2021-2022学年山西省晋中市九年级（上）第一次段考数学试卷（附答案详解）

202L2022学年山西省晋中市介休三中九年级（上）第一

次段考数学试卷

1.把方程/+2（%-1）=3x化成一般形式，正确的是（）

A.x2—x-2=0B.x2+5%-2=0

C.x2—x-1=0D.x2-2x-1=0

2.已知关于x的一元二次方程久2+nix—3=0有一个根为1,则机的值为（）

A.—1B.1C.—2D.2

3.下列一元二次方程中，没有实数根的是（）

A.2x2+3=0B.x2-2x

C.x2+4x-1=0D.x2—8%+16=0

4,把方程/-lOx—3=o配方成（％+m）2=71的形式，则机、〃的值（）

A.一5、25B.5、25C.5、-28D.-5、28

5.如图,在矩形A8C£＞中，对角线AC与3。相交于点0,4。=

AB=1,则NBOC的度数为（）

A.60°B.120°或60°C.120°D.30°或60°

6.如图，若菱形A8C。的顶点4、B的坐标分别为（3,0）、（一2,0）,点。在y轴上，则

点C的坐标是（）

A.（-5,4）B.（-5,5）C.（-4,4）D.（-4,5）

7.某校初一年级开展了一班一特色活动，2001班以“地”为特色在学校的试验园地

进行种植蔬菜活动.试验园的形状是长15米、宽8米的矩形，为便于管理，要在中

间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为110平方米，则小道的宽为多少

米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（）

H+

A.(15+2x)(8+%)=110B.(15-2x)(8-x)=110

C.(15+x)(8+2x)=110D.(15-x)(8-2x)=110

8.如图，在矩形A8CD中，AB=3,AD=4,4E平分

484。交BC于点E,点M,N分别是AE,AD的中

点，则MN的长为（）

A考

C-

•2

D.g

9.如图，菱形A8C£）中，BC=5,对角线AC等于8,DE1

AB,则DE的长为（）

A.5

B.6

C.9.6

D.4.8

10.如图，将正方形0A8C放在平面直角坐标系中,O是原点,

点A的坐标为（1,75）,则点C的坐标为（）

A.(一但1)

B.(T遮)

C.(73.1)

D.(―73,-1)

11.若一元二次方程的二次项系数为1,常数项为0,它的一个根为2,则该方程为

12.如图,在菱形ABCD中,对角线AC与8。相交于点O,

若AB=小,B0=2,则AC的长为.

13.一个等腰三角形的底边长为10,腰长是一元二次方程--Hx+30=0的一个根,

则这个三角形的周长是.

14.如图，四边形ABCO是周长为24的菱形，点A的坐标是（4,0）,则点。的坐标为

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15.如图，点E在正方形A8C£＞的对角线AC上，连结。E,点

。是AC的中点，点F是OE的中点，连结。尸.若AC=8,

CE=2,则。尸的长为.

16.解下列方程：

(1)7/=28；

(2)x2+3x=0；

(3)3x2-8x=3；

(4)(2x-l)2=3(1-2x).

17.关于x的一元二次方程M—3x+k=0有实数根.

(1)求*的取值范围；

(2)若/是符合条件的最大整数，求此时一元二次方程的解.

18.先阅读材料，然后按照要求答题.

阅读材料：为了解方程。2-一5(小-1)+4=0,我们可以将/一1视为一个

整体，然后设/—1=y,(x2—I)2=y2,则原方程可化为：y2—5y+4=0①

解得：yi=1.丫2=4

当y=1时，X2—1=1,X2=2,

x—+y/2,

当y=4时，X2—1=4.X2=5,

x=±V5.

二原方程的解为：xx=V2,x2=—y/2,x3=V5,x4=—V5,

解答问题：

(1)上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用法达到了解方程

的目的，体现了转化的数学思想；

(2)请利用以上知识解决问题：若(62+层-2)(沉2+〃2)=8,求62+足的值.

19.阅读下述说明过程，讨论完成下列问题：

已知：如图所示，在DABCZ)中，的平分线与BC相交于点E,NB的平分线与

AO相交于点F,AE与8F相交于点O,试说明四边形A8EF是菱形.

