2021-2022学年云南省昆明市高二（下）期末数学试卷（附答案详解）

2021-2022学年云南省昆明市高二（下）期末数学试卷

1.设集合4={-1,0,1,2,3},B={x||x|W1},贝IJADB=()

A.{-1,0]B.[0,1}c.{—i,o,i)D.{0,1,2}

2.(1+炉=()

A.-2-2iB.-2+2iC.2+2iD.2-21

3.在等比数列中，%+的=2,a3+a5=6,则%=()

A.2B.3C.-

3

27r

4.在AABC中，B=—,AB=BC=1,则超AC=()

3

A.1B.-C.V3

2

5.如图，向一个半径为1的半球形容器注水，则水面高度〃

随水面圆半径7•变化的函数图像大致为（）

A.tan(a-/?)=V3B.tan(a—/?)=-V3

C.tan(a+0)=-V3D.tan(a+/?)=V3

7.治贫先治愚，扶贫先扶智，教育是阻断贫困代际传递的根本之策.为解决某地区教

师资源既乏的问题，教育部门安排甲、乙、丙等6名优秀教师分批次参加支教，支

教共分3批次进行,每批次支教需要同时安排2名教师，每名教师只参加1次支教，

则在甲安排在第一批次的条件下，乙和丙安排在同一批次的概率为（）

A.iB.iC.-

3510

8.设。=与，c=2（1—ln2）,则（）

A.b<c<aB.c<b<aC.a<b<cD.c<a<b

9.己知函数/'（%）=sin（6）%+g）®>0）的最小正周期为兀，则（）

A.函数/(x)图像关于点(或0)中心对称

B./(%)在舄,勺上单调递减

C.将曲线y=/(x)向右平移g个单位长度，得到函数g(x)=sin0x)的图像

D.直线x=-皆是曲线y=/(乃的一条对称轴

10.如图，在正方体4BCD-A1B1GC1中，E,F,G分别是

棱BiQ,QDi的中点,则()

A.FG〃平面4E。］

B.BCi〃平面4E%

C.点G在平面AEDi内

D.点尸在平面4ED1内

11.已知函数/(%)对VxeR,都有/(一乃=-/0),/(2-乃=/。)，且/(1)=1,则()

A.f(x)的图像关于直线x=2对称B./(x)的图像关于点(-2,0)中心对称

C./(6)=0D./■⑸=-1

12.已知抛物线C：丫2=M的焦点为凡过点F的直线/与C相交于A,8两点(点A

位于第一象限)，与C的准线交于。点，尸为线段AO的中点，准线与x轴的交点

为E,则()

A.直线/的斜率为遮B.荏=2前

C.>0D.直线AE与BE的倾斜角互补

13.二项式(2x+SE)6展开式中/的系数为.

14.已知直线/：¥-b'-1=0与圆(7：。-2)2+y2=1相交于A,B两点，则

\AB\=.

15.已知。是椭圆C：条+\=l(a>b>0)的上顶点，F是C的一个焦点、直线。F

与椭圆C的另一个交点为点E,且而=2FE,则C的离心率为.

16.若存在直线与函数/'(x)=e*T,g(x)=Inx+a的图像都相切，则实数。的最大值

为.

17.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为小b,c,记△4BC的面积为S,分别以4，

h,c为边长的三个正方形的面积为Si，52,S3,且Si+S3-S2=4S.

⑴求8;

(2)若52=2,A=\求S.

18.如图，在三棱锥P—ABC中，PC_L平面ABC,BC=V3AC,/.BAC=1,M是PA

的中点.

(1)证明：PAIBC；

(2)若PC=AC,求平面P8C与平面BCM所成角的大小.

第2页，共15页

p

19.已知正项数列｛an｝,%=1,g=2,｛W+i—W｝是公差为2的等差数列.

