GD；

(1)若点〃的横坐标为1,求四边形力筋的面积(即图中阴影部分的面积)；

(2)在第(1)小题的条件下，在y轴上是否存在这样的点只使得以点尸、B、。为顶点的

三角形是等腰三角形；如果存在，求出点一坐标；如果不存在，说明理由；

(3)若一次函数y=fcv+b的图象与函数y=x+l的图象的交点〃始终在第一象限，则系数

%的取值范围是(请直接写出结果).

例10.(2018•上海崇明区•八年级期中)已知：如图，在直角坐标平面中，点A在X轴

的负半轴上，直线y=+经过点A,与，轴相交于点M，点3是点A关于原点的

对称点，过点3的直线BC_Lx轴，交直线y=fcv+6于点C，如果NMAO=60°.

(1)求直线AC的表达式；

(2)如果点。在直线AC上，且AA3O是等腰三角形，请求出点。的坐标.

例11.(2018•上海普陀区•)如图，已知一次函数y=2x+4的图像与x轴、丁轴分别交

于点A、B,且BC〃AO,梯形AOBC的面积为10.

（1）求点A、B、C的坐标;

（2）求直线AC的表达式.

例12.（2017•上海）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-2叵工+4交y轴于点

A,交x轴于点B,以线段AB为边作菱形ABCD（点C、D在第一象限），且点D的纵坐标为

9.

（1）求点A、点B的坐标;

（2）求直线DC的解析式；

（3）除点C外，在平面直角坐标系xOy中是否还存在点P,使点A、B、D、P组成的四边

形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

例13.（2018•上海普陀区•）如图，在直角坐标xoy系中，点A的坐标是（2,0）、点B

的坐标是（0,2）、点C的坐标是（0,3）,若直线CD的解析式为y=-x+3,则弘硕为

随堂检测

1.根据下列与的关系式，判断是否是关于的一次函数？

（l）y+2x=-3；（2）xy=2xy-x；（3）-yjlx+3=gy-1.

2.已知：丫=（苏-〃2»"~，向+„/-3是一次函数，则花

3.已知一次函数y="+h（&力0）,把它的图像向右平移3个单位，再向下平移5个单位,

所得到的图像与原来的图像重合，则女=.

4.已知了=（旭+2）--+［表示关于*的一次函数;

（1）求函数解析式；（2）求f（10）,/（-■!■）的值；（3）如果f（a）=4,求实数a.

5.若直线>=,加+>+3的截距是4,且y随x的增大而减小，求该直线的函数解析式.

6.若2<0,£>0,请指出一次函数、=。或+公的图像所经过的象限.

aa

7.己知y=(4〃?-5)X2"「T+2X-(/M+1)X7+/1是一次函数，且当x=l时，y=5,试写出满足条

件的〃?和;I,并写出解析式.

8.已知一次函数y=(m-l)x+〃?-4不经过第二象限，求力的取值范围.

9.己知直线y=2x-3,把这条直线沿y轴向上平移5个单位，再沿x轴向右平移3个单位,

求两次平移后的直线解析式？

10.根据下列要求求一次函数解析式：

(1)一次函数经过4(2,3)且其与y轴的截距为-2；

(2)一次函数的截距为-5,且与y=&x+l无交点;

(3)一次函数的图像经过点M(—l.2,-4.5),N(2.4,2.7).

11.已知一次函数、="+6(女工0)与x轴、y轴围成的三角形面积为24,且与直线

y=±x-Z平行，求此一次函数的解析式.

33

12.直线《：y=H+b过点6(T,0)与)，轴交于点G直线4：y=与4交于点?(2,

5)且过点/(6,0),过点C与4平行的直线交x轴于点〃;

(1)求直线切的函数解析式;

(2)求四边形4R力的面积.

13.如图所示，直线y=-6x+2百与x轴、y轴分别交于点力和点反〃是y轴上的一

点，若将血3沿直线为折叠，点8恰好落在x轴正半轴上的点。处，求直线切的解析

式.