证明：(1)•••四边形A8CD是平行四边形，

(2)AAD//BC.

(3)AZ.ABE+Z.BAF=180°.

(4)vAE.分别平分NB4F、4ABE,

(5)11•zl=z2=-Z.BAF,z3=z4=-Z.ABE.

11

(6)Z1+Z.3=-^BAF+/.ABE)=-x180°=90。.

(7)Z.AOB=90°.

(8)•••AE1BF.

(9).•.四边形ABE/是菱形.

问：①上述说明过程是否正确？

答：.

②如果错误，指出在第步到第步推理错误，应在第步后添加如

下证明过程.

20.商场某种商品平均每天可销售40件，每件盈利50元，节日期间，为了尽快减少库

存压力，尽可能的让利消费者，商场决定采取适当降价的措施进行促销.经市场调

研发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件.设每件商品降价x元.

(1)降价促销后商场每件商品盈利元，平均每天日销售量增加件；

(2)在上述条件不变的情况下，商场要实现日盈利额到2400元，则每件商品降价多

少元？

21.如图，在。A8C£＞中，G是C。的中点，E是边长4。上的动点，EG的延长线与BC

的延长线相交于点F,连接CE,DF.

(1)求证：四边形CEOF是平行四边形.

(2)若BC=2AB=8,NB=60。.填空：

①当/E=时，四边形CEOF是矩形；②当4E=时，四边形CE0F是

菱形.

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ED

22.如图，在RtAABC中，乙4cB=90。，D,E分别是边AB,BC的中点，连接。E并

延长到点凡使EF=DE,连接CF,BF.

(1)求证：四边形CFBQ是菱形；

(2)连接AE,若CF=6,DF=4,求AE的长.

23.(1)如图1,在正方形ABC。中，E是AB上一点，下是延长线上一点，且DF=BE.

(1)求证:CE=CF；

(2)如图2,在正方形ABCD中,E是AB上一点,G是AD上一点,如果4GCE=45°,

请你利用(1)的结论证明：GE=BE+GD.

(3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3,在四边形A8CG中，

AG//BC{BC>AG),乙B=90°,AB=BC,E是AB上一点，且NGCE=45°,BE=4,

AG=6,求四边形ABCG的面积.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：将一元二次方程/+2(x-1)=3x化成一般形式有：X2-X-2=0,

故选：A.

根据一元二次方程的一般形式是:ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a丰0),可得出答案.

本题考查了一元二次方程的一般形式，属于基础题，注意一元二次方程的一般形式是：

a/+bx+c=0(a,b,c是常数且ar0),在一般形式中a/叫二次项，加叫一次项，c

是常数项.其中a,b,c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项.

2.【答案】D

【解析】解：把x=1代入方程/+mx-3=0得1+m-3=0,解得m=2.

故选：D.

把x=1代入方程/+mx—3=0得1+m—3=0,然后解关于m的方程.

本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二

次方程的解.

3.【答案】A

【解析】解：A、△=0-24=—24<0,即方程没有实数根，符合题意；

B、A=4-0=4>0,方程有两个不相等的实数根，不符合题意；

C、△=16+4=20>0,方程有两个不相等的实数根，不符合题意；

D、△=64-64=0,方程有两个相等的实数根，不符合题意，

故选：A.

求出各方程根的判别式，判断小于0即为没有实数根.

此题考查了根的判别式，弄清根的判别式与方程根的关系是解本题的关键.

4.【答案】D

【解析】解：X2-10X-3=0,

移项，得/-10x=3,

配方，得/-10乂+25=3+25,

即(x-5)2=28,

所以?n=—5>n-28,

故选：D.

先移项，再配方，变形后即可求出相、”的值.

本题考查了用配方法解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键.

5.【答案】C

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【解析】解：•.・四边形A8C。是矩形，

^BAD=90°,AC=BD,OA=-AC,OD=-BD,

22

・•・OA=OD,

:.Z.OAD=Z-ADO,

在RCA4BC中，由勾股定理得，

BD=>JAB2+AD2=J(遍>+12=2,

•••/.OAD=^ADO=30°,

乙BOC=/.AOD=180°-Z.OAD-/.ADO=120°,

故选：C.