(1)证明：｛Qn｝是等差数列；

(2)记%为数列｛Qn｝的前〃项和，求^■+机+机+…+白

20.北京时间2022年4月16日，神舟13号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，

这趟神奇之旅意义非凡，尤其是“天宫课堂”在广大学生心中引起强烈反响，激起

了他们对太空知识的浓厚兴趣.某中学为了解学生的性别和对天宫课堂的喜欢是否

有关联，采用简单随机抽样的方法抽取100名学生进行问卷调查，得到如下列联表:

天宫课堂

性别

不喜欢喜欢合计

女204060

男103040

合计3070100

(1)画出列联表的等高堆积条形图，并判断该中学学生性别与喜欢天宫课堂是否有

关联；

(2)依据小概率值a=0.1的,2独立性检验，能否据此认为该中学学生性别与喜欢天

宫课堂有关联；

(3)以上两种方法得出的结论哪一种更可靠，请说明理由.

2_n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

21.已知直线y=2与双曲线C：冬一《=l(a>0,b>0)交于A,B两点,F是C的左

焦点，RAF1AB,\BF\=2\AF\.

(1)求双曲线C的方程；

(2)若P,。是双曲线C上的两点，M是C的右顶点，且直线与M。的斜率之

积为-1,证明直线尸。恒过定点，并求出该定点的坐标.

22.已知函数f(x)=ex(\nx+a).

(1)若f(%)是增函数，求实数。的取值范围；

(2)若f(%)有两个极值点%1，%2，证明:%1+%2>2.

第4页，共15页

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解:集合4={-1,0,1,2,3),

B={x||x|<1]={x|-1<x<1},

则4nB={x\-1,0,1).

故选：c.

求出集合8,利用交集定义能求出4nB.

本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是

基础题.

2.【答案】B

【解析】解：(1+i)3=(1+0(1+i)2=(1+i)(l+2i-l)

=(1+i)2i=-2+21.

故选：B.

由(l+i)3=(l+i)(l+i)2,展开两数和的平方公式，再由多项式乘以多项式求解.

本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题.

3.【答案】D

【解析】解：在等比数列中，的+。3=2,a3+as=6,

.+犷=2

"(2g2=6

解得%=i

故选：D.

利用等比数列通项公式列方程组，能求出首项.

本题考查等比数列的通面公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

4.【答案】B

【解析】解：•••在A/IBC中，B=胃,AB=BC=1,

ABAC=AB-{AB+BQ=AB+AB•BC=1+1x1xcosg=；,

故选：B.

先将南•灰中的正转化为荏+较，再利用向量数量积的定义与性质计算即可得解.

本题考查向量线性运算，向量数量积的定义与性质，属基础题.

5.【答案】A

【解析】解：如图，连接。。1，0A,由图可得0货+。送2=0A2,

•••(1—h)2+r2=1,即(/i—1)2+产=i,其中he[0,1],r6

[0,1].

•••水面高度〃随水面圆半径r变化的函数图像为以(0,1)为圆心，半径为1的四分之一圆,

故选：4

连接001，OA,由图可得。。1+0送2=。炉，再将已知代入化简有(八一+"=M,

从而得出正确答案.

本题考查函数的图象，圆的方程的应用，属基础题.

6.【答案】D

【解析】解：；tana=鹿衿吗=与吗=tanf-£),

cos|?+V3sin/?1+V3tan^k3一

:.a=kn+三一B,k£Z,

即a+/?=/CTT+gfc6Z,

故tan(a+0)=tan(fc7r+：)=tan^=V3,

故选：D.

由题意，利用同角三角函数的基本关系式，两角差的正切公式，求得a+B=k7r+&

k€Z,从而得出结论.

本题主要考查同角三角函数的基本关系式，两角差的正切公式的应用，属于基础题.

7.【答案】B

【解析】解：设“甲安排在第一批次”为事件A,“乙和丙安排在同一批次”为事件B,

则n(4)=ClClCl=30,n(AB)=废掰=6,

所以P(B|A)=4=t

故选：B.

设“甲安排在第一批次”为事件4“乙和丙安排在同一批次为事件B,求出甲安排在

第一批次的方法总数及甲安排在第一批次乙和丙安排在同一批次的方法总数，由条件概

率公式代入即可求出答案.