14.直线尸-与x轴、y轴分别交于点4、点反以线段48为直角边在第一象限内

作等腰RfAABC，HZBAC=90,如果在第二象限内有一点P(a,-),且A4BP的面积

2

与R/A4BC的面积相等，求a的值.

15.(2019•上海市民办新和中学八年级月考)如图，已知直线/：y=-@x+百交X轴

于点A，y轴于点3,将A4O3沿直线/翻折，点。的对应点。恰好落在双曲线

k

y=7(k>0)上.

(1)求人的值;

(2)将绕AC的中点旋转180。得到APC4,请判断点P是否在双曲线y=幺上,

x

并说明理由.

16.(2018•上海虹口区•八年级期末)如图，一次函数y=2户4的图象与x、y轴分别相

交于点从B,四边形4aD是正方形.

(1)求点4、B、〃的坐标；

(2)求直线做的表达式.

17.(2017•上海)如图，ZXA0B为正三角形，点B的坐标为(2,0),过点C(—2,0)作直线1交

AO于D,交AB于E,且使AADE和△□(：()的面积相等.求直线1的解析式.

18.(2018•上海市闵行区上虹中学)如图，直线尸Ax(x》0)与双曲线尸勺(x>0)相

x

交于点P(2,4).已知点4(4,0),8(0,3),连接48,将Rt4/1如沿8方向平移，使点。

移动到点R得到阳’.过点/'作/'%y轴交双曲线于点G连接以

(1)求k\与为的值;

(2)求直线/T的解析式；

(3)直接写出线段48扫过的面积.

19.(2020•上海同济大学附属实验中学八年级月考)在平面直角坐标系xOy中，点A

(0,3),点B(m,0),以AB为腰作等腰如图所示.

(1)若j.c的值为5平方单位，求m的值；

An

(2)记BC交y轴于点D,CE_Ly轴于点E,当y轴平分/BAC时，求一的值

(3)连接0C,当OC+AC最小时，求点C的坐标.

第17讲图形运动中函数关系的确定

解决这类问题的关键是动中求静，灵活运用有关数学知识解决问题，此类题目注重对几

何图形运动变化能力的考查.动态几何问题是近年来各地常见的压轴题，它能考查学生的多

种能力，有较强的选拔功能，解决这类问题的关键是“以静制动”，把动态的问题，变为静

态问题来观察，结合特殊三角形的相关知识解决这类问题.

模块一：动点求函数解析式

知识精讲

动点问题反映的是一种函数思想，由于某一个点或某图形又条件地运动变化，引起未知

量与已知量间的一种变化关系，这种变化关系就是动点问题中的函数关系，这部分压轴题主

要是在图形运动变化的过程中探求两个变量之间的函数关系，并根据实际情况确定自变量的

取值范围.

例题解析

例1.已知：在中，Z/l=90°,/庐力俏1,一是48边上不与/点、8点重合的任意一

个动点，PQ工BC于点Q,于点兄

(1)求证：P牛BQ；

(2)设於x,Cay,求y关于x的函数解析式，并写出定义域；

(3)当x为何值时，PR//BC.

【难度】★★

【解析】（1）证明：•.­ZA=90°,A8=AC=1,，NB=NC=45。.

又­.•PQLBQ,NBPQ=45°,

：qBPQ为等腰三角形，

：.PQ=BQ；

(2)解：在等腰直角A8P。中，-,BP=x,:.BQ=^-x

在A/A/WC中，BC=^AB1+BC2=Vf+I=V2

在等腰直角AC。/?中，CR=y,:.CQ=。，♦：CQ=BC-BQ

BP\[ly=\/2———x,y=--x+l,(0<x<1)

(3)解：•;PR//BC,PQ1BC,:.PR工PQ,

又•••△8PQ为等腰三角形，.•.尸。二乎以

-PRIIBC.PQLBC,:.PRLPQ

・.・PR//8C,.•./”/?=N8=45。，・・・NA=90,:.AP=AR

,?AP=l-x,：.PR=y/i(l-x).