利用矩形的性质求得04=。。及BD的长，根据30。所对的直角边是斜边的一半求出

/LOAD=/.ADO=30°,根据三角形内角和求出乙4。。，进而求解.

本题考查了矩形的性质，解题的关键是求出8。的长，利用30°所对的直角边是斜边的

一半求解.

6.【答案】A

【解析】解:•••菱形ABCD的顶点A,8的坐标分别为(3,0),*

(一2,0),点。在y轴上，N

AB=3-(-2)=5,AB//CD,AD=CD=AB=5,\\

即CC〃x轴，\\»

在RtU。。中，'

由勾股定理得：OD=TAD2一=V52-33=%

.••点C的坐标是：(―5,4).

故选：A.

利用菱形的性质以及勾股定理得出。0的长，进而求出C点坐标.

此题主要考查了菱形的性质以及坐标与图形的性质，根据勾股定理求出。。的长是解题

的关键.

7.【答案】B

【解析】解：设小道的宽为x米，则6个小矩形可合成长为(15-2x)米、宽为(8-x)米

的大矩形，

依题意得：(15-2x)(8-x)=110.

故选：B.

设小道的宽为x米，则6个小矩形可合成长为(15-2x)米、宽为(8-乃米的矩形，利

用种植的面积=合成大矩形的长x宽，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解.

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是

解题的关键.

8.【答案】A

【解析】解：连接OE,

・・•四边形488是矩形，

.%ZC=90°,AB=CD=3,AD=BC=4,AD//BC,

・♦・乙DAE=Z.AEBi

•・•AE平分484。,

:.乙DAE=Z.BAEJ

・•・Z.BAE=Z.AEB,

AB=BE=3,

:.EC=BC-BE=1,

DE=VCf2+CD2=Vl2+32=V10,

•・•点M、N分别为A。、AE的中点，

•••MN是△ADE的中位线，

；

MN=-2D2E=—

故选：A.

连接。E,由矩形的性质和角平分线的性质可得AB=BE=3,可得EC=1,由勾股定

理可求QE的长，由三角形中位线定理可求MN的长.

本题考查了矩形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，三角形中位线的定

理等知识；熟练掌握矩形的性质和三角形中位线定理，求出DE的长度是解题的关键.

9.【答案】D

【解析】解：连接80,交4c于点0,

•••四边形A3。是菱形，AC=8,BC=5,

由勾股定理得到：OB=y/AB2-AO2=V52-42=3.

:.BD=6,

又BO=AB-DE.

•••DE=4.8.

故选：D.

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根据“菱形的面积等于对角线乘积的一半”可以求得该菱形的面积.菱形的面积还等于

底乘以高，所以可得的长度.

本题考查了菱形的性质.属于中等难度的题目，解答本题关键是掌握①菱形的对角线互

相垂直且平分，②菱形的面积等于底乘以底边上的高，还等于对角线乘积的一半.

10.【答案】A

【解析】解：如图所示，作an1X轴于。，CE_Lx轴于E,则

/.OEC=LADO=90°,

zl+z.2=90°,

：4的坐标为(1,6)，

•••AD=V3,OD=1,

•••四边形OABC是正方形,

OA=OC,Z.AOC=90°,

•••41+43=90°,

:.z.3=z2,

在△OCE和△4。。中，

23=42

Z-OEC=乙4。0,

OC=OA

/.△OCE^^AOD^AASy

OE=AD=V3,CE=OD=1,

■­•C(-V3,1).

故选：A.

作4。lx轴于D,。岳1%轴于£先证43=42,再证明40。£岭2\力。。，得出对应边

相等。E=4D=B,CE=OD=1,即可得出结果.

本题考查了正方形的性质、坐标与图形性质以及全等三角形的判定与性质；熟练掌握正

方形的性质，证明△OCE丝△40D是解决问题的关键.

11.【答案】x2-2x=0

【解析】解：由题意可得，该方程的一般形式为：x2-2%=0.

故答案为：x2-2x=0.

直接利用已知要求得出符合题意的方程.

此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确把握相关定义是解题关键.

