河北保定雄县重点名校2022年中考五模数学试题含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3,请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.姜老师给出一个函数表达式，甲、乙、丙三位同学分别正确指出了这个函数的一个性质.甲：函数图像经过第一象

限；乙：函数图像经过第三象限；丙：在每一个象限内，y值随x值的增大而减小.根据他们的描述，姜老师给出的

这个函数表达式可能是（）

〜312

A.y=3xB.y=-C.y-——D.y=x

xx

2.如图，在矩形45co中，AD=\,AB>\,AG平分NA4O,分别过点3,BEA.AG于点E,CFL4G于点F,

D.

3.一次函数yi=kx+l-2k（k#0）的图象记作G”一次函数y2=2x+3（-l<x<2）的图象记作G2,对于这两个图

象，有以下几种说法：

①当Gi与G2有公共点时，「随x增大而减小；

②当Gi与G2没有公共点时，yi随x增大而增大；

③当k=2时，Gi与G2平行，且平行线之间的距离为..

下列选项中，描述准确的是（）

A.①②正确，③错误B.①③正确，②错误

C.②③正确，①错误D.①②③都正确

4.若二次函数），=/-2X+，〃的图像与》轴有两个交点，则实数〃2的取值范围是（）

A.m>1B.m£1C.m>\D.m<1

5.有一圆形苗圃如图1所示，中间有两条交叉过道AB,CD,它们为苗圃。。的直径，JaAB1CD.入口K位于AO

中点，园丁在苗圃圆周或两条交叉过道上匀速行进.设该园丁行进的时间为x,与入口K的距离为y,表示y与x的函

数关系的图象大致如图2所示，则该园丁行进的路线可能是（）

A.A—O—DB.C—A-O—BC.D—O—CD.O-D—B—C

6.下列所给函数中，y随x的增大而减小的是（）

A.y=-x-1B.y=2x2（x>0）

2

C.y=~D.y=x+l

x

7.抛物线y=ax?-4ax+4a-1与x轴交于A,B两点，C（xi,m）和D（X2,n）也是抛物线上的点，且xiV2<X2,

X1+X2<4,则下列判断正确的是（）

A.m<nB.m<nC.m>nD.m>n

8.如图，矩形ABCD中，E为DC的中点，AD：AB=石：2,CP：BP=1：2,连接EP并延长，交AB的延长线

于点F,AP、BE相交于点O.下列结论:①EP平分NCEB；②BF2=PB・EF；③PF・EF=2AD2；④EF・EP=4AO・PO.其

中正确的是（）

A.①②③B.①②④C.①③④D.③④

9.小刚从家去学校，先匀速步行到车站，等了几分钟后坐上了公交车，公交车匀速行驶一段时后到达学校，小刚从家

到学校行驶路程s（单位：m）与时间r（单位：min）之间函数关系的大致图象是（）

10.在实数|-3|,-2,0,7T中，最小的数是（）

A.|-3|B.-2C.0D.n

11.下列几何体是棱锥的是（）

k

12.如图，4（4,0）,B（1,3）,以08为边作“MC5,反比例函数丫=一（厚0）的图象经过点C.则下列结

X

论不正确的是（）

A.oOACB的面积为12

B.若产3,则x>5

C.将口。4。5向上平移12个单位长度，点5落在反比例函数的图象上.

D.将口。/1（75绕点。旋转180。，点C的对应点落在反比例函数图象的另一分支上.

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.如图，在正方形ABC。外取一点E,连接AE.BE.DE.过点A作AE的垂线交DE于点P.若4E=AP=1,尸3=石.下

列结论：①g△AEB；②点8到直线4E的距离为板；③EBLED；④SAAPD4APB=T+娓;⑤5正方彩

ABCD=4+yfc.其中正确结论的序号是

15.已知J正是整数，则正整数n的最小值为一

16.已知x、y是实数且满足x2+xy+y2-2=0,设M=x2-xy+y2,则M的取值范围是

17.已知方程x2-5x+2=0的两个解分别为XI、X2,则X1+X2-X1»X2的值为.

18.如图，一根直立于水平地面的木杆A〃在灯光下形成影子AC(AC>48),当木杆绕点A按逆时针方向旋转，直

至到达地面时，影子的长度发生变化.已知AE=5,〃，在旋转过程中，影长的最大值为5,〃，最小值3m，且影长最大

时，木杆与光线垂直，则路灯的高度为m.

