2023级高数A下复习题(习题)

高等数学A(下)期末考试复习知识要点多元函数求偏导数，多元复合函数求偏导数。讨论二元函数的可微性。偏导数存在函数取得极值的必要条件与充分条件。利用对称性简化重积分的计算。二重积分计算、极坐标系下二重积分的计算。球坐标系下三重积分的计算。功的计算，曲线积分与路径无关性。对坐标的曲面积分的定义与计算。高斯公式的应用。数项级数敛散性判别法，比值判别法。幂级数的收敛性质以及收敛区间。函数展开成周期为2∏的正弦级数、余弦级数。一、多元函数求偏导数，多元复合函数求偏导数1、设函数由方程所确定，那么=。2、设函数由方程所确定，其中有一阶连续偏导数，那么=。3、设，那么=。4、考虑二元函数的下面四条性质：①在点处连续；②在点处的两个偏导数连续；③在点处可微；④在点处的两个偏导数存在。假设用“〞表示可由性质推出性质，那么有〔〕②③①③②①③④①③①④5、假设，那么=〔〕(A) (B)(C) (D)6、设在极坐标：下不依赖于，即，其中有二阶连续导数，那么=〔〕。(A)；(B)；(C) ；(D)。7、设具有二阶连续导数，而，那么=〔〕。(A)；(B)；(C)； (D)；8、设，那么〔〕。A0；B不存在；C1；D；答案：1、；2、；3、；4〔A〕；5、〔D〕6、〔A〕；7、〔C〕；8、〔C〕9、具有连续的二阶导数，求。10、设由方程确定，其中具有连续偏导数，证明。11、设，而由方程所确定，其中具有一阶连续偏导数，求。 二、讨论二元函数的可微性1、设，根据偏导数定义求。2、设，那么在原点处(D).(A)偏导数不存在；(B)不可微；(C)偏导数存在且连续；(D)可微.3、设，证明在处连续且偏导数存在，但不可微三、偏导数存在函数取得极值的必要条件与充分条件1、函数在条件下的极大值是(C)(A)(B) (C) (D) 2、点〔A〕是二元函数的极小点。2、设函数在点处可微，那么点是函数的极值点的必要条件为3、假设函数在点处取得极小值－3，那么常数之积_____。答：304、假设函数在点处取得极值，那么常数。答：。5、讨论函数的极值。四、利用对称性简化重积分计算1、计算，其中是闭区域:。2、计算二重积分，其中3、设是由曲面所围的有界闭区域，计算。4、设(其中那么。答：。5、其中是由球面所围成的闭区域.〔答：0〕五、二重积分的计算，极坐标系下二重积分的计算1、二次积分在极坐标系下的累次积分为。答：2、假设，那么区域D为〔〕。答：A3、设域是域D上的连续函数，那么()(A)(B)(C)(D)答：A4、设为,当()时,.(A)1；(B)；(C)；(D).答：B5、当是〔〕围成的区域时，二重积分(A)；(B)；(C)；(D).答：A6、计算其中D是直线所围成的闭区域。7、,其中是由直线及所围成的闭区域。8、计算二次积分9、计算二重积分其中D是以为顶点的三角形区域。10、计算二次积分11、试求曲面x2+y2=6－z与所围立体的体积。六、球坐标系下三重积分的计算1、设是由所确定的球体，试将化成球面坐标下的三次积分式。答：2、设Ω是由闭曲面所围的立体，计算。〔答：〕3、设连续，且，求，其中是由球面围成的立体。〔答：1〕七、功的计算，曲线积分与路径无关性1、设在单连通区域内有一阶连续偏导数,那么在内与路径无关的条件是().(A)充分条件;(B)必要条件;(C)充要条件.答：C2、设，因为，所以〔〕。A．对任意闭曲线C，有；B．在曲线C不围住原点时，有；C．因与在原点不存在，故对任意的闭曲线C，有；D．在闭曲线C围住原点时，不围住原点时。答：B3、曲线积分在右半平面内与路径无关，其中可微，那么应满足的微分方程是。答：4、力场，质点从原点出发沿着轴运动到点，然后再沿直线段到，再沿着轴回到原点，求力所做的功。解：5、证明:在整个平面除去的负半轴及原点的开区域内是某个二元函数的全微分,并求出一个这样的二元函数.答：6、设，求原函数。7、函数，〔1〕是否存在函数，使得?〔2〕如果存在，试求出它。8、设是某二元函数的全微分，那么〔)A0B1C2D3答：A9、假设是某二元函数的全微分，那么的关系是〔〕答：B八、对坐标的曲面积分的定义与计算1、曲面积分在数值上等于〔〕；；答：C2、求向量通过区域的边界曲面流向外侧的通量.〔答：3〕3、设∑是柱面的介于平面及间的局部曲面的外侧，那么。4、计算，其中∑是由半锥面、平面和所围成的圆台的侧面的下侧。5、计算其中∑是球面在第一卦限局部的上侧，R为正数。6、计算，其中是以、、三点为顶点的平面三角形，并取其法向量指向不包含原点的一侧。7、计算，其中是柱面上由及所限定的那局部曲面的前侧，R是正数。8、设有空间流速场求通过曲面位于平面以下局部的∑下侧的通量(流量)。九、高斯公式的应用1、计算其中∑是球面的下半局部曲面的下侧，a为正数。2、求，其中为锥面的下侧。3、计算积分，其中是介于和之间的圆柱体的整个外表的外侧。4、计算积分，其中是球面的外侧。5、计算曲面积分，其中是由曲面与所围成立体外表的外侧。6、设空间闭区域由曲面平面所围成，∑为的外表外侧，V是的体积，a为正数。试证明：十、数项级数收敛性判别法，比值判别法1、为任意正的实数，假设级数，都收敛，那么有〔A〕; 〔B〕；〔C〕; 〔D〕。答：C级数是收敛的，那么〔〕〔A〕必收敛；〔B〕未必收敛；〔C〕；〔D〕发散；答：B3、设有级数〔1〕与级数〔2〕那么()〔A〕级数〔1〕〔2〕都收敛；〔B〕级数〔1〕〔2〕都发散；〔C〕级数〔1〕收敛，级数〔2〕发散；〔D〕级数〔1〕发散，级数〔2〕收敛。答：C4、级数〔常数〕〔〕。〔A〕发散；〔B〕条件收敛；〔C〕绝对收敛；〔D〕敛散性与有关。答：C5、极限的值为。答：0。6、判别以下级数的敛散性〔1〕；〔2〕;(3)；(4)7、判别级数的敛散性。8、证明:假设级数满足：〔1〕〔2〕收敛，那么收敛。十一、幂级数的收敛性质以及收敛区间1、逐项求导与逐项积分之后的幂级数与原幂级数具有相同的。答：收敛半径2、幂级数的收敛区间是，收敛域是。答：，3、如果幂级数的收敛半径是1，那么级数在开区间内收敛。答：。4、设级数的收敛半径是1，那么级数在点〔〕(A)发散；(B)条件收敛；(C)绝对收敛；(D)不能确定敛散性。答：A5、如果，那么幂级数在开区间内收敛。答：6、幂级数的收敛半径，幂级数的收敛半径为，那么〔〕。答：B7、假设幂级的收敛半径为;的收敛半径为,那么幂级数的收敛半径至少为()(A)；(B)；(C)；(D)答：D8、试求幂级数的收敛半径及收敛域。9、求幂级数的收敛半径和收敛域。10、试求级数的和。11、试求