2021贵州考研数学一真题及答案

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2021贵州考研数学一真题及答案

一、选择题(本题共10小题，每小题5分，共50分.每小题给出的四个选项中，只有一个选

项是符合题目要求，把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上.)

"ev-1

⑴函数/(%)=,^^"二°,在x=0处

Il,x=0

(A)连续且取极大值.(B)连续且取极小值.

(C)可导且导数为0.(D)可导且导数不为0.

【答案】D.

【解析】因为lim/(x)=limgt-1=1=/(0),故/(x)在x=0处连续;

x->0XTOX

F一1

一/(0)-^―-1ex-1-x1,1

因为lim=lim-------=lim--------=故/鲂=2，正确答案为D.

x-0zx-01°X-2

(2)设函数/(x,y)可微且/(x+l,e、)=x(x+l)2,f(x,x2)=2x2\nx,则#(1,1)=

(A)dx+dy.(B)dx-dy.(C)力.(D)-dy.

【答案】C.

【解析】/'a+l,e*)+e"'a+1,/)=(X+1)2+2X(X+1)①

/；(x,x2)+，x2)-4x\nx+2x②

2X/2(X,

分别将(x=?，卜=1,带入①②式有

,=0[y=1

/(1,1)+力(1,1)=1,工'(1,1)+2-'(1,1)=2

联立可得工'(1,1)=0,欣,1)=1,或'(1/)=<'(1,1)次+((1,1迫=力，故正确答案为C.

q】nx

(3)设函数/,(X)=-____在x=0处的3次泰勒多项式为"+bd+cd,则

1+x2

77

(A)Q==0,c=.(B)6f=1,6=0,c=_.

66

77

(C)(7=—1,Z?=-l,c=-__(D)Q=-1/=-l,c=_.

66

【答案】A.

【解析】根据麦克劳林公式有

sinx「/3123733

/.)=]+.=]j—武0(x)kjl-x+0(x)]=x-6^+0(x)

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7

故。=1,6=0,c=--，本题选A.

6

(4)设函数/(X)在区间[05上连续，则，/(球改=

-(2k1°〃

(A)limX/i----|一•(B)limZ/----|_.

f—井用〃

(C)limZ/i___|_.(D)limZ/一

n^°*=i12〃J”"T°A=I^2n)n

【答案】B.

【解析】由定积分的定义知，将(0,1)分成〃份，取中间点的函数值，则

>"(2k-\\1

jf(x)dx=lim£/_____，即选B.

%〃T8l12〃J7?

(5)二次型/(X,X,X)=(X+x)2+(x+x丁-(x-x了的正惯性指数与负惯性指数依次为

123I22331

(A)2,0.(B)l,l.©2,1.(D)l,2.

【答案】B.

【解析】/'(x,x,x)=(x+x>+(x+x)2-(x--xI=2x2+2xx+2xx+2xx

1231223312122313

roin

所以/=121,故特征多项式为

J10>

A-1-1

\AE-A|=-1-2-1=(2+1)(/1-3)2

-1-12

令上式等于零，故特征值为-1,3,0,故该二次型的正惯性指数为1,负惯性指数为1.故应选B.

⑴⑹

⑹已知a=’0,a-2,a-1,记夕=/P-a-kp,p,

12

311221331122

WId⑵

若0,发，及两两正交，则。依次为

51515151

(A)—(B)--.(C)—,(D)

22222222

【答案】A.

【解析】利用斯密特正交化方法知

£=a一口用£[2I”

22[O1.

1122

故/=囹冽=",1==12_故选A.

‘原用2%，由2

(7)设48为〃阶实矩阵，下列不成立的是

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1(AO}(AAB}

(A)r心⑷(B)rl

\o0

1BA>1I)Ao\

(C)r|AA'\l=2«)(D)rl

BA丁尸《)

【答案】C..、

(AOyT

imi(A)rl屋/=r(4)+NN普.

(B)/3的列向&可由//列线性表示，故尸=r=/«)+/•(/)=2「⑷.

Arj]0jJ

(C)氏4的列向量不一定能由/的列线性晒BA\(Ao\

(D)氏4的行向量可由N的行线性表示，r=r=/«)+〃(w)=2，«).