12.【答案】2V3

【解析】解：•.・四边形A8C。是菱形，

AC1BD,AO=CO,

在RtzMB。中，AB=V7,BO=2,AO2+BO2=AB2,

AO=7AB2-8。2=J（V7）2-22=V3,

•••AC=2A0=2V3,

故答案为：2

由菱形的性质可得4C1BD,>10=CO,在RtAZB。中，根据勾股定理求出AO,进而

可求出AC.

本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，根据菱形的性质证得4C1B0,40=C。是解

决问题的关键.

13.【答案】22

【解析】解：解方程一一11工+30=0得：x=5或6,

当腰为5时，三角形的三边为5,5,10,5+5=10,此时不符合三角形三边关系定理，

不合题意；

当腰为6时，三角形的三边为6,6,10,此时符合三角形三边关系定理，三角形的周

长为6+6+10=22,

故答案为：22.

先求出方程的解，再根据三角形的三边关系定理判断能否组成三角形，再求出即可.

本题考查了解一元二次方程、等腰三角形的性质、三角形的三边关系定理等知识点，能

求出符合的所有情况是解此题的关键.

14.【答案】（0,-2/）

【解析】解：•.・四边形ABC。是周长为24的菱形，

・•・AD=6,AC±BD,

,・,点4的坐标是（4,0）,

:.A0=4,

DO=yjAD2-AO2=,36—16=2而，

故点。坐标为（0,-2遮），

故答案为：（0,—2遍）.

由菱形的性质可得=6,AC18。，在RtA4。。中，由勾股定理可求OD,即可求解.

本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的四边相等是解题的关键.

15.【答案】V5

【解析】解：连接BO,

•••四边形ABCZ）为正方形，点。是AC的中点，

•••BD经过点。且ACJ.BD,0D=OC=^AC=4,

乙DOE=90",OE=OC-CE=2,

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在RtAODE中，由勾股定理得，

DE=yJOD2+0E2=V42+22=2遮，

•••点F是OE的中点，

OF=^DE=V5,

故答案为：V5.

连接BO,根据正方形的性质得到BO经过点。且4CLBD,0D=OC=^AC=4,根

据勾股定理求出DE,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答.

本题考查了正方形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，解题的关

键是连接BD,构造直角三角形.

16.【答案】解：(1)7x2=28,

:.x2—4,

则Xi=2,x2=-2；

(2)•••x2+3x=0,

:.x(x+3)=0,

•••x=。或x+3=0,

=-

解得=0,x23;

(3)v3x2-8x=3,

:.3x2—8x-3=0,

(x-3)(3x+1)=0,

则x-3=0或3x+1=0,

解得X]-3,x2=--

(4)V(2X-1)2=3(1-2X),

(2X-1)2+3(2X-1)=0,

则(2x-l)(2x+2)=0,

•••2x—1=0或2x+2=0,

解得=3，x2=-1.

【解析】(1)利用直接开平方法求解即可；

(2)利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再

进一步求解即可；

(3)先移项，利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次

方程，再进一步求解即可；

(4)先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一

次方程，再进一步求解即可.

本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分

解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法.

17.【答案】解：(1)根据题意得△=(—3)2—4kN0,

解得kW

4

(2)k<\,

・•.k的最大整数值为2,

此时方程为/-3x+2=0,

(%-1)(%-3)=0,

x—1=0或x—3=0,

—

所以—1.%23.

【解析】(1)利用判别式的意义得到△=(—3)2-4k20,然后解不等式即可；

(2)在A的范围内找出最大整数值，然后利用因式分解法解方程.

本题考查了根的判别式：一元二次方程a/+bx+c=0®彳0)的根与△=b2-4ac有

如下关系：当△>()时，方程有两个不相等的实数根；当/=0时，方程有两个相等的实

数根；当4<0时，方程无实数根.

18.【答案】换元

【解析】解：(1)上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了

解方程的目的，体现了转化的数学思想，

故答案为：换元；

(2)(Tn2+n2—2)(m2+n2)=8,

设标+n2=x,

则原方程化为：(x-2)x=8,

即——2%—8=0,

解得：x=4或一2,

当x—4时，m2+n2=4,

当％=-2时，m2+n2=-1,

因为不论机、〃为何值，m2+n2>0,

所以Tn?+彦=-2不符合，舍去，

即in?+n2=4.

