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文档简介

2023年高考数学模拟试卷请考生注意:1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上,请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2.答题前,认真阅读答题纸上的《注意事项》,按规定答题。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知,则()A. B. C. D.22.若函数的图象经过点,则函数图象的一条对称轴的方程可以为()A. B. C. D.3.将函数的图像向左平移个单位得到函数的图像,则的最小值为()A. B. C. D.4.已知函数则函数的图象的对称轴方程为()A. B.C. D.5.,则与位置关系是()A.平行 B.异面C.相交 D.平行或异面或相交6.已知数列是公比为的正项等比数列,若、满足,则的最小值为()A. B. C. D.7.已知,且,则的值为()A. B. C. D.8.已知定义在上的函数,若函数为偶函数,且对任意,,都有,若,则实数的取值范围是()A. B. C. D.9.若,则,,,的大小关系为()A. B.C. D.10.函数的部分图像如图所示,若,点的坐标为,若将函数向右平移个单位后函数图像关于轴对称,则的最小值为()A. B. C. D.11.执行下面的程序框图,则输出的值为()A. B. C. D.12.已知函数(,)的一个零点是,函数图象的一条对称轴是直线,则当取得最小值时,函数的单调递增区间是()A.() B.()C.() D.()二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.从编号为,,,的张卡片中随机抽取一张,放回后再随机抽取一张,则第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为_____________.14.如图,在棱长为2的正方体中,点、分别是棱,的中点,是侧面正方形内一点(含边界),若平面,则线段长度的取值范围是______.15.曲线f(x)=(x2+x)lnx在点(1,f(1))处的切线方程为____.16.已知集合,,则__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数.(1)若,,求函数的单调区间;(2)时,若对一切恒成立,求a的取值范围.18.(12分)的内角,,的对边分别为,,,已知的面积为.(1)求;(2)若,,求的周长.19.(12分)在△ABC中,角所对的边分别为向量,向量,且.(1)求角的大小;(2)求的最大值.20.(12分)已知函数(其中是自然对数的底数)(1)若在R上单调递增,求正数a的取值范围;(2)若f(x)在处导数相等,证明:;(3)当时,证明:对于任意,若,则直线与曲线有唯一公共点(注:当时,直线与曲线的交点在y轴两侧).21.(12分)已知,,.(1)求的最小值;(2)若对任意,都有,求实数的取值范围.22.(10分)在平面直角坐标系中,已知椭圆:()的左、右焦点分别为、,且点、与椭圆的上顶点构成边长为2的等边三角形.(1)求椭圆的方程;(2)已知直线与椭圆相切于点,且分别与直线和直线相交于点、.试判断是否为定值,并说明理由.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

结合求得的值,由此化简所求表达式,求得表达式的值.【详解】由,以及,解得..故选:B【点睛】本小题主要考查利用同角三角函数的基本关系式化简求值,考查二倍角公式,属于中档题.2、B【解析】

由点求得的值,化简解析式,根据三角函数对称轴的求法,求得的对称轴,由此确定正确选项.【详解】由题可知.所以令,得令,得故选:B【点睛】本小题主要考查根据三角函数图象上点的坐标求参数,考查三角恒等变换,考查三角函数对称轴的求法,属于中档题.3、B【解析】

根据三角函数的平移求出函数的解析式,结合三角函数的性质进行求解即可.【详解】将函数的图象向左平移个单位,得到,此时与函数的图象重合,则,即,,当时,取得最小值为,故选:.【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质,利用三角函数的平移关系求出解析式是解决本题的关键.4、C【解析】

,将看成一个整体,结合的对称性即可得到答案.【详解】由已知,,令,得.故选:C.【点睛】本题考查余弦型函数的对称性的问题,在处理余弦型函数的性质时,一般采用整体法,结合三角函数的性质,是一道容易题.5、D【解析】结合图(1),(2),(3)所示的情况,可得a与b的关系分别是平行、异面或相交.选D.6、B【解析】

