2021-2022学年上海市八年级（下）期末数学试卷（附答案详解）

202L2022学年上海市民办文琦中学八年级（下）期末数

学试卷

1.下列四个方程中，有一个根是％=2的方程是（）

A.—+—=0B-£+£=0

2x

C.Vx—2•y/x—3=0D.yjx-6=2

2.已知：工=3那么下列等式中，不一定成立的是（）

y5

nxx+3

A.5%=3yC.%4-y=8L).-=-----

B•季=|yy+5

3.平行四边形ABC。的对角线AC、8。相交于点0,设瓦？=N,OB=h,下列结论

中正确的是（）

A.AD=a4-hB.AD=a—b

C.AD———a+bD.AD=­a—b

4.F列命题中:

①有两个内角相等的梯形是等腰梯形；②顺次连接矩形的各边中点所成四边形是菱

形;

③两条对角线相等的梯形是等腰梯形；④对角线互相平分且相等的四边形是矩形.

其中真命题有（）

A.1个B.2个C.3个

5.如图，△力BC中,DE//BC,DF//AC,则下列各比例

式中，正确的是（)

A。DE

A.—A=

DBBC

DE

B.—=

ACBC

AEBF

C.

EC—FC

BF

D・冷BC

6.

7.方程一-16=0的根是

8.将直线y=2%-3沿y轴向上平移6个单位后，所得直线的解析式是.

9.如果直线丫=kx+b(kH0)经过第一、二、四象限，且与x轴的交点为(6,0),那么

当kx+b>0时x的取值范围是.

10.用换元法解分式方程三-U+3=0时，如果设W=y,那么原方程化为关于y

的整式方程是.

11.有一个质地均匀的正方体，其六个面上分别写着直角梯形、等腰梯形、矩形、正方

形、菱形、平行四边形，投掷这个正方体后，向上的一面的图形是对角线相等的图

形的概率是.

12.若一个正多边形的内角是外角的3倍，则这个正多边形的边数为.

13.如图，矩形ABCQ的两条对角线相交于点O,4COB=

2/.AOB,AB=8,则8c的长是.

14.已知点C是线段AB的黄金分割点(靠近4),AB=2,则BC=.

15.在四边形ABC。中，点E、尸分别在A3、AC上，AD//EF//BC,若AE：EB=3：

1,AD=5,BC=13,则EF=.

16.点G是△ABC的重心，AB=AC=5,BC=8,则BG=.

17.我们把边长是两条对角线长度的比例中项的菱形叫做“钻石菱形”，如果一个“钻

石菱形”的边长是6,那么这个菱形的面积是.

18.如图，在△ABC中，Z.CAB=90°,AB=8,AC=3,CD

是△ABC的中线，将△ABC沿直线CD翻折，点8'是点B的

对应点，点E是线段CZ)上的点，如果4C4E=NB4B',那

么CE=.

19.解方程：VFT2+=9.

20.解方程组：，",24.

21.如图，点E在平行四边形A8CD的对角线8。的延长线上.

(1)填空：BA+BC=；BE-CD=.

(2)求作：南+说(不写作法，保留作图痕迹，写出结论).

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E

22.如图，己知正方形A8C7)的对角线AC、BO交于点。，CE14C与边的延长线

交于点E.

(1)求证：四边形BCE。是平行四边形；

(2)延长。B至点F,联结CF,若CF=BD,求ZBCF的大小.

23.如图，在A/IBC中，点。、点E分别在AC、AB上，点P是BO上的一点，联结EP

并延长交AC于点F,且乙4=乙EPB=4ECB.

(1)求证：BE-BA=BP-BD；

(2)若4ACB=90。，求证：CP1BD.

24.某工程队承担了修建地铁两个站点间2400米的隧道工程任务，由于采用了新技术，

现在每个月比原计划多掘进了180米，因而比原计划提前3个月完成任务.