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.(6分)已知关于x的一元二次方程产+(2»1+3)*+»12=1有两根呢(J求，”的取值范围；若a+0+a0=l.求，"的值.

20.(6分)如图，AC是。O的直径，BC是。O的弦，点P是。O外一点，连接PA、PB、AB、OP,已知PB是。O

的切线.

(1)求证：NPBA=NC；

(2)若OP〃BC,且OP=9,OO的半径为3a,求BC的长.

21.(6分)下表中给出了变量x,与丫=2*2,y=ax2+bx+c之间的部分对应值，(表格中的符号“…”表示该项数据已丢失)

X-101

ax2・・・…1

ax2+bx+c72・・・

(1)求抛物线y=ax2+bx+c的表达式

(2)抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D,与y轴的交点为A,点M是抛物线对称轴上一点，直线AM交对称轴右侧的抛

物线于点B,当△ADM与△BDM的面积比为2：3时，求B点坐标；

(3)在(2)的条件下，设线段BD与x轴交于点C,试写出NBAD和NDCO的数量关系，并说明理由.•

4

22.(8分)如图，已知在AABC中，AB=AC=5,cosB=y,P是边AB上一点，以P为圆心，PB为半径的。P与边

BC的另一个交点为D,联结PD、AD.

(1)求△ABC的面积;

(2)设PB=x,AAPD的面积为y,求y关于x的函数关系式，并写出定义域；

(3)如果△APD是直角三角形，求PB的长.

23.(8分)某市扶贫办在精准扶贫工作中，组织30辆汽车装运花椒、核桃、甘蓝向外地销售.按计划30辆车都要装

运，每辆汽车只能装运同一种产品，且必须装满，根据下表提供的信息，解答以下问题：

产品名称核桃花椒甘蓝

每辆汽车运载量(吨)1064

每吨土特产利润(万元)0.70.80.5

若装运核桃的汽车为x辆，装运甘蓝的车辆数是装运核桃车辆数的2倍多1,假设30辆车装运的三种产品的总利润为

y万元.

(1)求y与x之间的函数关系式；

(2)若装花椒的汽车不超过8辆，求总利润最大时，装运各种产品的车辆数及总利润最大值.

k

24.(10分)如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=—(x>0)的图象与直线y=2x+l交于点A(1,m).

X

(1)求鼠的值；

(2)已知点P0)过点尸作平行于y轴的直线，交直线y=2x+l于点8,交函数y='(x>0)的图象于点

X

①当”=3时，求线段A8上的整点个数；

②若y=g（x＞0）的图象在点A、C之间的部分与线段A3、8c所围成的区域内（包括边界）恰有5个整点，直接写出

n的取值范围.

25.（10分）对于平面直角坐标系xO），中的点。（匕丁乂》。。），将它的纵坐标）'与横坐标x的比;称为点。的“理想

值”，记作4.如。（一1,2）的“理想值"4=2=-2.

（1）①若点Q（l,a）在直线y=x-4上，则点。的“理想值等于；

②如图，C（V3,1）,OC的半径为1.若点。在OC上，则点。的“理想值”与的取值范围是.

（2）点。在直线＞=-曰x+3上，。。的半径为1,点。在。。上运动时都有OWL。46,求点。的横坐标的

取值范围；

（3）/（2,加）（加＞0）,。是以广为半径的。M上任意一点，当OWL。W2血时，画出满足条件的最大圆，并直接

写出相应的半径r的值.（要求画图位置准确，但不必尺规作图）

26.（12分）一位运动员推铅球，铅球运行时离地面的高度丁（米）是关于运行时间x（秒）的二次函数.已知铅球

刚出手时离地面的高度为g米；铅球出手后，经过4秒到达离地面3米的高度，经过10秒落到地面.如图建立平面直

角坐标系.

o12345678910X

（I）为了求这个二次函数的解析式，需要该二次函数图象上三个点的坐标.根据题意可知，该二次函数图象上三个

点的坐标分别是；

（II）求这个二次函数的解析式和自变量X的取值范围.

27.（12分）化简：卜+工^+苴二

IX-2J/一一4

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1,B

【解析】

y=3x的图象经过一三象限过原点的直线，y随x的增大而增大，故选项A错误；

3

y=一的图象在一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小，故选项B正确；

x

y=-L的图象在二、四象限，故选项C错误；

x

y=x2的图象是顶点在原点开口向上的抛物线，在一、二象限，故选项D错误；

故选B.