PRA.PQ,APRQ=ZRQC=45°,

：.PR=PQ,即・•.学工=72(1-x),

2

3

【总结】本题主要考查等腰直角三角形的性质以及勾股定理的综合运用，第(3)问注意根

据平行得到角的关系，再进行计算.

例2.如图所示，已知：在灯中，/俏90°,尸是边上的一个动点，PQVPC.交

线段"的延长线与点Q.

(1)当於8c时，求证：B牛BP；

(2)当//=30°,4庐4时，设mx,BQ-y,求y关于x的函数解析式,并写出定义域.

【难度】★★

【解析】（1）iiE：­1•BP^BC,ZBPC=ZBCP.

：.PQ1PC

:.NBPC+NBPQ=90°,NBCP+NBQP=90°

ZBPQ=ZBQP

BQ=BP

(2)过P作尸〃_L8C,垂足为，

A

HBQ

・・・NACB=90。，ZA=30°,AB=4

...ZABC=60°,BC=2

BP=x,BH=-x,PH=—x

22

:.CH=2--x

2

PQ-=PH2+QH2,PQ2=CQ2-CP2=CQ2-(PH2+CH2)

:.PH2+QH2=CQ2-(PH2+CH2)

:.2PH2+QH2=CQ2-CH2

2

=(y+2)2

4y-孙=2x2-2x

2x2-2x,八

，y=-----------(l<x<4)

4-x、'

【总结】本题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质的综合运用，解题时注意从多个角度

进行分析.

例3.如图所示，已知：在服中，/090°,力仁6,点。是斜边四中点，gDE1AB,

交直线/C于点E；

(1)若/生30°,求线段龙的长；

(2)当点£在线段4C上时，设B(>x,C庐y,求y关于x的函数解析式，并写出定

义域；

(3)若上1,求比1的长.

【难度】★★

【解析】(1)联结破,

B

D

•.•NC=90。，ZA=30°,/.ZABC=60°

又•.•£)£垂宜平分AB，.•.ZA8E=N8AE=30。，

NCBE=ZABC-ZABE=30°

又•.♦NC=90。，..CEJBfJAi：

22

•.•AC=6,..3E=AE=4,CE=、BE=2,

2

线段CE的长为2：

(2)♦.•/)£•垂直平分回，AE=BE=6-y

在AM8CE中，BC2+CE2=BE2,BPx2+/=(6-y)2,

1,,

•*.y=3-—x"(0<x<6)；

(3)当点E在线段AC上时，由(2)得1=解得：x=2",

12

当点E在AC延长线上时，AE=BE=q,

在R/ABCE中，BC2+CE1=BE1,

即f+/=72,解得：x=4+，

综上所述，若CE=1,8c的长为2石或48.

【总结】考查学生对勾股定理、线段垂直平分线的性质及宜角三角形性质的综合运用，综合

性较强，第(3)小问注意要分类讨论.

例4.如图，在梯形四圈中，AD//BC,N45C=900,4B=BC=8,点、E在边48上,DEL

CE,班'的延长线与近的延长线相交于点尸.

(1)求证：DF=CE；

(2)当点£为4?中点时，求G?的长；

(3)没CE=x,AD=y,试用x的代数式表示y.

【难度】★★★

【答案】(1)详见解析；(2)C£)=10；(3)y=--x2+^x2-M+8.

8

【解析】(1)证明：过。作£>〃_LBC，垂足为H

'：AD//BC,//重=90",AB=BC,:.DH=AB=BC.

•/DEICE,NCEB+NBEF=90°,

ZF+NBEF=90°,/.ZCEB=ZF,

:.ACEB也GFH(A.A.S),CE=DF-.

(2)♦.•£；为/W中点，：.AE=BE,

^ADE且ABF£(AAS),DE=DF=^DF,

•.•BC=8，；.BE=4,BC=8,:.CE=48=DF,

:.DE=2亚,:.CD=y/DE2+CE2=10；

(3)-.CE=DF=x,8c=8,BE=y/x2-64,AE=S-\/x2-64.

-.-AD=y,DE1=V+卜-Vx2-64)'.