(1)求完成此项工程原计划每个月掘进多少米？

(2)如果每天的施工费用为2.5万元，那么该工程队现在完成此项工程共需多少万元?

(每个月按30天算)

25.在平面直角坐标系xOy中，直线人：y=自％-3与x轴交于点4(2,0)；直线4y=

七%+匕与苫轴交8(6,0),两直线交于y轴上一点C.

(1)求这两条直线的解析式；

(2)若以A、B、C、。为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点。的坐标.

(3)若点P在直线x=1上，且满足AaBP与ABCP的面积相等，求点P的坐标.

y八

ox

26.梯形ABC。中，AD//BC,NB=90。，AB=4,BC=5,点G是CO中点，过点G

作CO的垂线交射线BC于点F,4CCF的角平分线交射线BA于点E,交直线GF

于点P.

(1)当点尸与点B重合时，求CD的长；

(2)若点尸在线段8c上，AD=x,CF=y,求y关于x的函数关系式，并写出函

数定义域；

(3)联结OP、DE,当ADPE是以OP为腰的等腰三角形时，求A。的长.

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答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：当x=2时，代入4中方程，左边=0=右边，所以x=2是A的解;

当％=2时，B中方程的分母％-2为0,所以x=2不是B的解；

当x=2时，C中的被开方数％-3为负数，所以x=2不是C的解；

当％=2时，。中的被开方数X-6为负数，所以x=2不是。的解；

故选：A.

根据方程解的定义代入验证求解.

本题考查了分式方程和无理方程的解，利用解的定义代入检验是解题的关键.

2.【答案】C

【解析】解：小*=|

**•5%—3y,

故A不符合题意;

,,X_3

DD-»■:—二一,

y5

x+y,y]।58

・•・--=144--=l+-=-

xx33

故B不符合题意；

C、「冷

・•・x+yW8,

故C符合题意;

cx3

y5

-x+-3=一x,

y+5y

故。不符合题意,

故选：C.

根据比例的性质，进行计算即可解答.

本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键.

3.【答案】D

【解析】解：••・四边形A8C。是平行四边形,

・•.OB=DO.

OB=6,

:.DO=OB=b,

vOA=a9

・•・DA=DO+OA=b4-a,

AD=-a—b.

故选：D.

利用平行四边形的性质与三角形法则求出而即可解决问题.

本题考查平行四边形的性质，平面向量，三角形法则等知识，解题的关键是熟练掌握基

本知识，属于中考常考题型.

4.【答案】C

【解析】I分析］

根据梯形、菱形和矩形的判定判断即可.

本题考查梯形、菱形和矩形的判定，掌握相关定理的内容是解题的关键.

［详解］

解：①有两个内角相等的梯形不一定是等腰梯形，只有两个底角相等的梯形才是等腰梯

形，故原命题是假命题；

②顺次连接矩形的各边中点所成的四边形是菱形，是真命题；

③两条对角线相等的梯形是等腰梯形，是真命题；

④对角线互相平分且相等的四边形是矩形，是真命题.

故选C.

5.【答案】D

【解析】解：•••DE//BC,DF//AC,

.••四边形。ECF是平行四边形，

CF=DE,EC=DF,

_A_D__C_F__D_E-D-E

'*DB~FB~FBBC

故A错误；

•••△BDFs〉BAC,

DFBF

:.——=——.

ACBC

DECF口8CF

*~BC-FC，'BC*BC，

.DFDE

,・就0'BC9

故B错误；

vZ-A=乙BDF,Z.ADE=乙B,

・•・△ADE^LDBF,

AEDE

••—^―9

DFBF

.AE-FCBF

,•EC-BF千FC'

故C错误；

•・•△DBFs〉ABC,

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DFBF

:.——=——,

ACBC

EC_BF

：t•=,

ACBC

故。正确，

故选：D.