2、D

【解析】

设AE=x,则AB=F,由矩形的性质得出/84。=/。=90。,5=48,证明&ADG是等腰直角三角形，得出AG=-AD=y

同理得出CD=A8=、FT,CG=CD-OG=-x-l,CG==G尸，得出GF,即可得出结果.

【详解】

设AE=x,

•.•四边形ABCD是矩形，

:.NBAD=ND=90°,CD=AB,

TAG平分NA4O,

ZDAG=45°,

/.△ADG是等腰直角三角形，

：.DG=AD=1,

AG=\~AD=y

同理:5E=4E=x,CD=AB=",

VN

.•.CG=CD-DG=-x-1,

v£

同理：CG=-GF,

V/

:・FG=_

三一-____叱

/C--~J,

:・AE-GF=x-(x-_)=

v2\2

故选D.

【点睛】

本题考查了矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理;熟练掌握矩形的性质和等腰直角三角形的性质，并能

进行推理计算是解决问题的关键.

3、D

【解析】

画图，找出G2的临界点，以及Gi的临界直线，分析出Gi过定点，根据k的正负与函数增减变化的关系，结合函数

图象逐个选项分析即可解答.

【详解】

解：一次函数yz=2x+3(-l<x<2)的函数值随x的增大而增大，如图所示，

N(-1,2),Q(2,7)为G2的两个临界点，

易知一次函数yi=kx+l-2k(k/))的图象过定点M(2,1),

直线MN与直线MQ为Gi与G2有公共点的两条临界直线，从而当Gi与G2有公共点时，yi随x增大而减小；故①正

确；

当Gi与G2没有公共点时，分三种情况：

一是直线MN,但此时k=0,不符合要求；

二是直线MQ,但此时k不存在，与一次函数定义不符，故MQ不符合题意；

三是当k>0时，此时yi随x增大而增大，符合题意，故②正确；

当k=2时，Gi与G2平行正确，过点M作MPLNQ,则MN=3,由yz=2x+3,且MN〃x轴，可知，tan/PNM=2,

/.PM=2PN,

由勾股定理得：PN2+PM2=MN2

...(2PN)2+(PN)2=9,

.*.PM=.

分

故③正确.

综上，故选：D.

【点睛】

本题是一次函数中两条直线相交或平行的综合问题，需要数形结合，结合一次函数的性质逐条分析解答，难度较大.

4、D

【解析】

由抛物线与X轴有两个交点可得出△=b2-4ac>0,进而可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围.

【详解】

.•,抛物线y=x2-2x+m与x轴有两个交点，

.*•A=b2-4ac=(-2)2-4xlxm>0>即4-4m>0,

解得：m<l.

故选D.

【点睛】

本题考查了抛物线与x轴的交点，牢记“当A=b2-4ac>()时，抛物线与x轴有2个交点”是解题的关键.

5、B

【解析】

【分析】观察图象可知园丁与入口K的距离先减小，然后再增大，但是没有到过入口的位置，据此逐项进行分析即可

得.

【详解】A.A-O-D,园丁与入口的距离逐渐增大，逐渐减小，不符合；

B.C-ATOTB,园丁与入口的距离逐渐减小，然后又逐渐增大，符合；

C.D-OTC,园丁与入口的距离逐渐增大，不符合；

D.OTD—B—C,园丁与入口的距离先逐渐变小，然后再逐渐变大，再逐渐变小，不符合，

故选B.

【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，看懂图形，认真分析是解题的关键.

6、A

【解析】

根据二次函数的性质、一次函数的性质及反比例函数的性质判断出函数符合y随x的增大而减小的选项.

【详解】

解：A.此函数为一次函数，y随x的增大而减小，正确；

B.此函数为二次函数，当xVO时，y随x的增大而减小，错误；

C.此函数为反比例函数，在每个象限，y随x的增大而减小，错误；

D.此函数为一次函数，y随x的增大而增大，错误.

故选A.

【点睛】

本题考查了二次函数、一次函数、反比例函数的性质，掌握函数的增减性是解决问题的关键.

7、C

【解析】

分析：将一般式配方成顶点式，得出对称轴方程x=2,根据抛物线丁=以2一4以+4。-1与x轴交于两点，得出

-4QX(4Q-1)>0,求得

。>0,距离对称轴越远，函数的值越大，根据看<2<々，%+々<4,判断出它们与对称轴之间的关系即可判定.