利用等比数列的通项公式和指数幂的运算法则、指数函数的单调性求得再根据此范围求的最小值.【详解】数列是公比为的正项等比数列,、满足,由等比数列的通项公式得,即,,可得,且、都是正整数,求的最小值即求在,且、都是正整数范围下求最小值和的最小值,讨论、取值.当且时,的最小值为.故选:B.【点睛】本题考查等比数列的通项公式和指数幂的运算法则、指数函数性质等基础知识,考查数学运算求解能力和分类讨论思想,是中等题.7、A【解析】

由及得到、,进一步得到,再利用两角差的正切公式计算即可.【详解】因为,所以,又,所以,,所以.故选:A.【点睛】本题考查三角函数诱导公式、二倍角公式以及两角差的正切公式的应用,考查学生的基本计算能力,是一道基础题.8、A【解析】

根据题意,分析可得函数的图象关于对称且在上为减函数,则不等式等价于,解得的取值范围,即可得答案.【详解】解:因为函数为偶函数,所以函数的图象关于对称,因为对任意,,都有,所以函数在上为减函数,则,解得:.即实数的取值范围是.故选:A.【点睛】本题考查函数的对称性与单调性的综合应用,涉及不等式的解法,属于综合题.9、D【解析】因为,所以,因为,,所以,.综上;故选D.10、B【解析】

根据图象以及题中所给的条件,求出和,即可求得的解析式,再通过平移变换函数图象关于轴对称,求得的最小值.【详解】由于,函数最高点与最低点的高度差为,所以函数的半个周期,所以,又,,则有,可得,所以,将函数向右平移个单位后函数图像关于轴对称,即平移后为偶函数,所以的最小值为1,故选:B.【点睛】该题主要考查三角函数的图象和性质,根据图象求出函数的解析式是解决该题的关键,要求熟练掌握函数图象之间的变换关系,属于简单题目.11、D【解析】

根据框图,模拟程序运行,即可求出答案.【详解】运行程序,,

,,,,,结束循环,故输出,故选:D.【点睛】本题主要考查了程序框图,循环结构,条件分支结构,属于中档题.12、B【解析】

根据函数的一个零点是,得出,再根据是对称轴,得出,求出的最小值与对应的,写出即可求出其单调增区间.【详解】依题意得,,即,解得或(其中,).①又,即(其中).②由①②得或,即或(其中,,),因此的最小值为.因为,所以().又,所以,所以,令(),则().因此,当取得最小值时,的单调递增区间是().故选:B【点睛】此题考查三角函数的对称轴和对称点,在对称轴处取得最值,对称点处函数值为零,属于较易题目.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

基本事件总数,第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字的基本事件有8个,由此能求出概率.【详解】解:从编号为,,,的张卡片中随机抽取一张,放回后再随机抽取一张,基本事件总数,第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字的基本事件有8个,分别为:,,,,,,,.所以第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为.故答案为.【点睛】本题考查概率的求法,考查古典概型、列举法等基础知识,属于基础题.14、【解析】

取中点,连结,,推导出平面平面,从而点在线段上运动,作于,由,能求出线段长度的取值范围.【详解】取中点,连结,,在棱长为2的正方体中,点、分别是棱、的中点,,,,,平面平面,是侧面正方形内一点(含边界),平面,点在线段上运动,在等腰△中,,,作于,由等面积法解得:,,线段长度的取值范围是,.故答案为:,.【点睛】本题考查线段长的取值范围的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.15、【解析】

求函数的导数,利用导数的几何意义即可求出切线方程.【详解】解:∵,

∴,

则,

又,即切点坐标为(1,0),

则函数在点(1,f(1))处的切线方程为,

即,

故答案为:.【点睛】本题主要考查导数的几何意义,根据导数和切线斜率之间的关系是解决本题的关键.16、【解析】

直接根据集合和集合求交集即可.【详解】解:,,所以.故答案为:【点睛】本题考查集合的交集运算,是基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)单调递减区间为,单调递增区间为;(2)【解析】