本题考查条件概率，考查学生的计算能力，确定基本事件的个数是关键.

8.【答案】D

【解析】解："a=y>0,b=-^=>0,

返

由3=+=2<1,得a<b,

b胡3

令/i(x)=Inx-x>1,则"(x)=工-7A=0,

k7x+1、)X(x+1)2x(x+l)2

则h(%)=ln%—笺詈，%>1为增函数，

第6页，共15页

v九(1)>0,九(%)>0恒成立，故%>1时，In%>之相：)恒成立,

则山2>当/=|,则c=2(1-ln2)<|,

令m(X)=ex—x—1,x>0,则7n'(x)=ex-1>0恒成立，

则7n(%)=ex—x—1,x>0为增函数，又血(0)=e°—0—1=0,

・•・7n(x)>0恒成立，即x>0时，e*>x+l恒成立，

则正=62>i4-1=则a=

2224

则Q=苧>3则Q=-y>^>|>2(1—ln2)=c,

综上，c<a<b.

故选：D.

利用比商法比较〃，方的大小，构造新函数，并利用放缩法比较〃，c的大小，进而得到

c<a<b,

本题考查命题真假的判断，考查比商法、构造法、导数性质、放缩法等基础知识，考查

运算求解能力，是中档题.

9.【答案】ABD

【解析】解：函数/(%)=sin(e%+/)(3>0)的最小正周期为生=TT,A3=2,/(%)=

3(i)

sin(2x+1).

令x=5求得/(乃=0,可得函数/(x)图象关于点G，0)中心对称，故A正确；

在琮噂)上，2%+^e(py),函数/(x)单调递减，故B正确；

将曲线y=f(%)向右平移g个单位长度,得到函数g(x)=sin(2x-力的图象，故C错误；

令％=一奈求得小)=-1,为最小值，可得函数f(x)图象关于直线x=—*(寸称，故

D正确,

故选：ABD.

由题意，利用正弦函数的图象和性质，函数y=4sin(3x+0)的图象变换规律，先求出

函数的解析式，从而得出结论.

本题主要考查正弦函数的图象和性质，函数y=4sin(3x+s)的图象变换规律，属于中

档题.

10.【答案】8。

【解析】解：如图,

连接Bi。1，"F,G分别是棱BiG，GDi的中点，••.GF〃&Di，

若尸G〃平面ZED],则当劣u平面4EQ,或当名〃平面AEDi，这与当小。平面AEQ=Dr

矛盾，故A错误；

连接EF,由题意可知EF〃BG，而EFu平面4E。],<t平面4E0「〃平面4E0],

故8正确；

由EFu平面力ED1，BG〃平面4ED「可得点Q不在平面4ED]内，点尸在平面4E5内，

故C错误，。正确.

故选：BD.

由直线与平面平行的判定判断A与B；证明EFu平面AEDi，〃平面4E%,即可判

断C与D.

本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能

力，是中档题.

11.【答案】BC

【解析】解：因为f(T)=一/(乃,所以f(X)为奇函数，

又因为f(2—x)=/(x),所以/(x)关于x=1对称，

所以〃2-乃=-/(-%),

令x等价于-x，所以/'(x+2)=f(x),

再令x等价于x+2,所以/'(x+4)=/(x+2)=/(x),所以/(x)的周期为4,

由f(x+4)=f(x),/(-x)=-f(x)可得：-/(-x)=f(x+4),

所以/(x)的图象关于(2,0)对称，故A不正确；

又因为f(x)的图象关于(2,0)对称，/(久)的周期为4,所以/(%)的图象关于点(-2,0)中心

对称，故B正确：

令/'(2-x)=/(x)中x=0,可得f(2)=0,所以〃6)=/(2+4)=〃2)=0,故C正

确；

/(5)=/(4+1)=/(I)=1,故。不正确.

故选：BC.