详解：,:y=ax2-4奴+4。-1=Q(X-2)2-1,

・•・此抛物线对称轴为尤=2,

•・•抛物线y=以2一4奴+4々一1与X轴交于A,8两点，

:.当or?-4o¥+4a—1=0时，△=(-4Q)--4QX(4Q-1)>0,得Q>0,

V%v2<X29X]+/v4,

；・2-Xj>X?—2,

:.m>

故选C

点睛：考查二次函数的图象以及性质，开口向上，距离对称轴越远的点，对应的函数值越大，

8、B

【解析】

由条件设AD=gx,AB=2X,就可以表示出CP=@X,BP=2叵x,用三角函数值可以求出NEBC的度数和NCEP

33

的度数，则NCEP=NBEP,运用勾股定理及三角函数值就可以求出就可以求出BF、EF的值，从而可以求出结论.

【详解】

解：设AD=6X,AB=2X

•四边形ABCD是矩形

/.AD=BC,CD=AB,ZD=ZC=ZABC=90°.DC:〃AB

.*.BC=V3x»CD=2x

TCP：BP=1：2

.「p百2百

..CP=-----x,BRPP=-------x

33

YE为DC的中点，

1

.,.CE=-CD=x,

2

.,PCJ3,ECJ3

/.tanZCEP=——=—,tanZEBC=—=—

EC3BC3

/.ZCEP=30°,ZEBC=30°

ZCEB=60°

:.NPEB=30°

.*.ZCEP=ZPEB

.♦.EP平分NCEB,故①正确；

VDC/7AB,

.,.ZCEP=ZF=30°,

.•.NF=NEBP=30。，NF=NBEF=30。，

/.△EBP^AEFB,

.BEBP

''~EF~~BF

/.BEBF=EFBP

VZF=ZBEF,

；.BE=BF

...BF2=PBEF,故②正确

VZF=30°,

4J3

.*.PF=2PB=—

3

过点E作EGLAF于G,

:.ZEGF=90°,

.*.EF=2EG=2V3x

4[i

：.PFEF=-y-x-2后x=8x2

2AD2=2x(&x)2=6x2,

.,.PFEF^2AD2,故③错误.

在RtAECP中，

,:ZCEP=30°,

.•,EP=2PC=^^x

3

:.ZPAB=30°

:.ZAPB=60°

:.ZAOB=90°

在RSAOB和R3POB中，由勾股定理得，

n

AO=+x,PO=——x

3

/.4AOPO=4x73x--x=4x2

3

又EF,EP=26x,2ax=4x2

3

.*.EFEP=4AOPO.故④正确.

故选，B

【点睛】

本题考查了矩形的性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，特殊角的正切值的运用，勾股定理的运用及直角三

角形的性质的运用，解答时根据比例关系设出未知数表示出线段的长度是关键.

9、B

【解析】

【分析】根据小刚行驶的路程与时间的关系，确定出图象即可.

【详解】小刚从家到学校，先匀速步行到车站，因此S随时间t的增长而增长，等了几分钟后坐上了公交车,

因此时间在增加，S不增长，坐上了公交车，公交车沿着公路匀速行驶一段时间后到达学校，因此S又随时

间t的增长而增长，

故选B.

【点睛】本题考查了函数的图象，认真分析，理解题意，确定出函数图象是解题的关键.

10、B

【解析】

直接利用利用绝对值的性质化简，进而比较大小得出答案.

【详解】

在实数卜3|,-1,0,7T中，

|-3|=3,则-1V0V卜3|Vn,

故最小的数是：-1.

故选B.

【点睛】

此题主要考查了实数大小比较以及绝对值，正确掌握实数比较大小的方法是解题关键.

11、D

【解析】

分析：根据棱锥的概念判断即可.

A是三棱柱，错误；

B是圆柱，错误；

C是圆锥，错误；

D是四棱锥,正确.

故选D.

点睛：本题考查了立体图形的识别，关键是根据棱锥的概念判断.

12、B

【解析】

k

先根据平行四边形的性质得到点。的坐标，再代入反比例函数y=—（时0）求出其解析式，再根据反比例函数的图

x

象与性质对选项进行判断.

【详解】

解：•••4（4,0）,B（1,3）,3。=。4=4,

・•.C（5,3）,

k

•反比例函数y=—（厚0）的图象经过点C,

x

••k=5*3=15，

・••反比例函数解析式为y=".

