运用基本不等式求最小值七种题型

PAGEPAGE7运用基本不等式求最小值七种题型基本不等式经常用来求最小值，进而求函数的值域，证明相关的不等式.在函数、解析几何、数列的最值问题中常常用到.一、直接运用基本不等式1.已知，则的最小值为（）A.4B.8C.16D.32解：∵∴，当且仅当即时等号成立.2.已知，则的最小值为（）A.4B.8C.16D.32解：∵∴，当且仅当即时等号成立.3.若实数满足，则的最小值为______________.解：∵∴∴∴.4.若，求的最小值.并求的值.解：∵∴.当且仅当(略)5．若，则的最小值为（）A．B．C．D．解析:∵，∴，当且仅当，即时，取等号．直接应用6.函数的值域为；解：∴值域为二、变形后运用基本不等式1．已知，则函数的最小值为_______，此时；分离法解:∵，∴，当且仅当，即时，取得最小值2．2.已知，函数的最小值为；此时；（拼凑）解析:∵，∴，∴，当且仅当，即时，取得最小值．3.函数的最小值是．.(换元分离法)解：令，则,则当且仅当,即时取等号.所以取得最小值4所以，所求函数的值域为.4.函数的最小值是__________.【解析】由于，故，故，当且仅当，即时，函数取得最小值为.故填：.(换元分离法)三、整体代换后运用基本不等式1.设为正数，且，求的最-小值；（整体代换）解：∵，且∴，当且仅当时等号成立，又0，即时，等号成立，故的最小值为;2.已知，且，求的最小值.（整体代换）解：，当且仅当时，上式等号成立，又，可得时，.3．若，满足,则的最小值是（）（整体代换）A． B． C．5 D．6解:由,可得,即,∴.则．4.【2020年天津卷】.已知，且，则的最小值为_________．【解析】，,，当且仅当=4时取等号，结合,解得，或时，等号成立.故答案为：四、逆用基本不等式1.已知，且.则的最小值是_________.【解析】当且仅当，即时，等号成立2.已知，，且.求的最小值；解：由，，得：，即：；等号成立的充要条件是且，，即：；∴的最小值为2；3.若正实数满足，则的最小值为（）A.B.C.D.五、两次运用基本不等式1．已知，则的最小值是（）A．B．C．D．【解析】∵，∴，当且仅当，即时，等号成立．2、【2017年高考天津卷理数】若，，则的最小值为___________．【解析】，（前一个等号成立的条件是，后一个等号成立的条件是，两个等号可以同时成立，当且仅当时取等号）．3.若，则的最小值是______.【解析】，，当且仅当且，即时，等号成立.时，取得最小值.故答案为：六、在多种背景下运用基本不等式1.若实数满足，则的最小值是（）A．B．C．D．解：都是正数，≥.当时等号成立，由及得即当时，的最小值是6．2.已知，且，则的最小值为.解：和都是正数，≥当且仅当,即时等号成立．3.已知奇函数在R上单调,若正实数满足则的最小值是()A．1 B． C．9 D．18【解析】奇函数在R上单调，则故即当即时等号成立.故选：4.若，则的最小值为（）A．6 B． C．3 D．【解析】∵，∴，∴，且，，∴，∴，当且仅当且即时，等号成立；故选：C．5．已知向量，，其中．若，则的最小值为（）A． B． C． D．解：∵，∴，，∴．当且仅当即时，等号成立．6.设，若是与的等比中项，则的最小值为（）A．8B．4C．1D．7．已知各项为正数的等比数列{an}的，那么的最小值为________．七、运用基本不等式解应用题1．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________.解析：每年购买次数为eq\f(400,x).∴总费用＝eq\f(400,x)·4＋4x≥2eq\r(6400)＝160，当且仅当eq\f(1600,x)＝4x，即x＝20时等号成立，故x＝20.2.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？解：设水池底面一边的长度为xm，水池的总造价为l元，根据题意，得当3．某商店预备在一个月内分批购入每张价值为20元的书桌共36台，每批都购入台（是正整数），且每批均需付运费4元，储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值（不含运费）成正比，若每批购入4台，则该月需用去运费和保管费共52元，现在全月只有48元资金可以用于支付运费和保管费.（1）求该月需用去的运费和保管费的总费用；（2）能否恰当地安排每批进货的数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由.【解析】（1）设题中比例系数为，若每批购入台，则共需分批，每批价值为20元，由题意.由，，得..（2）∵,（元）,当且仅当，即时，上式等号成立.故只需每批购入6张书桌，可以使资金够用.4．如图，某单位准备修建一个面积为600平方米的矩形场地（图中）的围墙，且要求中间用围墙隔开，使得为矩形，为正方形，设米，已知围墙（包括）的修建费用均为800元每米，设围墙（包括）的的修建总费用为元.（