DHIBC,CD2=DH2+CH2=82+(8-yf.

DE2+CE2=CD2,j2+(8-＞/X2-64)-+x2=82+(8-y)2,

y=-x~+x~—64+8.

-8

【总结】考查梯形为背景下的三角形全等的判定及性质应用，同时运用勾股定理解决函数问

题.

例5.如图，在正方形4版中，48=4,点£是边切上的任意一点(不与心〃重合)，

将△/!庞沿翻折至延长跖交边比'于点C,联结

(1)求证：XABG^XAFG；

(2)若设施=x,BG=y,求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

(3)联结CE娄AG"CF,求〃的长.

【难度】★★★

【答案】(1)详见解析；(2)y=言(0＜》＜4)；

4

(3)DE=~.

3

【解析】(1)证明：由翻折易证

:.AD=AF,ZD=ZAFE=90°.

/.ZAFG=90°,/.ZAFG=ZB=90°.

•・,正方形四面，JAB=AD=AF.

•；AG=AG,...RMABG空R，AAFG（H.L）；

（2）・・•RAABG@RtdAFG,:.BG=FG=y,

0/DE=EF=x,:.GE=x+y.

・・・A8=4,:.EC=4-x,CG=4-y

•••（x+y）2=（4-X）2+（4-J）\

16-4x

・、y=（0<x<4）；

4+x

（3）vCF//4G,:.ZAGB=/FCG,ZAGF=ZCFG

•・・ZAGB=ZAGF,:"FCG=/CFG

GF=GC—BG=y92y=4,y=2,

4;.DE=±

4+x3

【总结】考查图形运动及动点问题结合全等三角形的综合应用能力，解题时注意对基本图形

的寻找.

例6.如图，正方形4%力的边长为6,点区b分别在边/〃、切上，AFEB=AEBC,

EF、%的延长线相交于点G,设｛£=x,BG=y.

(1)求y与x之间函数解析式，并写定义域；

(2)当点尸为切中点时，求四的长.

【难度】★★★

【答案】（1）y=^+—（0<x<6）:（2）隹的长为2或6.

［解析［解：（1）过点2?作EHLBC于点H,

;正方形力65，EH工BC,

：.BH=AE=x,EH=AB=6.

•：AFEB^AEBC,：.EG=BG=y,：.GH=y-x.

'：EG2=EH2+GH；Ay2=62+(y-x)2,

y=-^+—(0<x<6)；

(2)♦.•点尸为C£>中点，;.FD=FC.

DEIICG,“EDFgAGCF,

ED=GC,即6-x=y-6,y=\2-x.

/.12-x=-+—,即Y_8X+12=0,

2x

解得：X]=2,x2=6<

即AE的长为2或6.

【总结】本题主要考查正方形形的性质与勾股定理的综合运用，注意进行分析.

例7.如图所示，已知：在△48。中，N4®90°,Z/f=60°,/e3,点〃是边4?上的动点

(点〃与点48不重合)，过点〃作应'垂直于46交射线与其连接班；点厂是物的中

点，连接切、CF、DF.

(1)当点£在边〃■上(点£与点C不重合)时，设4介》,C&y.

①直接写出y关于x的函数解析式及定义域；

②求证：如是等边三角形；

(2)如果除2户,求出的长.

【难度】★★★

【解析】解：(1)①•.•NA=60。，DEYAB,:.ZAED=30°

:.AE=2AD=2x,又AC=AE+CE,/.3=2x+y,

y=-2x+3^0<x<-|j；

②证明：在RMECB和RMEDB中,N£CB=N1ED8=90。，

•rf是郎的中点，：.CF=DF=LBE=BF.

2

:.NFCB=NCBF,ZFDB=NDBF,：.NCFE=2NCBF,ZDFE=2NDBF,

NCFE+ZDFE=2(NCBF+ZDBF),即NCFD=2ZCBA.

ZA=60°,ZABC=30°,2CFD=60°,

.•.△CD尸是等边三角形；

(2)-：ZACB=90°,ZA=60°,AC=3,BC=3x/3.