X

oOACB的面积为。4x%=4x3=12,正确；

当y<0时，%<0,故错误；

将口04c5向上平移12个单位长度，点B的坐标变为(1,15),在反比例函数图象上，故正确；

因为反比例函数的图象关于原点中心对称，故将口。4。5绕点0旋转180。，点C的对应点落在反比例函数图象的另一

分支上，正确.

故选：B.

【点睛】

本题综合考查了平行四边形的性质和反比例函数的图象与性质，结合图形，熟练掌握和运用相关性质定理是解答关键.

二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分.)

13、⑤

【解析】

①利用同角的余角相等，易得NEAB=NP4O,再结合已知条件利用SAS可证两三角形全等；

②过5作5尸_LAE,交AE的延长线于尸，利用③中的N5EP=90。，利用勾股定理可求5E,结合AAEP是等腰直角三

角形，可证A8EF是等腰直角三角形，再利用勾股定理可求EF、BF-,

③利用①中的全等，可得N4PD=NAE5,结合三角形的外角的性质，易得N5EP=90。，即可证；

④连接BO,求出AABO的面积，然后减去A8。尸的面积即可；

⑤在RtAAB尸中，利用勾股定理可求即是正方形的面积.

【详解】

①TNEAB+N5Ap=90。，NAW+NA4P=90。，

ZEAB=ZPAD,

又；AE=AP,AB=AD,

APDAEB中，

AE=AP

</EAB=/PAD,

AB=AD

：.AAPD^AAEB(SAS)；

故此选项成立；

③:△APD义AAEB,

：.ZAPD=ZAEB,

■:NAEB=NAEP+NBEP,ZAPD=ZAEP+ZPAE,

:.ZBEP=ZPAE=9(io,

：.EB±ED；

故此选项成立；

②过3作BF_LAE,交AE的延长线于尸,

:AE=AP,ZEAP=90°,

:.NAEP=NAPE=45。,

又•..③中E8JLEO,BF1AF,

二NFEB=NFBE=45°,

又,:BE=JBP?-PE~~-2~-\/3，

：.BF=EF=―,

2

故此选项不正确；

④如图，连接加9,在RtAAE尸中，

,：AE=AP=1,

：.EP=0,

又＜PB=后,

/.BE=也,

,:△APgAAEB,

：.PD=BE=百，

I1（4+#）亭昌6=；+冬

：•S△ABP+S△AD产SAABD・S△BDP=~S正方形ABCD-—xDPxBE=—x

222

故此选项不正确.

@'：EF=BF=―,AE=L

2

.•.在RtAABF中，AB2=(AE+EF)2+BF2=4+指,

•\S正方形2=4+>/6，

故此选项正确.

故答案为①③⑤.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质的运用、正方形的性质的运用、正方形和三角形的面积公式的运用、勾股定理的

运用等知识.

14、2

【解析】

分析：根据分式的运算法则即可求出答案.

详解：当a+b=2时，

CT—b~Cl

原1s式=------•-----

aa-b

--(-a-+--b-)-(-a----b-)•---a--

aa-b

=a+b

=2

故答案为：2

点睛：本题考查分式的运算，解题的关键熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型.

15、1

【解析】

因为同?是整数，且J^=2屈，则In是完全平方数，满足条件的最小正整数n为1.

【详解】

:屈i=25,且而是整数，

•••2廊是整数，即In是完全平方数；

An的最小正整数值为1.

故答案为：1.

【点睛】

主要考查了二次根式的定义，关键是根据乘除法法则和二次根式有意义的条件.二次根式有意义的条件是被开方数是

非负数进行解答.

2

16>-<M<6

3

【解析】

把原式的xy变为2xy・xy,根据完全平方公式特点化简，然后由完全平方式恒大于等于0,得到xy的范围；再把原式

中的xy变为-2xy+3xy,同理得到xy的另一个范围，求出两范围的公共部分，然后利用不等式的基本性质求出2・2xy

的范围，最后利用已知x2+xy+y2-2=0表示出x2+y2,代入到M中得到M=2-2xy,2-2xy的范围即为M的范围.

