备战2022年高考数学二轮复习培优专题 第35讲直线与圆

试卷第=page2020页，总=sectionpages2020页第三十五讲直线与圆A组一、选择题1．若直线mx+ny+2=0（m＞0，n＞0）截得圆的弦长为2，则的最小值为（）A.4B.6C.12D.16【答案】B【解析】圆心坐标为，半径为1，又直线截圆得弦长为2，所以直线过圆心，即，，所以，当且仅当时取等号，因此最小值为6，故选B．2．已知直线与圆相交于两点，且线段是圆的所有弦中最长的一条弦，则实数()A.2B.C.或2D.1【答案】D【解析】由题设可知直线经过圆心，所以，应选答案D。3．设点是⊙上的点,若点到直线的距离为,则这样的点共有()A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【解析】⊙的圆心坐标为(1,1),半径为.圆心C(1,1)到直线l:x+y−4=0的距离.如图，则满足条件的点P有三个，分别是P在A，B，D的位置上。本题选择C选项.4．若圆C：x2＋y2－2x＋4y－20＝0上有四个不同的点到直线l：4x＋3y＋c＝0的距离为2，则c的取值范围是()A.(－12，8)B.(－8，12)C.(－13，17)D.(－17，13)【答案】C【解析】圆C的方程化为(x－1)2＋(y＋2)2＝25，则圆心C为(1，－2)，半径r＝5.据题意，圆心C到直线l的距离d＜3，即<3，则－13＜c＜17，选C.5．若实数，满足，则的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】解答：由题意可得,表示右半个圆x2+y2=1上的点(x,y)与原点(0,−2)连线的斜率，设k=，故此圆的切线方程为y=kx−2，再根据圆心(0,0)到切线的距离等于半径,可得r==1，平方得k2=3求得k=±,故的取值范围是，故选：D.6．设是定义在上的增函数,且对于任意的都有恒成立.如果实数满足不等式,那么的取值范围是()A.(9,49)B.(13,49)C.(9,25)D.(3,7)【答案】A【解析】由是的增函数和奇函数可得,,所以选A.二、填空题7．已知圆：和圆：，若点（，）在两圆的公共弦上，则的最小值为__________．【答案】【解析】由题意得，圆：和圆：两个方程相减即可得到两圆的公共弦，即，又点（，）在两圆的公共弦上，即，则（当且仅当即，等号成立），即的最小值为.8．在平面直角坐标系中，圆．若圆存在以为中点的弦，且，则实数的取值范围是____．【答案】(或)【解析】由于圆存在以为中点的弦，且，所以,如图，过点作圆的两条切线，切点分别为，圆上要存在满足题意的点，只需，即，连接，，由于，，，解得.三、解答题9．已知在平面直角坐标系中，点，直线：.设圆C的半径为1，圆心在直线上．（1）若圆心C也在直线上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；（2）若圆C上存在点，使，求圆心C的横坐标的取值范围．【解析】（1）由题设，圆心C是直线y＝2x－4和y＝x－1的交点，解得点C(3，2)，于是切线的斜率必存在．设过A(0，3)的圆C的切线方程为y＝kx＋3，由题意，＝1，解得k＝0或－，故所求切线方程为y＝3或3x＋4y－12＝0.（2）因为圆心在直线y＝2x－4上，所以圆C的方程为(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1.设点M(x，y)，因为MA＝2MO，所以＝2，化简得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4，所以点M在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则|2－1|≤CD≤2＋1，即1≤≤3.由5a2－12a＋8≥0，得a∈R；由5a2－12a≤0，得0≤a≤.所以点C的横坐标a的取值范围为[0，]．10．已知，直线被圆所截得的弦长为，且为圆上任意一点.（1）求的最大值与最小值；（2）圆与坐标轴相交于三点，求以这三个点为顶点的三角形的内切圆的半径.【解析】（1）∵直线被圆所截得的弦长为，∴到直线的距离为，解得或，又，∴.∴，∴，.（2）由（1）知圆的方程为，令，得或；令，得，或.∴这三个点的坐标为，，.易知，为直角三角形，且斜边，则内切圆的半径为.11．过直线上一动点不在轴上)作焦点为的抛物线的两条切线,为切点,直线分别与轴交于点.(Ⅰ)求证:，并求的外接圆面积的最小值；(Ⅱ)求证:直线恒过一定点。【解析】(I)设，则直线为，与联立，得：因为相切，所以，得：，又，所以即，同理：，所以为的外接圆，又因为：，所以的外接圆面积最小值为：.