(1)根据已知解题过程知道用了换元法解方程；

(2)设m2+„2=刀，则原方程化为(x—2)x=8,求出x的值，再求出答案即可.

本题考查了高次方程，解一元二次方程和数学常识，能正确换元是解此题的关键.

19.【答案】不正确(8)(9)(8)

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【解析】解：(1)不正确.D

■'

(2)⑧、⑨、⑧

//

•••在口4BCD中，AD//BC,/\//

AZ.AEB=z2nEC

又丁z.1=z2,

・•・z.1=Z.AEB，

・•.AB=BE

证得4E_LBF,再证明AE与互相平分，根据“对角线平分且垂直的四边形是菱形”

进行证明.

菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：

①定义；

②四边相等；

③对角线互相垂直平分.

20.【答案】(50-x)2x

【解析】解：(1)降价促销后商场每件商品盈利：(50-乃元，

平均每天日销售量增加：2r元；

故答案为：(50-x),2x：

(2)由题意列方程为：(50-x)(40+2x)=2400,

解得：X]=20,%2=10(不合题意，舍去)，

答：商场每件商品要降价20元，即让利消费者又能实现2400元的日盈利.

(1)直接利用盈利-降价=降价后盈利，再结合每件商品每降价1元，商场平均每天可多

售出2件，进而得出答案；

(2)利用销量X每件利润=2400,进而得出等式求出答案.

此题主要考查了一元二次方程的应用，正确表示出销量与每件利润是解题关键.

21.【答案】64

【解析】（1）证明：••・四边形ABCO是平行四边形,

:.AD//BC,

・•・Z.DEG=Z-CFG,

•••G是CO的中点，

・•・DG=CG,

在△DEG和△CFG中，

/-DGE=Z.CGF

Z-DEG=乙CFG,------

DG=CGA

•••△DEGgZkC"G4ZS）,/;

B

・•・EG=FG,

vDG=CG,

・•・四边形CEO尸是平行四边形；

(2)解：①当AE=6时，四边形CEDr是矩形，理由如下：

过A作4MJ.BC于如图所示：

vBC=2AB=8,

:.AB=4,

・・•乙B=60°,

・・・N84M=90°-60°=30°,

・•・BM=2,

•••四边形ABC。是平行四边形，

4CDE=4B=60°,CD=AB=4,BC=AD=8,

•••AE=6,

•••DE=2=BM,

在4MBZ1S1AEDC中，

BM=DE

乙B—乙CDE,

.AB=CD

••△MBA旦EDC(SAS),

•••乙CED=^AMB=90",

•••四边形CE£>F是平行四边形，

四边形CEDF是矩形,

故答案为：6；

②当4E=4时，四边形CEZ)厂是菱形，理由如下：

vAD=8,AE=4.

:.DE=4,

vCD=4,4CDE=60",

CDE是等边三角形，

•••CE-DE,

••・四边形CE£)F是平行四边形，

二四边形CEDF是菱形,

故答案为：4.

(1)证ADEG丝△CFGQMS),得EG=FG,再由DG=CG,即可得出四边形CECF1是平

行四边形；

(2)①过A作AM1BC于M,证4MBA^^EDC(SAS),得4CED=^AMB=90",即可

得出结论；

②证ACDE是等边三角形，得CE=DE,即可得出结论.

本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定、矩形的判定、等边三角形的判定与

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性质，全等三角形的判定与性质、含30。角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握矩形

的判定和菱形的判定，证明△DEGdMBA^^EDC是解题的关键.

22.【答案】(1)证明：・•・点E为BC的中点,

•••CE=BE，

又：EF=DE,

二四边形CFBO是平行四边形,

•.,。是边A8的中点，44cB=90。，

1

・•・CD=-AB=BD,

2

・•・平行四边形是菱形；

(2)解：如图，・・,D,E分别是边A8,8c的中

点，

・•・DE是△48C的中位线，

AC=2DE,

•:DF=2DE=2EF,DF=4,

/.AC=4,EF=2,

由(1)得：四边形CM。是菱形，

DF1BC,

:.Z-C