由题意得/'(x+4)=/(x),所以/(x)的周期为4,又因为/(2-x)=/(x),所以f(x)的

图象关于(2,0)对称，可判断A；

又因为f(x)的周期为4,所以的图象关于点(-2,0)中心对称，可判断8；

由f(6)=f(2+4)=f(2),可判断C；

由/"(5)=/(4+1)=/(I)=1,可判断D.

本题考查了函数的奇偶性、对称性及周期性，属于中档题.

12.【答案】ABD

【解析】解：易知抛物线的焦点尸(1,0),若直线/与x轴重合，则直线/与抛物线C只

有一个交点，不合题意，

第8页，共15页

若轴，则直线/与抛物线的准线平行，不合题意，

设直线/的方程为％=my+l(?nH0),点4(%1，%)，/电力)，

联立｛:=7；+1，可需二之，则点以-1,-》

\m

因为点尸为线段A。的中点，则4(3,2),则2>0,可得小>0,

因为点A在抛物线C上，则3x4=12,可得巾=£

m23

所以直线/的斜率为次，故A正确；

联立"=9+1,解得广二黑或『一32即点4(3.2①B6-争，

2

y=4xUl—ZVJIy2=———

易知点D(—1,-2百)，所以希=(一g,苧)，前=(一土—竽)，则有荏=2前，故2

正确；

易知点E(-l,0),AE=(-4,-273),丽=(§一竽)，故荏•丽=-?+4=一土故

C错误；

1^=，=与,曦姿=一日，贝1%后=一嚷，所以直线AE与BE的倾斜角互补，故

D正确.

故选：ABD.

分析可知直线/的斜率存在且不为零，设直线/的方程为久=my+l(m,0),求出点O

的坐标，可得点A的坐标，分析可得m>0,将点A的坐标代入抛物线C的方程，求出

"?的值，可判断A,再将直线/的方程与抛物线的方程联立，求出点A,B的坐标，利

用平面向量与解析几何的相关知识可判断BCD的正误.

本题考查抛物线的几何性质，考查方程的思想方程，属中档题.

13.【答案】60

【解析】解：二项式(2%+a)6展开式的通项公式为：

Tk+i==J26fx6苫，

令6-：=4,则k=4,

••・展开式中一的系数为或22=60(

故答案为：60.

先求出二项展开式的通项公式，再令6=4,求出k=4即可.

本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题.

14.【答案】V3

【解析】解：圆心(2,0)到直线/：%-V3y-10的距离d=不；=・又由(萼宁+

卜+6

d2=N,...（与）2+（｝2=12,解得|AB|=百,

故答案为：V3.

运用圆的弦长公式直接求解.

本题考查了圆弦长的计算，是基础题.

15.【答案】y

【解析】解：F是C的一个焦点，不妨设尸(—c,0),

22

・・・。是椭圆。：京+靠=l(Q>b>0)的上顶点，

・•・。(0/)，

设E(m,n),

•・•直线。尸与椭圆C的另一个交点为点E,月.9=2而,

.%(—c,—b)=2(m+c,n),解得m=-y,n=­p

vE(m,n)在椭圆上,c2=a2—b2,

Ae=T-

故答案为：y.

设E(m,n),结合向量的坐标运算，求出?n=-与，n=-p再将点E代入椭圆，结合

椭圆的性质，即可求解.

本题主要考查椭圆的性质，考查转化能力，属于中档题.

16.【答案】1

【解析】解：曲线/(%)=的图象下凸，曲线g(x)=Inx+a上凸，

存在直线与函数f(%)=ex-1,g(%)=Inx+a的图像都相切，

即在定义域(0,+8)上，/(%)>g(x)恒成立，

记九(%)=e*T—Inx—a,九'(%)=ex-1—1在(0,+8)上单调递增，

且在(0,+8)上有唯一零点％°,即靖。-1一工二0,

XO

x1

可得九(%)min=%(%0)=e°~—lnx0—a=^-+x0—1—a>21^--x0-1—a=l—a,

当且仅当殉=1时取等号.

/.1—a>0,即Q<1.

・・.实数〃的最大值为1.

故答案为：1.

