广西柳州市2023届新高三摸底考试数学（理科）试题含解析

柳州市2023届新高三摸底考试

理科数学

（考试时间120分钟满分150分）

注意：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.所有答案请在答题卡上作答，在本试卷和草稿纸上作答无效.答题前请仔细阅读答题卡上

的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题.

3.做选择题时，如需改动，请用橡皮将原选答案擦干净，再选涂其他答案.

第I卷（选择题，共60分）

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一

个选项是符合题目要求的）

1.已知集合/={x|》241},5={y|y>-l},则zn8=（）

A.0B.[-1,1]C.[-1,+℃）D.[-1,1）

2.设MGR,若复数z[=-2+i的虚部与复数Z2=m+/wi的虚部相等，则Z「Z2=（）

A.-3+iB.—1—iC.3—iD.-3—1

3.已知向量的夹角为(，且忖=2,W=3，则()

A.-1B.373-4C.-2D.1

4.执行如图所示的程序框图,输出的S值为（）

358

A.2B.一c.一D.-

235

5.若a=lg0.3,6二=log32,c=log54,则()

A.c>b>aB.b>c>aC.c>a>hP，a>b>

249924

A.--B.C.——D.——

25252525

x+y-2<Q

x-y+2>0

7.设变量x,y满足约束条件11，则目标函数z="+y的最小值为()

x>-l

>-1

A.2B.13C.—2D.0

8.已知直线歹=履(左>0)与圆C:(x—2『+(夕—=4相交于48两点|工a=2百，则氏=()

1415

A.-B.-C.~D.—

53212

9.今年中国空间站将进入到另一个全新的阶段一正式建造阶段，首批参加中国空间站建造的6名航天员，

将会分别搭乘着神舟十四号和神舟十五号载人飞船，接连去往中国空间站，并且在上面“会师中国空间站

的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁等6名航天

员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱安排2人，梦天实验舱安排1人.若甲、乙两人不能同

时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有()

A44种B.48种C.60种D.50种

10.若直线x=:是曲线y=sin(的—(3>0)的一条对称轴TVTT

,且函数y=sin(5—7)在区间[0，—]

上不单调，则⑦的最小值为()

A.9B.7C.11D.3

—X2(0<X<2)

11.已知函数y=/(x)为R上的偶函数，当xNO时，函数/(x)=)、，，若关于x的方程

以…

[/(x)『+af(x)+h=O(a,he&)有且仅有6个不同的实数根，则实数。的取值范围是()

一)

12.如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反

22

向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线氏=力＞0）的左、右焦点分别为耳，F2,从月发

3

出的光线经过图2中的4,8两点反射后，分别经过点C和。，且cos/84C=-ABLBD,则上的

A.5B.叵C.巫D飞

232

第n卷（非选择题，共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题卡上）

13.已知直线y=x+b是曲线y=lnx+3的一条切线，则6=_.

14.[1—J]（l+X）5展开式中/的系数为_（用数字作答）.

15.已知N（3,1）,B（-3,0）,尸是椭圆看+今=1上的一点，则|P4|+|P8|的最大值为

16.在正方体NBCD-44Gq中，点E为线段4A上的动点，现有下面四个命题:

①直线DE与直线AC所成角为定值；②点E到直线AB的距离为定值;

③三棱锥E-48。的体积为定值；④三棱锥£-/乃。外接球的体积为定值.

其中所有真命题的序号是_____.

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，并将

答案写在答案卡相应题号的空白处）

17.在锐角△Z8C中，角/、B、C所对的边分别为a、b、c,已知2asinC=J£.

(1)求角/的大小；

(2)若b=2,a=币,求△NBC的面积.

18.已知数列｛。"｝满足q=1,a„+l=2a„+l(»eN*).

(1)证明｛/+1｝是等比数列,并求｛勺｝的通项公式;

(2)求数列｛4+〃+1］的前”项和Sn.

19.2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热”.北

京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取

了200人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占：，而男生有20人表示对冰球运动没有兴趣.

(1)完成2x2列联表，并回答能否有97.5%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？

有兴趣没兴趣合计

男110

女

合计

(2)先从样本对冰球有兴趣的学生中按分层抽样的方法取出5名学生，再从这5人中随机抽取3人，记抽

取的3人中有X名男生，求X的分布列和期望.