〔OATj10AT\

本题选C.

(8)设3,8为随机事件，且0<P(8)<l,下列命题中不成立的是

(A)若尸(4|3)=尸(⑷,则尸(川耳)=P(N).

(B)若尸(川B)>P(A)，则P(AIB)>P(A)

(C)若P(A\B)>P(A|B)，则P(A\B)>P(A).

(口)若尸(川幺口3)〉。(彳|/[8),则尸(2)>尸(B).

【答案】D.

2(/(/口3))_P(Z)

【解析】P(*Z□图----------

P(AQB)-P(A)+P⑻-P(AB)

「/?)=/(不/口为)=P«B)P®-P(AB)

P(ADB)P(ADB)P(A)+P(B)-P(AB)

因为P(N|Z□B)>P(A\AQB),固有P(A)〉P(B)-P(AB),故正确答案为D.

(9)设(乂,匕),(丫2，丫2),口，(入”匕)为来自总体N(4，*d，《；方曲简单随机样本，令

-1"-1""一_

心4—4,x=Zx/=gz先x—丫，则

〃,=i〃-oW

(A)源儆无偏估计，-------2

(B)亦是儆无偏估计，D6(=)US

,"n

q/人、"+"-20Tb

(C)族儆无偏估计，D[二)」——工一二u

'"n

(D)所是4勺无偏估计，D4=)」——2一二±2

【答案】C.

【解析】因为x,y是二维正态分布，所以又与「也服从二维正态分布，则又工厂也服从二维正态

分布，即E«=E(a。=E(X)_£(y)=4_4=e,

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Gcr+cr-2pocy

Z)C)=D(X—F)=。(刀)+。(F)-cov(N,F)———z-------u,故正确答案为C.

n

(10)设&,丫2口,％6是来自总体N(〃,4)的简单随机样本，考虑假设检验问题：

“0：庐10,口：4>10.①(X)表示标准正态分布函数，若该检验问题的拒绝域为%=｛灭211｝,

_116

其中文=出5万,，则〃=1L5时，该检验犯第二类错误的概率为

(A)l-①(0.5)((B)l-①(1)

(C)l-0>(1.5)((D)1-0(2)

【答案】B.

【解析】所求概率为P{XW11}万口%(11.5」),

4

Jl^-11.511-11.51,占八、

P{X<11}=；=

,22.

故本题选B.

二、填空题(本题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案写在答题纸指定位置

上.)

r«0dx

(11)J。x2+2x+2

71

【答案】一

4

nn71

［解析］f—~半~~-=P---"---=arctan(x+1)『二

22105了了

JoX+2X+2Jo(x+l)+l

fx=2e'+t+\,x<0d2y

(12)设函数y=y(x)由参数方程〈,,

2确定，则kI，=。=_□.

2'-［y=4(t-l)e'+t,x>0

【答案】

dy4te'+2td2y(4e'+4fe'+2)(2e'+l)-(4fe'+2f)2e‘

【解析】由一=--------得一=-------------------------------------

dx2e'+\次(2e'+iy

d2V2

将带入得”|』二3

(13)欧拉方程+孙，_4y=0满足条件M1)=1,j/(1)=2得解为y=3.

【答案】X2.

【解析】令X=d，则孙'=4二》2/=0_?，原方程化为北一4y=0,特征方程为

dtdx2dxdx2

4—4=0,特征根为4=2,4=—2,通解为歹=。£21+。"2/=。12+。］一2,将初始条件

121212

XI)=1,/(1)=2带入得C=l,C=0,故满足初始条件的解为y=x2.

12

(14)设X为空间区域｛aj,z)F+4V«4,0«zV2｝表面的外侧，则曲面积分

jjx2dydz4-y1dzdx+zdxdy=□.

【答案】4九

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【解析】由高斯公式得原式=JJf(2x+2y+\)dV=J。dz\\dxdy=4%

D

(15)设A=4为3阶矩阵，4为代数余子式，若A的每行元素之和均为2,且|旬=3,

4l+421+431=-------------------------

3

【答案】一.