先由DE〃BC,DF〃/IC证明四边形OECF1是平行四边形，则CF=DE,EC=DF,由平

行线分线段成比例定理得*所以第=葛=普彳器，可判断A错误；

DBFBDBFBFBBC

由△BDFs^BAC得登=,，而皆=第，且黑中£所以霹，可判断B错误；

由乙4=乙BDF,/-ADE=NB,证明△/WEsaDBF,则变=—,可推导出些=—*—,

DFBFECBFFC

可判断C错误；

由△DBFs△力BC,得竺=呢,所以生=处，可判断。正确.

ACBCACBC

此题重点考查平行四边形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定

与性质等知识，正确地运用平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质定理列出相应

的比例式是解题的关键.

6.【答案】B

【解析】解：

：•ax=be,

ab

cx

如图，需要在射线AM上依次截取AB=a,BC=c,在射线AN上截取4。=b,

连接8£>,过C作CE〃BD,交AN于E,则

ABADQnab

'BC一而，C-DE，

DE=—,

a

又；X二容

/.DE=%,即。E即为所求.

故选：B.

先在射线4M上依次截取48=a,BC=c,在射线AN上截取4。=b,连接8。，过。

作CE〃BD,交AN于E,则巴=白，即DE=丝，再根据x=纥即可得出结论.

本题主要考查了复杂作图和平行线分线段成比例定理的运用，解题时注意：平行于三角

形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.

7.【答案】±2

【解析】解：-16=0,

-(%24-4)(%+2)(%-2)=0,

.•・x=±2,

方程/-16=0的根是±2,

故答案为±2.

方程的左边因式分解可得(丁+4)(%+2)(%-2)=0,由此即可解决问题.

本题考查高次方程的解，解题的关键是学会应用因式分解法解方程，把高次方程转化为

一次方程，属于中考常考题型.

8.【答案】y=2x+3

【解析】解:将直线y=2x-3沿y轴向上平移6个单位后,所得直线的解析式是y=2x-

3+6,即y=2x+3.

故答案为：y=2x+3.

直接根据“上加下减”的平移规律求解即可.

本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的规律是解答此题的关键.

9.【答案】x<6

【解析】解：如图，当x<6时，y>0,

即当kx+b>0时x的取值范围是％<6.

故答案为：x<6.

先根据一次函数的性质画出函数的大致图象，然后结合图象，写出一次函数图象在x轴

上方所对应的自变量的范围即可.

本题考查了一次函数与一元一次不等式：理解一次函数与一元一次不等式(组)之间的内

在联系及数形结合思想.运用一次函数的性质是解决本题的关键.

10.【答案】3y2+3y-1=0

【解析】解：设上则匕=工，原方程可变为，

x-1Jxy

3y-升3=0,

两边都乘以y得，

3y2+3y—1=0,

故答案为：3y2+3y-1=0.

设三=y,则=原方程可变为3丫-；+3=0,再化成整式方程即可.

本题考查换元法解分式方程，理解换元法的意义是正确解答的关键.

11.【答案w

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【解析】解：•.•在直角梯形、等腰梯形、矩形、正方形、菱形、平行四边形这6个四边

形中，对角线相等的有等腰梯形、矩形、正方形这3个，

••・投掷这个正方体后，向上的一面的图形是对角线相等的图形的概率是:=

62

故答案为：

由这6个图形中对角线相等的有等腰梯形、矩形、正方形这3个，根据概率公式计算可

得.

本题主要考查概率公式的应用，解题的关键是掌握常见特殊四边形的性质及随机事件4

的概率P(4)=事件4可能出现的结果数+所有可能出现的结果数.

12.【答案】8

【解析】解：设正多边形的边数为〃，由题意得：

(n-2)-180°=3X360°,

解得：n=8,

故答案为：8.

设正多边形的边数为〃，利用多边形的内角和公式和外角和定理即可解答.

本题考查多边形的内角(和)与外角(和)，熟记多边形的内角和公式及外角和为360。是解

答的关键.