2

P(K>k0)0.100.050.0250.010

2.7063.8415.0246.635

n(ad-bey

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

20.如图，在三棱锥尸一Z8C中，AB=BC=2,PA=PB=PC=AC=，。为/C的中点.

p

（1）证明：PO_L平面ABC；

（2）若点收在棱8C上，且尸W与面力BC所成角的正切值为V6，求二面角M-PA-C的平面角的余弦值.

21已知函数/（x）=Inx+--2x.

,x

（1）讨论当。〉0时，y（x）单调性.

（2）证明：e，+"2x-2x〉〃x）.

22.已知平面上动点。（x,y）到尸（0,1）的距离比。（x,y）到直线/：丁=-2的距离小1,记动点。（x,

y）的轨迹为曲线C.

（1）求曲线C的方程.

（2）设点P的坐标为（0,-1）,过点尸作曲线C的切线，切点为A,若过点尸的直线机与曲线C交于

N两点，证明：NAFM=ZAFN.

柳州市2023届新高三摸底考试

理科数学

(考试时间120分钟满分150分)

注意：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.所有答案请在答题卡上作答，在本试卷和草稿纸上作答无效.答题前请仔细阅读答题卡上

的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题.

3.做选择题时，如需改动，请用橡皮将原选答案擦干净，再选涂其他答案.

第I卷(选择题，共60分)

一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一

个选项是符合题目要求的)

1.已知集合/={x|》241},5={y|y>-l},则zn8=()

A0B.[-1,1]C.[—1,+8)D.[-1,1)

【答案】B

【解析】

【分析】先化简集合A,再利用交集运算求解.

【详解】因为-41，所以—IWXWI,即2={刈-14x41},所以ZnB={x|-lWxWl}.

故选：B.

2.设加eR,若复数z[=-2+i的虚部与复数Z2=〃z+疝的虚部相等，则z「Z2=()

A.-3+iB.-1—iC.3—iD.-3—i

【答案】D

【解析】

【分析】根据已知条件求得加的值，利用复数的乘法化简可得结果.

【详解】因为复数％=-2+i的虚部与复数Z2=m+mi的虚部相等，则机=1,则Z2=l+i,

因此，Z1-z2=(-2+i)(l+i)=-3-i.

故选：D.

3.已知向量4,的夹角为:，且"=2,M=3，则()

A-1B.373-4C.-2D.1

【答案】A

【解析】

【分析】根据数量积的运算求解即可

rzrnrr必i

【详解】a-\h-a^=a-b-\a\^=2x3x——22=-l

故选：A

4.执行如图所示的程序框图,输出的S值为（）

[ml

k=0,J=1

358

A.2B.一D.

235

【答案】C

【解析】

【详解】试题分析：左=0时，0<3成立，第一次进入循环：左=l,s——=2；1<3成立，第二次进入

循环：左=2,S=2±1=3；2<3成立，第三次进入循环：k=3,s=^-=-,3<3不成立，输出s=』,

22333

2

故选C.

【名师点睛】解决此类型问题时要注意：第一，要明确是当型循环结构,还是直到型循环结构，并根据各

自的特点执行循环体；第二，要明确图中的累计变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的

值发生的变化；第三，要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体，争取写出每一个循

环，这样避免出错.

5.若4=怆0.3,6=10832,。=10854,则()

A.c>b>aB.b>c>aC.c>a>bD.a>b>c

【答案】A

【解析】

【分析】利用对数的运算及对数函数的性质进行比较大小.

【详解】因为lgO.3<lgl=O,所以。<0；

因为Iog32>log31=0,log54>log51=0,所以b〉0,c>0,

-=log45=^-log,5=log2V5,-J-=log23,Wlog23>log275.

c2b

所以，>1,即b<c.

bc

故选：A.

4

6.若sin(1一a)=1，则COS2Q=()

249924

A.——B.■-C.----D.