在Rf^BCE中,CE=yjBE--BC2=1.

当点£在AC上时，AD=-A£=-(3-l)=l；

当点E在AC延长线上时，AD=-AE=^(i+\)=2.

综上所述：AD的长为1或2.

【总结】本题主要考查直角三角形的性质以及勾股定理及等边三角形的判定与性质的综合运

用，综合性较强，注意认真分析题中条件.

例8.如图，己知：在中，N的=90°,ZJ=30°,除3,。是边4c上的一个动点，

DEVAB,垂足为反点尸在界上，且游历，性FP'EF,交线段肪于点只交线段⑦的

延长线交于点G.

(1)求证：AI^FP；

(2)设力庆x,G4y,求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域;

(3)若点P到4C的距离等于线段征的长，求线段4〃的长.

【难度】★★★

【解析】（1）-：DE1.AB,ZA=3O°,

:.ZADE=6O°.

,.DE=DF,:.NDFE=/DEF=LzADE=30。.

2

\FPLEF,:.ZPFE=90°,/.ZPE4=90°+30°=120°,

/.ZFPA=30°=ZA,:.AF=FP；

(2)\DE-LAB,ZA=30°,DF=DE=-AD=-x,

22

13

/.FP=AP=x+—x=—x.

22

・；/BPG=/FPA=3(f,ZPBG=180°,ZCBA=90°,

.•./?G=-GP=-y,NG=90°-30°=60。.

22

NC=90。-30°=60°,；.AGCF是等边三角形,

13

；.GC=GF,即5y+3=y+]X,

/.y=6-3x(0<x<2)；

(3)若点P到AC的距离等于线段BP的长，则P为GF的中点，

34

:.GP=FP,BP6-3x=-x,解得：x=-,

23

即线段4)的长为d.

3

【总结】考查了等腰三角形的判定与性质、含30。角的直角三角形的性质，等边三角形的判

定与性质等知识的综合运用，综合性较强，有一定难度，要注意分析.

例9.如图，在直角中，N庐90°,/小30°,AO4,〃是47边上的一个动点(不与

4、C点重合)，过点〃作水?边的垂线，交线段比'于点色点尸是线段笈的中点，作■DH1

DF,交射线四于点H,交射线终于点G.

(1)求证：GD-DC-,

(2)设/氏x,HG=y.求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；

(3)当腓L时，求应的长.

2

【难度】★★★

【解析】(1)vEDlAC,ZC=30°,?是EC的中点，

:.DF=FC,NC=NFDC=30。，，NGFD=60。

vGDIDF,.*.ZCGD=ZC=30°,

:.GD=DC,,

(2)vZABC=90°,ZC=30°,AC=4,/.ZA=60°,AB=2.

YZ/7DA=ZC+ZCGD=60°,:.AH=HD=AD9

・.・A£)=X,AC=4,HG=y,/.GD=CD=4-x.

①若。"交线段AB的延长线于点H,HG+GD=ADf

:.y+4-x=x,/.y=2x-4(2<x<4)；

②若OH交线段AB于点“，有GD—GH=AD,

.\4-x-y=x,/.y=4-2x(l<x<2)；

(3)①若。"交线段AB的延长线于点”，

\BH=-NH=60,ZHBG=90,/.BG=—

292

・.・BC=2,:.CG=20-叵

22

②若DH交线段AB于点H,

J3

・；BH=—，ZG=30,/HBG=90,/.BG=—,

22

■.■BC=2,.-.CG=2V3+—=-V3；

22

综上所述，偌的长为3g或

22

【总结】本题主要考查对三角形内角和定理，等腰三角形的性质和判定，直角三角形斜边中

线性质，以及含30。角的直角三角形性质的综合应用，此题中还要注意分类讨论思想的运用.

模块二：图形运动求函数解析式

知识精讲

图形的运动考查的是变化中的不变量，通过翻折或者旋转后的图形特点，结合全等三角

形性质及直角三角形中的勾股定理，求边或角的关系.