（Ⅱ）设点，易知：直线方程为：，代入点坐标得：，同理：，所以直线方程为：，又点满足：所以直线恒过定点12．已知动点到点和直线l：的距离相等.（Ⅰ）求动点的轨迹E的方程；（Ⅱ）已知不与垂直的直线与曲线E有唯一公共点A，且与直线的交点为，以AP为直径作圆.判断点和圆的位置关系，并证明你的结论．【解析】（Ⅰ）设动点，由抛物线定义可知点的轨迹E是以为焦点，直线l：为准线的抛物线，所以轨迹E的方程为.（Ⅱ）法1：由题意可设直线，由可得（*），因为直线与曲线E有唯一公共点A，所以，即.所以（*）可化简为，所以，令得，因为，所以所以，所以点在以PA为直径的圆上.法2：依题意可设直线，由可得（*），因为直线与曲线E有唯一公共点A，且与直线的交点为，所以即所以（*）可化简为，所以.令得，因为，所以，所以点在以PA为直径的圆上.B组一、选择题1．已知,直线被圆所截得的弦长为，且为圆上任意一点，则的最大值为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】根据弦心距、半径、半弦长的关系得：，解得：或(舍去)，当时，的最大值，故选D.2．过直线y=2x上一点P作圆M：的两条切线l1，l2，A，B为切点，当直线l1，l2关于直线y=2x对称时，则∠APB等于A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】C【解析】连接PM、AM,可得当切线l1，l2关于直线l对称时，直线l⊥PM，且射线PM恰好是∠APB的平分线，∵圆M的方程为，∴点M坐标为(3,2),半径r=，点M到直线l:2x−y=0的距离为PM==，由PA切圆M于A,得Rt△PAM中,sin∠APM==，得∠APM=30∘，∴∠APB=2∠APM=60∘.故选：C.3．已知直线分别于半径为的圆相切于点，若点在圆的内部（不包括边界），则实数的取值范围是()A.B.C.D.【答案】B【解析】因为，由切线长定理知，又，因此，解得．4．已知动点在直线上，动点在圆上，若，则的最大值为（）A.2B.4C.5D.6【答案】C【解析】如图所示，设点，圆心到直线的距离为，则，因为直线与圆有交点，所以，所以，解得，所以的最大值为，故选C.5．若在圆上，总存在相异两点到原点的距离等于1，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】圆心与原点之间的距离为，当原点在圆外时，则；当原点在圆外时，则；当点在圆上，显然符合，综上3种情况有，解得或，选C.6．已知圆：和两点，，若圆上存在点，使得，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由题意可得点P的轨迹方程是以位直径的圆，当两圆外切时有：，即的最小值为1.本题选择D选项.二、填空题7．已知函数，其中是半径为4的圆的一条弦，为原点，为单位圆上的点，设函数的最小值为，当点在单位圆上运动时，的最大值为3，则线段的长度为__________．【答案】【解析】设，则函数，其中P为单位圆O上的点，∵，∴点A在直线MN上；∴函数f(x)的最小值t为点P到直线MN的距离，当tmax=3时，如图所示；线段MN的长度为.8．在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为__________．【答案】【解析】,当时，半径最大为，圆方程为，故答案为.9．已知直线与圆相交于两点，点分别在圆上运动，且位于直线两侧，则四边形面积的最大值为______．【答案】【解析】把圆M:x2+y2−2x+2y−1=0化为标准方程：(x−1)2+(y+1)2=3,圆心(1,−1),半径.直线与圆相交,由点到直线的距离公式的弦心距，由勾股定理的半弦长=,所以弦长.又B，D两点在圆上，并且位于直线l的两侧，四边形ABCD的面积可以看成是两个三角形△ABC和△ACD的面积之和，如图所示，当B,D为如图所示位置,即BD为弦AC的垂直平分线时(即为直径时)，两三角形的面积之和最大，即四边形ABCD的面积最大，最大面积为：.10．已知圆，设为直线上的一条线段，若对于圆上的任意一点,,则的最小值是________.【答案】【解析】若对于圆上的任意一点,,则圆上的任意一点都在以线段为直径的圆内，圆心到直线的距离为,所以圆上的点到直线的距离的最大值为，所以以线段为直径的圆的半径的最小值为，则的最小值是。三、解答题11．如图，已知圆与轴相切于点，与轴的正半轴交于两点（点在点的左侧），且.（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）过点任作一条直线与圆相交于两点，连接，求证：为定值.