25252525

【答案】B

【解析】

【分析】根据诱导公式结合同角三角函数的关系求解即可

4,9

【详解】由题意，sin(7-a)=sina=《，故cos2(z=1-sin2a=

25

故选：B

x+y-2<0

x—y+220

7.设变量x,歹满足约束条件(，，则目标函数z=x+V的最小值为()

x>-1

,y2-1

A.2B.一3D.0

【答案】C

【解析】

【分析】作出平面区域，结合图像求直线歹二-x+z在歹轴截距Z的最小值，通过平移直线歹-x可得在

在点处取到最小值，代入运算求解.

【详解】根据题意可得平面区域，如图所示：

•••目标函数z=x+y,即y=-x+z,则求直线^=一》+2在y轴截距z的最小值

结合图像可得在点^(-1,-1)处取到最小值z=-1+(-1)=-2

8.已知直线了=似左>0)与圆C:(x-2)2+(y-l)2=4相交于48两点|/8|=2jL贝心=()

14।5

A.-B.-C.~D.—

53212

【答案】B

【解析】

(分析】圆心。(2,1)到直线y=kx(k>0)的距离为d，则d=:!，而d=卜_(贽2==1,

|2左一1|

所以==4=1,解方程即可求出答案.

【详解】圆。：(x—2『+(y—1)2=4的圆心c(2,l),尸=2

,、|2左一1|

所以圆心C(2,l)到直线y=kx(k>0)的距离为d，则d=1/,

而〃=/一(四[="]=],所以[=半[=],解得：k=i

\I2)V17F3

故选：B.

9.今年中国空间站将进入到另一个全新的阶段一正式建造阶段，首批参加中国空间站建造的6名航天员，

将会分别搭乘着神舟十四号和神舟十五号载人飞船，接连去往中国空间站，并且在上面“会师中国空间站

的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁等6名航天

员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱安排2人，梦天实验舱安排1人.若甲、乙两人不能同

时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有()

A.44种B.48种C.60种D.50种

【答案】A

【解析】

【分析】由分步乘法计数原理，利用间接法即可求解.

【详解】解：由题意，要安排甲，乙，丙，丁等6名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实

验舱安排2人，梦天实验舱安排1人,共有C：C；C；=60种方案；

若甲、乙两人同时在天和核心舱做实验，则有C；C；C；=12种方案；若甲、乙两人同时在问天实验舱做实

验，则有C：C；=4种方案.

所以甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则共有C：C；C：一C：C；C：—C；C：=60-12-4=44不同的

安排方案.

故选：A.

10.若直线X=f是曲线y=sin(ox—巴］(<y>0)的一条对称轴，且函数y=sin(/x-四)在区间［0,—］

4(4)412

上不单调，则口的最小值为()

A.9B,7C.11D.3

【答案】C

【解析】

TT

【分析】根据给定条件，求出口的关系式，再求出函数y=sin(ox--)含有数0的单调区间即可判断作答.

4

【详解】因直线x=£是曲线y=sin(/x-二］(啰>0)的一条对称轴，则二。一2=左7+二，左eN,即

4I4)442

切=44+3,左GN,

TT717rIT7TIT3JT

由——<(ox—<一得----<x<——,则函数y=sin(〃zx—)在［-----,——］上单调递增，

2424G4044G4G

而函数y=sin(5—四)在区间［0,二］上不单调，贝U迎〈土，解得⑦>9,

4124a)12

所以⑦的最小值为11.

故选：C

—X2(O<X<2)

11.已知函数y=/(x)为R上的偶函数，当xNO时，函数/(x)=(,若关于x的方程

"(x)『+4(x)+b=O(a,bw&)有且仅有6个不同的实数根，则实数。的取值范围是()

【答案】B

【解析】

【分析】作出函数y=/(x)的图像，设/(x)=f,从而可化条件为方程*+必+6=。有两个根，利用数形

结合可得4=；,0＜弓＜；，根据韦达定理即可求出实数。的取值范围.

【详解】由题意，作出函数y=/(x)的图像如下，

・•・关于x的方程"(%)y+句(0+6=0(4]€2有且仅有6个不同的实数根,

设/(x)=f,

.二〃+必+6=0有两个根，不妨设为％

1八1

且/.=一，0<£,<一

1424

又—a=4+4

故选：B

【点睛】本题主要考查函数与方程、由方程根的个数求参数的取值范围，考查学生运用数形结合思想解决

问题的能力，属于中档题.