例题解析

例1.如图，等腰梯形中，AD=BC=5,AB=2Q,龙=12,DHLAB,£是线段如上一动

点，在线段切上取点尸使力£=防设小=x,DF=y.

(1)当母〃4〃时，求四的长；

(2)求y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；

(3)将△』班'沿"'所在直线翻折，点〃落在平面上的〃'处，当〃'£=1时，求46

的长.

D

【难度】★★

【答案】(1)AE=5；

(3)他的长为3&或后.

【解析】解：(1)■-EF//AD,OF//AE,.•.四边形是平行四边形,

.EA=EF,.•.四边形的D是菱形，:.AE=AD^5；

(2)过点E作EM_LZ)C，

在氏AEMF中,MF=<EF2-EM?=5-9,DM=HE=x-4

4y箜

:,DF=DM+MF,/.y=x+

32

(3)联结AF,

-：EA=EF.：.ZEAF=ZAFE.•/DC//AB,ZDFA=ZEFA=ZAFE,

必落在射线EF上，当£>'K=1时，有x—y=g或=g,

解得：AE=3上或AE=VS.

【总结】本题主要考查直角三角形的性质及翻折的综合应用，一方面要注意定义域的确定,

另一方面要注意分类讨论.

例2.如图，已知：中，N4必=90°,Z/f=30°,〃是边水;上不与点4、C重合的任

意一点，DELAS,垂足为点6,,犷是劭的中点.

(1)求证：C后EM；

(2)如果除设CM-y,求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域；

(3)当点〃在线段“1上移动时，磔的大小是否发生变化?如果不变，求出乙欧的大

小：如果发生变化，说明如何变化.

【难度】★★★

【答案】(D详见解析；(2)y=Y±>2.(o<x<3)；

(3)不变，ZMCE=3O。.

【解析】(1)证明：在中，ZAC3=90。，

是比)的中点，.•.CM=」3Z),同理

22

:.CM=ME；

(2)解：在RAABC中，ZACfi=90°,NA=30°,BC=6,

.•.AB=28C=2A，.•.由勾股定理，得：AC=3.

\*AD=xf:.CD=3-x.

在Rt^BCD中，ZBCD=90。，,BD1=BC2+CD2,BD=《3+(3-x?,

­.•CM=-BD,CM=y,

2

Jx2-6x+12,

y=-----------------(0<x<3)；

(3)不变.

M是用qBCD斜边班)的中点，/.MB=MC,ZMBC=/MCB,

ZCMD=ZMBC+ZMCB=2ZMBC,同理Z£MD=2ZA4BE.

NCMD+NEMD=2NMBC+22MBE=2(NMBC+NMBE)=2ZABC,

即ACME=2ZABC=120°.

MC=ME,：.ZMCE=AMEC=30°.

【总结】本题主要考查了直角三角形的性质以及勾股定理的综合运用，对于直角三角形的性

质与推论要灵活运用.

随堂检测

1.己知一直角三角形纸片OAB,/AOB=90°,OA=2,〃决4,将该纸片放在，放置在平面直角

坐标系中，折叠该纸片，折痕与边如交于点C,与边46交于点。.

(1)若折叠后使点8与点力重合，求点。的坐标;

（2）若折叠后点8落在边力上的点为夕，设仍'=x,0（=y,试写出y关于x的

函数解析式，并确定y的取值范围.

【难度】★★

3；岸3.

【答案】(1)cfo,|j(2)y=-#+2

22

【解析】解：（1）联结AC,

■.OB=4,延CD折叠后使点B与点A重合，，BC=AC

设OC=a,则HC=8C=4—a.

在向AACO中，由勾股定理得：a2+22=（4-a）2,

3

:.a=—

2

(2)联结UC

•.•延CD折叠后使点B与点*重合，..3C=3'C=4-y,

在中，由勾股定理得：y2+x2=（4-y）2-

・•.y=-#1+2(|4”2).

8

【总结】本题考查等腰三角形性质，平行线的性质和判定，勾股定理，折叠的性质的综合运

用，综合性比较强，解题时要注意进行分析.