13.【答案】8百

【解析】

【分析】

本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质和判定的应用，注意：矩形的对角线相等且

互相平分，属于基础题.

首先证明AAOB是等边三角形，可以求得AC的长，然后利用勾股定理求得BC的长.

【解答】

解：•••四边形ABC。是矩形，

:.AO=OC,BO=OD,AC=BD,

■1•0A-0B,

•：Z.BOC=2Z.AOB,Z.BOC+Z.AOB=180°,

•••Z.AOB=60°,

4。8是等边三角形，

•••OA=OB=AB=8,

•••AC=BD=2AO=16,

则BC=yjAC2-AB2=8V3.

故答案是：8V3.

14.【答案】V5-1

【解析】解：点C是线段AB的黄金分割点（靠近A）,AB=2,

BC=-AB=V5-1,

2

故答案为：V5—1.

由黄金分割的定义即可求解.

此题考查了黄金分割的概念，熟记黄金比的值是解题的关键，注意：一条线段的黄金分

割点有2个.

15.【答案】11

【解析】解：如图，过点。作交EF、5。分别于点M、N,

-AD//EF//BC,

・•・四边形ADME为平行四边形，

：.EM=AD,

・••△DMFs〉DNC,

^AE：BE=DM：MN,

vAE：EB=3：1,

・•・DM：DN=3：4,

:.MF：CN=3：4,

・・•CN=BC-BN=13—5=8,

・•・MF=6,

・・・EF=5+6=11.

过点。作DN〃/B,交EF、3c分别于点M、N,则。M：MN=3：1,DM：DN=3：

4,从而求得Mb的长，最后得出答案

本题考查了相似三角形的判定和性质和平行线分线段成比例，是基础知识，要熟练掌握.

16.【答案】V17

【解析】解：如图,

BD

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•.•点G是△ABC的重心，

.••点。是8c的中点，

vAB=AC=5,

BD=-BC=-x8=4,乙4DB=90°,

22

在Rt△力BD中，AD=V52-42=3,

22

•••AG=—AD=—x3=2.

33

­.DG=AD-AG=3-2=1,

在Rt△BDG中，BG=V42+l2=V17.

故答案为：V17.

先根据三角形的重心可得。是BC的中点，再根据等腰三角形的性质即可求出2。长、

Z/1DB=90%进而利用勾股定理可得AD长，即可得OG长，最后再一次利用勾股定理

可得8G长.

本题主要考查三角形的重心、等腰三角形的性质、勾股定理，解题关键是熟知重心到顶

点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.

17.【答案】18

【解析】解：对角线的乘积=62=36,

二菱形的面积=：x36=18,

故答案为：18.

根据比例中项的定义可求对角线的乘积.再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求解.

本题主要考查比例线段、菱形的性质、菱形的面积公式，熟练掌握菱形性质和菱形的面

积公式是关键.

:•乙BCD=ADCB',4CBD=LCB'D,AD=DB=DB',

4DBB'=Z.DB'B,

■：240c8+2Z.CBD+2乙DBB'=180°,

乙DCB+Z.CBD+乙DBB'=90°,

vZ.CDA=Z.DCB+乙CBD,4ACD+/.CDA=90°,

乙ABB'=/.ACE,

,:AD=DB=DB'=3,

•••乙AB'B=90°,

•••/.ACE=AABB',ACAE=/.BAB',

•••AACE^AABB',

/.AEC=乙AB'B=90。，

在RtZiAEC中，•••AC=3,AD=4,

CD=sjAC2+AD2=5,

•：-AC-AD=--CD-AE,

22

3x4=SAE,

在Rt△4CE中，CE=yjAC2-AE2=J32-(y)2=

故答案为：

先证明乙4B'B=900,再证明△ACESAABB',得到乙4EC=90°,利用面积法求出AE,

再利用勾股定理求出EC即可.