12.如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反

向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线氏5-g=l(a>0,6>0)的左、右焦点分别为耳，F2,从与发

ab

3

出的光线经过图2中的4,8两点反射后，分别经过点C和。，且cosNA4C=—《，AB工BD，则E的

离心率为()

图1图2

A.正B.C.D.V5

232

【答案】B

【解析】

【分析】利用双曲线的光学性质及双曲线定义，用|8月|表示|86|,|/6|,|48|,再在两个直角三角形中

借助勾股定理求解作答.

3

【详解】依题意，直线都过点耳，如图，有耳，cosZBAF,

设|叫|=用，则耳|=2a+加，显然有tanN以耳=；4,|45|=力38耳|=3j（2a+m）,

222

\AF2\=-a--m,因此，片|=2a+|N工—1加，在RtAZBT"\AB|+|5^|=|AFX|,

o71282

即记（24+加）2+（24+w）2=（/4—1根）2,解得用=§a,即片|=：2|8鸟|=§4,令双曲线半焦距

为C,在RtE与鸟中，|8鸟「+|8耳旧丹玛|2,即（2q）2+（»a）2=（2c）2,解得£=晅，

33a3

所以E的离心率为姮.

3

故选：B

【点睛】方法点睛：求双曲线离心率的三种方法：①定义法，通过已知条件列出方程组，求得a，c得值,

根据离心率的定义求解离心率e：

②齐次式法，由己知条件得出关于出。的二元齐次方程，然后转化为关于e的一元二次方程求解；

③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.

第n卷（非选择题，共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题卡上）

13.已知直线夕=x+b是曲线y=lnx+3的一条切线，则6=_.

【答案】2

【解析】

【分析】求导，令导数值等于1,求得切点坐标，代入切线方程即可得解.

【详解】解：函数夕=lnx+3的定义域为（0,+8）,

1

y=一，

X

令V=—=1,则X=1,

X

所以切点为（1,3）,

代入歹=x+b,得3=1+6,

所以6=2.

故答案为：2.

14.11—g）l+x）5展开式中f的系数为_（用数字作答）.

【答案】5

【解析】

【分析】写出展开式通项，令X的指数为2,求出参数的值，代入通项即可得解.

【详解】因为（l+x）5的展开式通项为1句=C"x*,

・・{T］（1+X）5=（1+X）T（1+X）5,

在中，k=2,在」=C；-x',2中，令r—2=2,可得厂=4,

X

所以，展开式中/的系数为c；-c；=5.

故答案为：5.

15.已知/(3,1),B(-3,0),尸是椭圆土+匕=1上的一点，贝！］|h|+|03|的最大值为.

167

【答案】9

【解析】

【分析】根据椭圆定义|P8|+|Pb|=8,整理代换可得|/训+|尸目=归/|-|尸产|+8,结合图形可得

1PH+|P814MH+8,运算求值.

【详解】根据题意可得：a=4,b=不，c=3

则点2为椭圆的左焦点，取椭圆的右焦点尸（3,0）

A|PB|+|PF|=8,即忸同=8-|尸耳

3212

—<1，即点Z在椭圆内

167

\PA\+\PB\=\P^-\PF\+8<IJF|+8=9,

当且仅当点P在力尸的延长线上时，等号成立.

16.在正方体NBC。-48cR中，点E为线段用乌上的动点，现有下面四个命题:

①直线DE与直线AC所成角为定值；②点E到直线AB的距离为定值；

③三棱锥E-A.BD的体积为定值；④三棱锥E-A{BD外接球的体积为定值.

其中所有真命题的序号是.

【答案】①③

【解析】

【分析】由线面垂直的性质定理得线线垂直判断①，由正方体的性质，可通过E到44的距离来计算E到

Z8的距离，从而判断②，根据棱锥体积公式，判断③，想象E在不同位置时外接球的半径的变化，判断

④.

【详解】易证平面88QQ,Z）Eu平面88QQ,所以恒有直线。E与直线ZC所成角为

90°,所以①是真命题.点£到直线48的距离与点E到直线的距离有关，所以②是假命题.因为

B\D\〃BD,由线面平行的判定定理可得8Q"/平面48。，故点£到平面/田。的距离d为定值，则

%-4因=；/5掺加为定值，所以③是真命题-44//平面460，E在BQ上变化，例如点E在。处

和在44的中点处时，三棱锥的外接球半径不同，故其外接球的体积不是定值，所以④是假命题.