问题转化为在定义域(0,+8)上，/(%)>g(%)恒成立，记左(％)=ex-1-Inx-a,利用

第10页，共15页

导数求其最小值，再由最小值大于等于0即可求得a的最大值.

本题考查利用导数求函数的最值,考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题.

17.【答案】解：⑴由S]+S3-52=4S可得：a?+c?一人2=4x[acsinB,

由余弦定理可得2accosB=4x^acsinB,即tanB=1,

因为0<8<兀，所以B=£.

4

（2）在△ABC中，由正弦定理高=亮得名=全解得a=l,

2~2

由余弦定理匕2=c2+a2-2cacosB得2=c2+1—2cx

解得©=等或©=学（舍），

所以S=：xlx^=中.

224

【解析】（1）由已知得，a2+c2-b2=4x^acsinB,从而得角3的正切值，利用三角

形角度关系，即可得角8；

（2）利用正余弦定理解三角形即可求三角形面积.

本题考查三角形的正弦定理和余弦定理的运用，考查运算能力，属于中档题.

18.【答案】（1）证明：在△ABC中，由正弦定理得，3=一%,

\'sinjsinz-ABC

所以sin-WC=三，

2

因为4C<BC,所以N4BC=±所以々1CB=2,即BC1AC,

62

又PC_L平面ABC,所以PCIBC,

因为ACnPC=C,AC,PCu平面PAC,所以BC1平面PAC,

因为P4u平面PAC,所以BC1P4

（2）解：由PC_L平面ABC,AC1BC,知C4,CB,CP两两垂直，

故以C为坐标原点，CA,CB,CP所在直线分别为x,），，z轴建立如图所示的空间直角

坐标系，

设PC=4。=2,贝ij4(2,0,0),B(0,2>/3,0),P(0,0,2),

所以西=(1,0,1),CB=(0,2V3,0),

设平面BCM的一个法向量为元=(x,y,z),则俨.曳二°,即卜8y=0,

令x=l,则y=0,z=—1,所以记=(1,0,—1),

因为AC1平面PBC,所以平面的一个法向量为记=(1,0,0),

所以cos(而，力=器=«=¥，

故平面P8C与平面3cM所成角的大小为

【解析】(1)在A/IBC中，先利用正弦定理求得4ABC,进而知BC14C,再由PC1平面

ABC,可得PC1BC,然后结合线面垂直的判定定理与性质定理，得证；

(2)以C为坐标原点建立空间直角坐标系，依次求得平面8cM和平面PBC的一个法向

量元与记，再由空间向量数量积的坐标运算，即可得解.

本题考查立体几何综合，熟练掌握线面垂直的判定定理与性质定理，利用空间向量求面

与面的夹角是解题的关键，考查空间立体感，推理论证能力和运算能力，属于中档题.

19.【答案】证明：(1)由题意，aj-al=3,

因为｛W+i-a3是首项为3,公差为2的等差数列，

所以W+i-W=2几+1,

W=(W-碌_1)+(Wt-嫌_2)+-+(堵-冠)+al

=(2n-1)+(2n-3)4---F5+3+l=n2,

又因为＞0,所以an=n,

故"n+i—an=n+l—n=l,

所以｛即｝是等差数列；

解：(2)由(1)得Sn=吟故9=1^=2©-2)，

y

'/'/"2Snn(n+l)n+l

1.1,1,.1c/y1,11.1.11、1、2n

--4--+—+,••4---=2(k1--+---+d-------)=2(1----)=---.

SiS2s3Sn2233nn+1，'n+1，n+1

【解析】(1)由题意可得W+1-W=2n+1,又W=(W-a£i)+(W-1-«n-2)H----1-

(谖-/)+a：,再结合等差数列的求和公式即可求出厮，最后由等差数列的定义即可

证明；

(2)由裂项相消法求解即可.

本题考查了等差数列的证明和裂项相消求和，属于中档题.