本题考查翻折变换、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用翻

折不变性解决问题，学会利用相似三角形证明直角，属于中考常考题型.

19.【答案】解：移项得：V7T2=9-77^7,

两边都平方得：x+2=81-187x^7+x-7,

移项合并同类项得：18V^=V=72,

:.Vx—7=4,

两边再平方得：x-7=16,

•••x=23,

检验：当x=23时，左边=局+6石=5+4=9=右边，

所以x=23是原方程的解，

【解析】通过方程两边分别平方，把无理方程转化为有理方程，再求解.

本题考查了解无理方程，两边平方转化为有理方程是解题的关键.

20.【答案】解：由x—y=4得：x=4+y①，

把①代入炉-6y2=孙中得：(4+y)2-6y2=y(4+y),

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解得：yx=2,y2=

当y=2时，%=6,

当y=一决寸，％=|，

二方程组的解为：心;，，卜、

(乃=2

【解析】由x-y=4得：x=4+y①，把①代入/-6y?=孙中可得y的值，代入①

中可求出解.

本题考查了解二元二次方程组，降次消元是解本题的关键.

21.【答案】BDAE

【解析】解：⑴••・四边形A88是平行四边形，

.-.AB//CD,AB=CD,AD//BC,AD//CB,

:.BA+BC=BA+AD=BD,

BE-'CD=~BE-~BA=~AE,

故答案为：BD,AE；

(2)如图，荏即为所求.

(1)利用平行四边形的性质，三角形法则求解即可;

(2)延长C£＞到T,使得DT=CD,连接7E,两即为所求.

本题考查作图-复杂作图，平行四边形的性质，平面向量等知识，解题的关键是理解题

意，灵活运用所学知识解决问题.

22.【答案】(1)证明：••・四边形ABC。是正方形,

■■■AC1DB,BC//AD,

vCE1AC,

・・・乙40D=Z.ACE=90°,

:.BD//CE,

四边形BCE。是平行四边形；

(2)解:连接AF,

•四边形A8C。是正方形，

•••BD1AC,BD=AC=20B=2OC,

即OB=OC,

•••乙OCB=45",

vRt△OC尸中，CF=BD=2OC,

/.ZOFC=30°,

・・・(BCF=60°-45°=15°.

【解析】(1)利用正方形的性质得出4C1D8,BC//AD,再利用平行线的判定与性质结

合平行四边形的判定方法得出答案；

(2)利用正方形的性质结合直角三角形的性质得出NOFC=30°,即可得出答案.

此题主要考查了正方形的性质以及平行四边形的判定和直角三角形的性质，正确应用正

方形的性质是解题关键.

23.【答案】(1)证明：•.・乙4=4EPB,乙PBE=LABD,

PBEs^ABD,

.BE_BP

,・访一嬴,

・•.BEBA=BP-BD.

(2)证明：・・•乙4=乙ABC=LCBE,

•••△ABCs〉CBE,

.BC_BA

**BE—而‘

・・・BE,BA=BC2,

由(1)得BE84=BP•BD,

ABC2=BP•BD,

BCBP

BDBC

・・•乙PBC=(CBD,

•••△PBCs>CBD,

・・•乙ACB=90°,

:.乙BPC=乙BCD=90°,

・•・CP1BD.

【解析】⑴由乙4=4EPB,Z.PBE=Z.ABD,证明△PBES/^BD,得器=詈，所以

BEBA=BP-BD.

(2)先由NA=4ECB,^ABC=乙CBE,证明△ABCSRCBE,得器=霹，所以BE-BA=

BC2,则BC?=BP•BD,变形为空=处，再由NPBC=4CBD,证明△PBCSACB

BDBC。，

则NBPC=4BCD=90。，即可证明CPIBD.

此题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据相似三角形的对应边成比例列出

相应的比例式，再经过适当的变形使所得的比例式符合“两边成比例且夹角相等”的形

式.