故答案为：①③

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，并将

答案写在答案卡相应题号的空白处）

17.在锐角△/BC中，角4、B、C所对的边分别为。、从c,已知2asinC=岳.

（1）求角A的大小；

（2）若6=2,a=币,求△NBC的面积.

TT

【答案】（1）A=-

3

（2）也

2

【解析】

【分析】（1）根据正弦定理结合内角的范围求解即可;

（2）由余弦定理与面积公式求解即可

【小问1详解】

由已知及正弦定理知：2sinZsinC=J5"sinC.

因为C为锐角，则sinCHO,所以sin/=@.

2

7T

因为4为锐角，则/=一

3

【小问2详解】

由余弦定理，b2+c2-2bccosA-a2-

则c?+4—4*059=7,BPC2-2C-3=0

即（0-3乂。+1）=0,因为c>0,则c=3

所以△48C的面积S=—ftcsinA=—x3x2sin—=.

2232

18.已知数歹U｛%｝满足a〕=1,an+]=2a„+l（/?eN*j.

（1）证明｛《,+1｝是等比数列，并求｛4｝的通项公式；

（2）求数列｛勺+〃+1]的前〃项和S“.

【答案】（1）证明见解析；%=2"-1

（2）S=2向+—^----1-2

"2

【解析】

【分析】（1）根据题意结合等比数列定义可证■:=2,可得｛%+1｝是首项为2,公比为2的等比数列,

利用等比数列通项公式代入运算；（2）因为“=2"+〃，利用分组求和结合等差、等比数列求和公式整理

运算.

【小问1详解】

由题意可得：％+1=2#0

・力一~^一%+1

所以｛a“+1｝是首项为2,公比为2的等比数列

则4+1=2",即％=2"-1

因此｛%｝的通项公式为an=2"-1

【小问2详解】

由（1）知a“=2"-l,令4=4+〃+1则»=2"+〃

所以S,,=4+4+…+4=（2\1）+（22+2）+…+（2"+”）.

=（2'+22+...+2,,）+（1+2+...+/?）

20-2"）+

口〃（1+〃）

=2，＞+i+_V——7_2.

2

综上S=2叫〃0+〃）_2.

〃2

19.2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热”.北

京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取

2

了200人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占而男生有20人表示对冰球运动没有兴趣.

（1）完成2x2列联表，并回答能否有97.5%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？

有兴趣没兴趣合计

男110

女

合计

（2）先从样本对冰球有兴趣的学生中按分层抽样的方法取出5名学生，再从这5人中随机抽取3人，记抽

取的3人中有X名男生，求X的分布列和期望.

P（K2"o）0.100.050.0250.010

2.7063.8415.0246.635

<2n^ad-be'）2

（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）

【答案】（1）填表见解析，有97.5%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”

9

（2）分布列见解析，期望为w

【解析】

【分析】（1）根据题中信息完善2x2列联表，计算K2的观测值，结合临界值表可得出结论;

（2）分析可知随机变量X的可能取值有1、2、3,计算出随机变量X在不同取值下的概率，可得出随机

变量X的分布列，进而可计算得出E（X）的值.

【小问1详解】

解：（1）由题意可知，样本中女生人数为200—110=90,

2

样本中，对冰球运动有兴趣的女生人数为90x-=30,根据已知数据得到如下列联表：

3

有兴趣没兴趣合计

男9020110

女603090

合计15050200

2

根据列联表中的数据，得到K=200M90）30二20x60）=迎=6060,

110x90x150x5033

v6.060>5.024,所以，有97.5%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”

【小问2详解】

解：由题意得，按分层抽样方法抽取出来的5人中，有3个男生对冰球感兴趣，有2个女生对冰球感兴趣,

,CC?3

则X的可能取值为1、2、3,P（X=l）=-^2=6，

1U

C2cl3

P（X=2）=-^=《，P（X=3）=cLi

可一而

所以X的分布列如下表所示:

X123

331

P

To5To

331Q

所以，的期望为£（幻=1*a+2*/3*布=；

20.如图，在三棱锥尸一48c中，AB=BC=2,PA=PB=PC=AC=272＞。为NC的中点.