【解析】（1）因为圆与轴相切于点，可设圆心的坐标为，则圆的半径为，又，所以，解得，所以圆的方程为（2）由（1）知，当直线AB的斜率为0时，易知即当直线AB的斜率不为0时，设直线AB:将代入，并整理得，设，所以则综上可得。12．若圆：与圆：相外切．（1）求的值；（2）若圆与轴的正半轴交于点，与轴的正半轴交于点，为第三象限内一点且在圆上，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积为定值．【解析】（1）圆的圆心坐标，半径为，圆的圆心坐标，半径为3，又两圆外切得，．（2）点坐标为，点坐标为，设点坐标为，由题意得点的坐标为；点的坐标为，四边形的面积，有点在圆上，有，∴四边形的面积，即四边形的面积为定值4．13．已知平面直角坐标系内两个定点、,满足的点形成的曲线记为.(1)求曲线的方程;(2)过点B的直线与曲线相交于C、D两点,当⊿COD的面积最大时,求直线的方程(O为坐标原点);(3)设曲线分别交x、y轴的正半轴于M、N两点,点Q是曲线位于第三象限内一段上的任意一点,连结QN交x轴于点E、连结QM交y轴于.求证四边形MNEF的面积为定值.【解析】(1)由题设知,两边平方化简得∴点的轨迹的方程为(2)由题意知的斜率一定存在,设即,∵原点到直线的距离,∴,当且仅当时,取得“=”∴当时,此时,∴直线的方程为(3)设设(其中)则,令得∴,令得∴(定值)14．已知动圆与圆外切，与圆内切．（1）试求动圆圆心的轨迹方程；（2）过定点且斜率为的直线与（1）中轨迹交于不同的两点，试判断在轴上是否存在点，使得以为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出实数的范围；若不存在，请说明理由．【解析】（1）由得，由得，设动圆的半径为，两圆的圆心分别为，则，∴，根据椭圆的定义可知，点的轨迹为以为焦点的椭圆，∴，∴，∴动圆圆的轨迹方程为．（2）存在，直线的方程为，设，的中点为．假设存在点，使得以为邻边的平行四边形为菱形，则，由，得，，∴，，∵，∴，即，∴，当时，，∴；当时，，∴．因此，存在点，使得以为邻边的平行四边形为菱形，且实数的取值范围为．C组一、选择题1．已知，点是直线与圆的公共点，则的最大值为（）A.15B.9C.1D.【答案】B【解析】由于直线和圆有公共点，所以圆心到直线的距离不大于半径，即，解得，将点坐标代入直线和圆的方程，有，第一个式子两边平方后，代入第二个式子，化简得，二次函数对称轴为，且开口向上，根据可知当时，有最大值为,2．已知点，，在圆上运动，且.若点的坐标为，则的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由题意知AC是圆的直径，所以O是AC中点，故，PO的长为5，所以,显然当B在PO上时，有最小值，当B在PO的延长线上时，有最大值，故选C．3．已知圆的半径为1，为该圆上四个点，且，则的面积最大值为（）A.2B.1C.D.【答案】B【解析】因为,所以四边形为平行四边形,又因为都在圆上,所以,必为圆的直径,四边形为矩形,当且仅当时取等号,选B.4．若曲线与曲线有三个不同的公共点，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】曲线可化为，表示直线和直线，直线与曲线，有一个交点，即原点.则需直线和有两个交点，即圆心到直线的距离小于半径，也即，解得.（当时，两直线有相同的公共点为原点，故舍去）5．在区间中随机取一个实数，则事件“直线与圆相交”发生的概率为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】圆的圆心为，半径为1．圆心到直线的距离为，要使直线与圆相交，则，解得．∴在区间上随机取一个数，使直线与圆相交的概率为．故选A6．已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线为切点，则直线经过定点.（）A.B.C.D.【答案】B【解析】设是圆的切线，是圆与以为直径的两圆的公共弦，可得以为直径的圆的方程为，①又，②①-②得，可得满足上式，即过定点，故选B.二、填空题7．在平面直角坐标系中，点是直线上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别是，则的取值范围为__．【答案】【解析】圆心（1,1）半径为1，要使AB的长度最小，则最小，即最小，即PC最小，由点到直线的距离公式可得：，则=60°，=120°，即AB=，当P在无限远取值时，趋近180°，此时AB趋近直径2，故的取值范围为8．直线与圆相交于两点、.若，则（为坐标原点）等于是______