2019-2020人教B版数学必修第一册新教材课时分层作业16均值不等式Word版含解析

2019-2020人教B版数学必修第一册新教材课时分层作业16均值不等式+Word版含解析课时分层作业(十六)均值不等式(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题．设2＋1，则t与s的大小关系是()1t＝a＋2b，s＝a＋bA．s≥tB．s>tC．s≤tD．s<t[∵b2＋1≥2b，∴a＋2b≤a＋b2＋1.]2．以下不等式中正确的选项是()422A．a＋a≥4B．a＋b≥4aba＋b23C.ab≥2D．x＋x2≥234D[a＜0，则a＋a≥4不建立，故A错；a＝1，b＝1，a2＋b2＜4ab，故B错；a＋ba＝4，b＝16，则ab＜2，故C错；由均值不等式可知D项正确．]3．已知a>0，b>0，则以下不等式中错误的选项是()A．ab≤a＋b2B．ab≤a2＋b22212122C.ab≥a2＋b2D.ab≤a＋bD[由均值不等式知A、C正确，由重要不等式知B正确，由a2＋b22≥ab得，ab≤a＋b21≥22，应选D.]2，∴aba＋b4．若a＞b＞0，则以下不等式建立的是()-1-/62019-2020人教B版数学必修第一册新教材课时分层作业16均值不等式+Word版含解析a＋bA．a＞b＞2＞aba＋bB．a＞2＞ab＞ba＋bC．a＞2＞b＞aba＋bD.a＞ab＞2＞ba＋aa＋b[a＝2＞2＞ab＞b·b＝b，所以只有B项正确．]5．若a＞0，b＞0，且a＋b＝4，则以下不等式恒建立的是()1111A.ab＞2B.a＋b≤1C.ab≥2D.212≤1a＋b8[由ab≤2得ab≤4，1ab≥4，故A错；11a＋b4B中，a＋b＝ab＝ab≥1，故B错；a＋b4由a＋b＝4，得ab≤2＝2＝2，故C错；a2＋b2a＋b22242由2≥2得a＋b≥2×2＝8，1a2＋b2≤8，D正确．]二、填空题6．已知＞＞，则－－与a－c的大小关系是________．abcabbc2a－c[∵a＞b＞c，a－bb－c≤2a－b＞0，b－c＞0，-2-/62019-2020人教B版数学必修第一册新教材课时分层作业16均值不等式+Word版含解析∴a－bb－c≤a－b＋b－ca－c2＝2.]7．某工厂第一年的产量为A，第二年的增加率为a，第三年的增加率为b，则这两年的平均增加率x与增加率的平均值a＋b的大小关系为________．2a＋bx≤2[用两种方法求出第三年的产量分别为A(1＋a)(1＋b)，A(1＋x)2，则有(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)．∴1＋x＝1＋a1＋b≤1＋a＋1＋ba＋b2＝1＋2，a＋b∴x≤2.当且仅当a＝b时等号建立．]a8．已知函数y＝4x＋x(x>0，a>0)在x＝3时获得最小值，则a＝________.＝aaaa36[y4x＋≥24x·4x＝x，即x＝2时等xx＝4a(x>0，a>0)，当且仅当号建立，此时y获得最小值4a.又由已知x＝3时，ymin＝4a，a2＝3，即a＝36.]三、解答题119．已知a，b，c为正实数，且a＋b＝1.求证：a＋b≥4.[证明]11a＋ba＋ba＋b＝a＋bba＝1＋a＋b＋1baba≥2＋2·＝4.＝2＋a＋bab当且仅当a＝b时“＝”建立．10．已知a，b，c为正数，求证：b＋c－a＋c＋a－b＋a＋b－c≥3.abc-3-/62019-2020人教B版数学必修第一册新教材课时分层作业16均值不等式+Word版含解析[证明]bccaab左侧＝a＋a－1＋b＋b－1＋c＋c－1bacacb＝a＋b＋a＋c＋b＋c－3.∵a，b，c为正数，baa＋b≥2(当且仅当a＝b时取“＝”)；c＋a≥2(当且仅当a＝c时取“＝”)；acc＋b≥2(当且仅当b＝c时取“＝”)．bcbacacb进而a＋b＋a＋c＋b＋c≥6(当且仅当a＝b＝c时取等号)．bacacb∴a＋b＋a＋c＋b＋c－3≥3，b＋c－ac＋a－ba＋b－c即a＋b＋c≥3.[等级过关练]1．以下不等式必定建立的是()1x2＋2A．x＋x≥2B.x2＋2≥2x2＋3≥2D．2－3x－4≥2C.x2＋4x1B[A项中当x<0时，x＋x<0<2，∴A错误．B项中，x2＋2x2＋2≥2，∴B正确．＝x2＋2x2＋3x2＋4－1而关于C，x2＋4＝，x2＋4当x＝0时，x2＋332＝2<2，显然选项C不正确．x＋4-4-/62019-2020人教B版数学必修第一册新教材课时分层作业16均值不等式+Word版含解析4D项中取x＝1,2－3x－x<2，∴D错误．]2．已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则()11A．ab≤2B．ab≥2C．a2＋b2≥2D．a2＋b2≤3[∵a≥0，b≥0，且a＋b＝2，∴ab≤a＋b2＝1，2而4＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab≤2(a2＋b2)，∴a2＋b2≥2.]．若x2＋y2＝4，则xy的最大值为________．32[xy≤x2＋y2＝2，当且仅当x＝y时取“＝”．]24．设a，b为非零实数，给出不等式：a2＋b2a2＋b2a＋b2a＋bab①2≥ab；②2≥2；③2≥a＋；babb＋a≥2.此中恒建立的不等式是________．①②[由重要不等式a2＋b2≥2ab可知①正确；②a2＋b22a2＋b22＝4＝a2＋b2＋a2＋b2≥a2＋b2＋2ab44a＋b2a＋b＝4＝a＋b2，故②正确；关于③，当a＝b＝－1时，不等式的左侧为22＝－1，右侧为ab1＝－，可知③不正确；令a＝1，b＝－1可知④不正确．]a＋b25．已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：a＋b＋c＞ab＋bc＋ca.-5-/62019-2020人教B版数学必修第一册新教材课时分层作业16均值不等式+