(1)求导,根据导数与函数单调性关系即可求出.(2)解法一:分类讨论:当时,观察式子可得恒成立;当时,利用导数判断函数为单调递增,可知;当时,令,由,,根据零点存在性定理可得,进而可得在上,单调递减,即不满足题意;解法二:通过分离参数可知条件等价于恒成立,进而记,问题转化为求在上的最小值问题,通过二次求导,结合洛比达法则计算可得结论.【详解】(1)当,,,,令,解得,当时,,当时,,在上单调递减,在上单调递增.(2)解法一:当时,函数,若时,此时对任意都有,所以恒成立;若时,对任意都有,,所以,所以在上为增函数,所以,即时满足题意;若时,令,则,所以在上单调递增,,,可知,一定存在使得,且当时,,所以在上,单调递减,从而有时,,不满足题意;综上可知,实数a的取值范围为.解法二:当时,函数,又当时,,对一切恒成立等价于恒成立,记,其中,则,令,则,在上单调递增,,恒成立,从而在上单调递增,,由洛比达法则可知,,,解得.实数a的取值范围为.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与不等式恒成立问题,考查了分类与整合的解题思想,涉及分离参数法等技巧、涉及到洛比达法则等知识,注意解题方法的积累,属于难题.18、(1)(2)【解析】

(1)根据三角形面积公式和正弦定理可得答案;(2)根据两角余弦公式可得,即可求出,再根据正弦定理可得,根据余弦定理即可求出,问题得以解决.【详解】(1)由三角形的面积公式可得,,由正弦定理可得,,;(2),,,,,则由,可得:,由,可得:,,可得:,经检验符合题意,三角形的周长.(实际上可解得,符合三边关系).【点睛】本题考查了三角形的面积公式、两角和的余弦公式、诱导公式,考查正弦定理,余弦定理在解三角形中的综合应用,考查了学生的运算能力,考查了转化思想,属于中档题.19、(1)(2)2【解析】

(1)转化条件得,进而可得,即可得解;(2)由化简可得,由结合三角函数的性质即可得解.【详解】(1),,由正弦定理得,即,又,,又,,,由可得.(2)由(1)可得,,,,,,的最大值为2.【点睛】本题考查了平面向量平行、正弦定理以及三角恒等变换的应用,考查了三角函数的性质,属于中档题.20、(1);(2)见解析;(3)见解析【解析】

(1)需满足恒成立,只需即可;(2)根据的单调性,构造新函数,并令,根据的单调性即可得证;(3)将问题转化为证明有唯一实数解,对求导,判断其单调性,结合题目条件与不等式的放缩,即可得证.【详解】;令,则恒成立;,;的取值范围是;(2)证明:由(1)知,在上单调递减,在上单调递增;;令,;则;令,则;;;(3)证明:,,要证明有唯一实数解;当时,;当时,;即对于任意实数,一定有解;;当时,有两个极值点;函数在,,上单调递增,在上单调递减;又;只需,在时恒成立;只需;令,其中一个正解是;,;单调递增,,(1);;;综上得证.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性,考查了利用导数证明不等式,考查了转化思想、不等式的放缩,属难题.21、(1)2;(2).【解析】

(1)化简得,所以,展开后利用基本不等式求最小值即可;(2)由(1),原不等式可转化为,讨论去绝对值即可求得的取值范围.【详解】(1)∵,,∴,∴.∴.当且仅当且即时,.(2)由(1)知,,对任意,都有,∴,即.①当时,有,解得;②当,时,有,解得;③当时,有,解得;综上,,∴实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查基本不等式的运用和求解含绝对值的不等式,考查学生的分类思想和计算能力,属于中档题.22、(1)(2)为定值.【解析】

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