24.【答案】解：(1)设完成此项工程原计划每个月掘进x米，则现在每个月掘进(x+180)

米.

根据题意，得：始2400

工+180

第14页，共19页

整理，得：x2+180x-144000=0.

解得：X1=-480,x2=300.

经检验：X[=-480,x2=300都是原方程的解，但巧=-480不符合题意，舍去.

答：完成此项工程原计划每个月掘进300米.

(2)2400x2.5x30=375(万元).

答：该工程队现在完成此项工程共需375万元.

【解析】(1)设完成此项工程原计划每个月掘进x米，则现在每个月掘进(x+180)米.由

题意：现在每个月比原计划多掘进了180米，因而比原计划提前3个月完成任务.列出

分式方程，解方程即可；

(2)由每天的施工费用x天数，列式计算即可.

本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键.

25.【答案】解：(1)把4(2,0)代入y=krx-3得:

2kL3=0，

解得自=I，

:•直线k：y=|x-3,

在y=gx—3中，令x=0得y=—3,

C(0,-3),

把B(6,0),C(0,-3)代入y=k2x+b得：

f6fc+b=0

th=2-3

解得k2=1,

Vb=-3

二直线"：y=-3；

(2)设。(加九)，又4(2,0),8(6,0),C(0,-3),

①若A8,CQ为对角线，则A8,CQ的中点重合，

.+6=m

•••S=n_3'

解得｛建：，

•••0(8,3)；

②若4C,8。为对角线，同理可得：

解得｛：二二，

：•D(—4,—3)；

③若A。，8C为对角线，可得:

pn+2=6

tn=-3

解得｛［二3，

•••。(4,-3),

综上所述，D的坐标是(8,3)或(-4,-3)或(4,-3)；

(3)设直线x=1交BC于K,如图：

设P(l,t)，

•••SAABP=-\yP\=|x(6-2)x|t|=2|t|,

在y="-3中，令％=1得y=-g,

・•.PK=|t+||,

-SABCP=*K•I^B-^CI=|XIt+|lX6=3|t+||,

•••△ABP^^BCP的面积相等，

•1•2|t|=3|t+1|,

当tNO时，2t=3(t+|),

解得t=一家舍去)，

当一|st<0时，-2t=3(t+|),

解得t=-£

・•・P(L-|)，

当t<1|时，

-2t=-3(t+|),

解得”一米

•••P(lg),

综上所述，点尸的坐标为(L-分或(1,一会

【解析】(1)把4(2,0)代入y=心方一3可得直线小y=|x-3,把B(6,0),(?(0,-3)代

入y=伍％+b可得直线，2：y=-3；

第16页，共19页

(2)设D(m,n),又4(2,0),6(6,0),C(0,-3),分三种情况:①若AB,CD为对角线,则

AB,8的中点重合，解得。(8,3)；②若AC,80为对角线，之，

解得。(—4,—3)；③若ADBC为对角线，解得0(4,一3)；

(3)设直线％=1交8c于K,设P(l,t),可得雇加「=：48-|yp|=2|t|,ShBCP^\PK-

\xB-xc\=3|t+||,根据△4BP与ABCP的面积相等，有21tl=3|t+||,即可解得点

尸的坐标为(1,一分或(1,一方).

本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，平行四边形的性质及应用，三角形面

积等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标和相关线段的长度.

26.【答案】解：(1)如图1,连接8。，过。

作DH1BC交于H,

•­•BGLCD,8G平分C£）,

.・.BD=BC，

・••BC=5,

：•BD=5,

•・•BA=4,

在RMAB。中，AD=2V5；

(2)如图2,连接OF,过。点作CHLBC交于

H,

­.•FG是C£＞的垂直平分线,

AFD=FC,

vFC=y,

・•・FD-y,

•••BC=5,

・•.BF=5—y,

vAD=%,

・•・BH=x,

・•・FH=|x-5+y|