（1）证明：尸。_L平面月8C；

（2）若点/在棱BC上，且PM与面ABC所成角的正切值为76，求二面角M-PA-C的平面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵巫

31

【解析】

【分析】（1）证明：连接08.法一：通过证明"。NMAPOBMMOC,得到POLNC,尸。，。6,即

可证明尸平面48C；

法二：通过勾股定理证明到尸OJ.08,又因为尸OL/C,即可证明POL平面Z8C；

（2）由（1）知，PO_L面/BC，。”为PM在面力8c上的射影，则NPMO为P/W与面48c所成角，可得

出0M'=1,〃为8c的中点.法一：作于E,为0C的中点，作EFLPA交PA于F,连

MF,NMFE即为二面角M-P/-C的平面角，求出狼，所，代入求出tan/朋尸£=一勺的值，即可求

EF

出cos/MFE的值.

法二：分别以08,OC,。尸为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系，分别求出面和面/PC的法向量，由

二面角的公式即可求出答案.

【小问1详解】

证明：连接08.

法一：•：AB=BC=2,AC=2逝，：^AB2+BC2=AC2,即2U8C是直角三角形，

又。为AC的中点，：.OA=OB=OC

又：PA=PB=PC，

：.\POA三^POB=\POC

，NPOA=NPOB=NPOC=90°.

/.PO1AC,POLOB,OBC\AC=O,OB、/Cu平面48C

，PO_L平面48c.

法二：连接。8,vPA=PC,。为/C的中点...尸。14。

因为AB=BC=2,PA=PB=PC=AC=272

:.ABLBC,BO=垃,PO=aPO-+OB2=PB1./.PO1OB

：.PO1AC,PO1OB,OBC\AC=O,OB、NCu平面

平面/8C.

【小问2详解】

由（1）知，PO_L面Z8C，0M为PM在面/5C上的射影，为PM与面/8C所成角,

AtanZPA/O=-^-=^-=V6-：.OM=\,

OMOM

在△OMC中由正弦定理可得MC=1，:.M为BC的中点.

法一：作ME_LZC于E,...£1为OC的中点，作尸/交"于R连W

J.MFLPA.•./胡尸£即为所求二面角阳-尸4-C的平面角，ME=—

2

£F=—/l£=2V2x-x—=—

2424

..ME4242

・・tanZMFE==x—==-=

EF23763也

•/-3万3屈

用31

法二：分别以08,OC,。尸为x轴，y轴,z轴建立直角坐标系

M<(,容。)....而=隹半

,^4=(0,-V2,-V6)

)

记”=(x/2)为面AMP的法向量则

一一[V23逝八产=3办

n,AM=0—xH----v=0J匚-r—[―

=22'=（歹=-力=〃=（3点-国）.

〃0二°〔-岳-a=0z=l

面/PC的法向量加=（1,0,0）.

_\n-m\3733^/93

易知A/-P/-C所成角为锐角记为6,cose=|cos（万，成）|

-―西一31

21.已知函数/（x）=lnx+q-2x.

（1）讨论当。＞0时，，危）单调性.

（2）证明：《+”2厂―2.\-〉/（X）.

【答案】（1）见解析；（2）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）对函数求导，按和0＜。＜!两类讨论，得出函数的单调性：

88

（2）要证4+〃2厂—2x〉/（x）,即证e「＞lnx+2.构造函数〃（x）=e'-血一2（x〉0）,利用函数

的导数判断函数的单调性，求出函数的最小值，转化求解即可.

【详解】（1）解：由题意可知x〉0,/（x）=!_=_2=_2x2j+a

v7xx2x2

对于二次函数歹=2x2-x+6f,A=l-8tz.

当a2工时，△WO,/'（x）W0恒成立，Hx）在x＞0上单调递减;

8

1

当o<a<二次函数y=-2/+x一0有2个大于零的零点，分别是玉=.7一呢,马1+yjl-8（7

8-

4

,8〃1+71-867I小\c-\1-V1-867l+Jl-8a1、…

当XE---------,---------/（x）＞。，｛X）在XE---------,---------单倜递增；

I44）I44J

A1—