2

则/的特征值为\A\,对应的特征向量为

1

‘41+“21+411

MLA+A即

J2,2232

1rA+A+/

13232337

4I+〃2I+4=

2'

(16)甲乙两个盒子中各装有2个红球和2个白球,先从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙盒中,

再从乙盒中任取一球.令x,y分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数，则x与y的相关系

数_____.

-1

【答案】

5

I「(0,0)(0,1)(1,0)(I,in(0n(01)

【解答】联合分布率(X,yg3113丫口11a口11।

I--

K1O5

151

y-即2

，

，

cov(X,Y)=_,DX-一

4-4-5

20

三、解答题(本题共6小题，共70分.请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写

出文字说明、证明过程或演算步骤.)

(17)(本题满分10分)

求极限lim1十%,_]

5—-sinx

【答案】1.

2

1+cxe'2dt'sinx-1-[e''dt

【解析】解：lim1。।

ioe—1

又因为「一"=『(1+/+。(/)辿=X+1/+O(x3),故

003

(x-Lr3+o(x3))(l+x+

产+o(x3))_X一尸o(x2)

原式:lim——显----------------

Xf0x2

1X2+o(x2)

1

=lim--------------

2

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(18)(本题满分12分))

S00

M+1

设〃“(x)=e+%“+—(〃=1,2,口)，求级数X”,,(x)的收敛域及和函数.

fe-^+--+G

—(1x”n(lx)x,x(0,1)

【答案】S(x)=\e]

，八一1

[e-1

【解析1B_

r118=e-x

S(X)=E",,(X)=ZIF"+»(«+l)xJ收敛域(0,1],SQ)=—1=^,x£(0,1]

n=1n=l[_Jn=l

S(%)=X----—_0，"+1=-xln(l-x)-[-ln(1-x)-x]

~hn,J=in+1

=(l-x)ln(l-x)+x,xe(0,1)

S,(l)=limS(x)=1

x->r2

Z*+--+e

1_*(1》)ln(lx)(0,1)

___,X=1

[e-\

(19)(本题满分12分)

[x2+2y-z-6

已知曲线C：4,求C上的点到xo歹坐标面距离的最大值.

....|4x+2y+z=30

【r答案】661,

【解析】设拉格朗日函数L(x,y,z,4〃)=z?+A(x2+2y2-z-6)+//(4x+2y+z-30)

£；=2x4+4〃=0

Ly=4y2+2w=0

L=2z—A+u=0

x2+2y2-z=6

4x+2y+z=30

解得驻点：(4,1,12),(-8,-2,66)

C上的点(-8,-2,66)至I」xoy面距离最大为66.

(20)(本题满分12分)

设DuK是有界单连通闭区域，1(D)^(4-x2-y2)dxdy取得最大值的积分区域记为D.

⑴求/(0J的值.

?4<+4r

(xe''+y)dx+(4j；e--x)dya八1Vlp后小奥

(2)计算f-------------------->其中是的正向边界.

a[<“；[y

【答案】-九

【解析】(1)由二重积分的几何意义知：Z(D)=|J(4-x2-y2)Jcr,当且仅当4—f—/在。上

大于0时，/(D)达到最大，故。：f+j?<4且/(D户产—r)汨尸=8乃.

⑵补分与+仅二公"很小,，取。的方向为顺融也向，人

2

J(xex+4y'+y)dx+(4yex+4y~-x)dy

叫x2+4y2

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(xJ44,4-y)dx+(4yer+4v-x)dy(xeA+4v+y)dx+(4yex+4y-x)dy

x*2+4y2x2+4y2

幽+az)2

=一-jxdx-\-4ydy-jydx-xdy=-IdCP=一4.

'BD2BD2D2

(21)(本题满分

'a

已知/=1

-1

(1)求正交矩阵P,使得为对角矩阵;

⑵求正定矩阵C,使得C2=(a+3)E—4

1、

'51

3

【答案】(1)P；(2)C='-15

3升

忑

1215

0

水)33；

【解析】

-11

⑴由回/卜-1九一a1(丸―々+1)2(4—"2)=0

112-a

得4=a+2,4=4=a—1

当％=Q+2时

-1口610I1的特征向量为a」W

…—321rn'o1

112)000JI-1;

当4=4=所

I1忸1一「Ga：

(("1)E—/)=-100的特征向量为a

-rI03

10002

7

(11

aaa、