2.如图所示，已知：在正方形4四9中，点尸是射线式'上的任意一点（点8与点C除外）

联接〃E分别过点C、/作直线外的垂线，垂足为£、F.

①点尸在欧的延长线上时，那么线段AF、CE、）之间有怎样的数量关系?请证明你的结论;

②当点尸在边比1上时.，正方形的边长为2,设小x,4后二求y与x的函数解析式.并写出

函数的定义域：

③在②的条件下，当下1时.求加■的长.

【难度】★★★

【答案】(1)EF=AF+CE-.

(2)y=j4-x2(0<x<⑹;

(3)EF=V3-1.

【解析】解：(1)EF-AF+CE.

■.AD=DC,ZAFD=ZDEC,ZADF=NDCE,

:.^ADF=^DCE,DF=CE,AF=DE,

:.AF+CE=EF；

(2)由(1)证明可知：DF=CE,AF=DE.

,;CE=x,AF=yf/.DE—y.

在RACDE中,CD=2,x2+y2=4,

y=J4-X?(0<x<也)；

(3)当x=l时，y=y/3,DE=y/3.

又♦;DF=CE=1,EF=DE-DF,

:.EF=yf3-\.

【总结】本题主要考查三角形全等的证明及勾股定理的综合运用，考查学生解决实际问题的

能力.

3.(2020・上海八年级月考)如图，在平面直角坐标系中，已知矩形AOBC的顶点C的

坐标是(20,6),动点P从点A出发，沿线段A。向终点。运动，同时动点。从点8出

发，沿线段3c向终点C运动.点P、。的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为

r(0<f<6)秒，过点p作尸EJ_A。交AB于点E.

(1)求直线AB的解析式；

(2)设APEQ的面积为S,求当0<「<3时，S与，时间的函数关系；

(3)在动点P、。运动的过程中，点”是矩形AQ8C内(包括边界)一点，且以

B、Q、E、〃为顶点的四边形是菱形，直接写出，值和与其对应的点”的坐标.

【答案】(1)y=-^x+6：(2)S=-立t?+有t；(3)t的值为乜或24T2石，点H坐

35

标为(生g.,彳)或(—12>6)

53

【分析】（1）先求出点A,点B坐标，利用待定系数法可求直线AB的解析式;

（2）先求出点E坐标，再利用三角形面积公式可求解；

（3）分两种情况讨论，利用菱形的性质和直角三角形的性质可求解.

【详解】

解：（1），•矩形AOBC的顶点C的坐标是（273.6）,

，0A=BC=6,OB=AC=273.

...点A(0,6),点B(2百，0)

设直线AB解析式为：y=kx+b,

h=6

*<

0=2向+b

k=-6

解得：〈

b=6

，直线AB的解析式为：y=-石x+6；

（2）•.•点P、Q的运动速度均为每秒1个单位,

；.AP=BQ=t,

.,.OP=6-t,

VPE1A0,

.•.点E纵坐标为6-t,

6-t=-+x+6,

百

x:——t，

3

反

.♦.点E（»t，6-t）,

3

Q到直线PE的距离为6-2t,

，当0<t<3时,

S=-x2^t(6-2t)

23

AS=-3(2+5；

3

(3)如图，当四边形EHBQ是菱形时，延长PE交BC于F,

AOB=—AB,

2

AZBA0=30°,

VAO//BC,PE±AO,

・・・NABC=NBA0=30°,PE1BC,

•・•四边形EHBQ是菱形，

.\BQ=EQ=t,EH//BQ,

・・・NQEB二NEBQ=30°,

AZFEQ=300,

FQ:—EQ二一t,

22

1°

..BC=t+t+—t-6»

2

12

/•t=—,

5

ABQ=EH-y,

.•.点E（也曳），

55

.•.点H（述,-）

55

如图，若四边形EHQB是菱形，延长PE交BC于F,

•四边形EHQB是菱形，

；.BE=BQ=t,EH〃BQ,

VZABC=30°,EF1BC,

；.BE=2EF,

n

•••t=2（2x/3-—t）

3

；.t=24T2百

•••点E（8x/3-12.1273-18