20.【答案】解：(1)根据上面的2x2列联表，该中学女生不喜欢天宫课堂和喜欢天宫课

堂的频率分别为空«0.333和竺=0.667,

6060

该中学男生不喜欢天宫课堂和喜欢天宫课堂的频率分别为券=025和,=0.75.

4040

根据以上数据，画出等高堆积条形图，如图所示：

第12页，共15页

图中两个深色条的高分别表示该中学女生和男生中不喜欢天宫课堂的频率，从图中可以

看出，女生喜欢天宫课堂的频率明显低于男生喜欢天宫课堂的频率，因此我们可认为该

中学学生喜欢天宫课堂与性别有关联.

(2)零假设为%:该中学学生喜欢天宫课堂与性别无关联，

根据列联表中的数据得：72=7(墨=I*?。：。*。)?=郎。0.7937<

(a+bC)(c+d)(a+c)(b+d)60x40x30x7063

2.706=&1,

依据小概率值a=0.1的尤2独立性检验，没有充分依据推断也不成立，因此，不能计为

该中学学生喜欢天宫课堂与性别有关联.

(3)用等高堆积条形图是根据一个样本的两个频率存在差异得出喜欢天宫课堂与性别有

关联的结论，并没有考虑由样本随机性可能导致的错误，故推断依据不太充分.

用犬独立性检验对零假设4°进行检验，通过计算推断，接受％,推出喜欢天宫课堂与

性别无关联.因此，只根据频率的差异得出喜欢天宫课堂与性别有关联的结论是不可靠

的.由此可见，相对于等高堆积条形图检验结果，用/独立性检验得到的结果更可靠.

【解析】(1)分别求出该中学女生、男生不喜欢天宫课堂和喜欢天宫课堂的频率，即可

画出等高堆积条形图，再根据等高堆积条形图判断该中学学生性别与喜欢天宫课堂是否

有关联；

(2)根据列联表中的数据求出/2,即可得出答案；

(3)用等高堆积条形图只是根据一个样本的两个频率存在差异得出喜欢天宫课堂与性别

有关联的结论，并没有考虑由样本随机性可能导致的错误，所以推断依据不太充分，用

/独立性检验得到的结果更可靠.

本题考查了独立性检验的相关程度问题，解题时应利用教材中的数表，是中档题.

21.【答案】解：(1)因为AF1AB,所以|4F|=2,|BF|=4,=2遮，

设双曲线C的焦距为2c,

因为直线y=2与双曲线C：^-^=l(a>O.b>0)交于A,8两点，F是C的左焦点,

由双曲线的对称性知|4B|=2c=2Vx

设双曲线C的右焦点为F',则|BF|-|AF|=|BF|-|8F'|=2a=2,得a=1,

则b=Vc2—a2=V2,

故双曲线c的方程为/一q=1.

(2)证明：由已知得设直线MP与MQ的斜率分别为七，k2,

①当直线P。不垂直于X轴时：

设直线PQ的斜率为A,P。的方程为y=kx+m,P(X[,%)，Q(x2,y2),

由得(1—2)x2+2kmx+m2+2=0,

当A=8(^2-1+2)>o时，X1+x2=xTx2=

cck2(m2+2)2k2m2,_2

那么k攵=%%_(k，i+m)(依2+m)_:222+:皿%1+%2)+而_Q一笆石切

12

-(Xj-ljCXj-l)-&-1)(上-1)―-^1X2-(X1+X2)+l-一~*+警+i-

-2kz-2

2(k+m)(k；m)=也四==,得m=2k,符合题意.

(k+m)2k+m3

所以直线PQ的方程为y=k(x+2),恒过定点(一2,0).

②当直线P。垂直于x轴时：

设P(t,h),因为P是C上的点，所以h2=2/一2,

则卜也=恚=霹=誓=-|，解得"-2,

故直线PQ过点(-2,0).

综上，直线尸。恒过定点(一2,0).

【解析】(1)利用双曲线的几何性质求出a，b、c,即可求出双曲线C的方程；

(2)设直线MP与MQ的斜率分别为抬，k2,分类讨论：①当直线尸。不垂直于x