【详解】

由+xy4-y~-2=0得：f+2xy+y~—2—xy—0,

即=2+肛20,所以到之一2；

由+xy+)广—2—0得：x?—2xy+y~—2+3xy=0,

3

即(工一丁)2二2-3孙之0,所以孙<5，

3

/•-2WxyK—9

，不等式两边同时乘以-2得：

(-2)x(-2)>-2xy>|x(-2),BP-1<-2xy<4,

42

两边同时加上2得：—q+242—2xy«4+2,即—2,xy<6,

•**+xy+y2_2=0,

**•Y+y~—2_xy9

AM=x2-xy+y2-2-2孙，

2

则M的取值范围是一WMW6.

3

2

故答案为：；<M<6.

【点睛】

此题考查了完全平方公式，以及不等式的基本性质，解题时技巧性比较强,对已知的式子进行了三次恒等变形，前两次利用

拆项法拼凑完全平方式，最后一次变形后整体代入确定出M关于xy的式子，从而求出M的范围.要求学生熟练掌握完全

平方公式的结构特点:两数的平方和加上或减去它们乘积的2倍等于两数和或差的平方.

17、1

【解析】

be

解：根据题意可得Xl+X2=-------=5,X1X2=-=2,；・X1+X2-*1X2=5-2=1.故答案为：1.

aa

bc

点睛：本题主要考查了根据与系数的关系，利用一元二次方程的两个根不、X2具有这样的关系：Xl+X2=-一，X!X2=-

aa

是解题的关键.

18、7.5

【解析】

试题解析：当旋转到达地面时，为最短影长，等于

,最小值3m,

.".AB=3m,

,♦•影长最大时，木杆与光线垂直，

即AC=5m,

：.BC=4,

又可得△CABs/\CFE,

.BCAB

••---=----,

ECEF

"：AE=5m,

.4_3

10EF

解得：EF=7.5m.

故答案为7.5.

点睛：相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、（1>>-.；（2）m的值为2.

£

【解析】

（1）根据方程有两个相等的实数根可知A>1,求出，”的取值范围即可；

（2）根据根与系数的关系得出a+P与ap的值，代入代数式进行计算即可.

【详解】

⑴由题意知，（2"?+2）2-4xlx/n2Nl,

解得：m>-.；

⑵由根与系数的关系得：a+p=-(2m+2),呻="产，

Va+p+ap=l,

2

:.-(2m+2)+m=l9

解得：m\=-1,/m=2,

由(1)知62-,,

3

z

所以mi=-1应舍去，

m的值为2.

【点睛】

本题考查的是根与系数的关系，熟知Xl,X2是一元二次方程ax2+6x+c=l(存1)的两根时，Xl+X2=-_»X1X2一是解

答此题的关键.

20、⑴证明见解析；(2)BC=1.

【解析】

(1)连接OB,根据切线的性质和圆周角定理求出NPBO=NABC=90。，即可求出答案;

(2)求出AABCsaPBO,得出比例式，代入求出即可.

【详解】

(1)连接OB,

•；PB是。O的切线，/.PB±OB,/.ZPBA+ZOBA=90°,

,.•AC是。O的直径，,,.ZABC=90°,ZC+ZBAC=90°,

VOA=OB,/.ZOBA=ZBAO,，NPBA=NC；

(2)丁。。的半径是30,

，OB=3及，AC=6&,VOP//BC,AZBOP=ZOBC,

VOB=OC,.,.ZOBC=ZC,.,.ZBOP=ZC,VZABC=ZPBO=90°,

.BCAC.BC6A/2

_______—_______,----~~

.,.△ABC^APBO,»•一,♦・y—-.,.BC=1.

BOOP3V29

【点睛】

本题考查平行线的性质，切线的性质，相似三角形的性质和判定，圆周角定理等知识点，能综合运用知识点进行推理

是解题关键.

21、(1)y=x2-4x+2；(2)点B的坐标为(5,7)；(1)NBAD和NDCO互补，理由详见解析.

【解析】

(1)由(1,1)在抛物线尸蛇2上可求出。值，再由(-1,7)、(0,2)在抛物线广产+公+(；上可求出从c的值，此

题得解；

(2)由A4QM和A同底可得出两三角形的面积比等于高的比，结合点A的坐标即可求出点8的横坐标，再利

用二次函数图象上点的坐标特征即可求出点B的坐标；

⑴利用二次函数图象上点的坐标特征可求出A、O的坐标，过点A作AN〃工轴，交5。于点M贝IJNAND=NOC。,

根据点仄D的坐标利用待定系数法可求出直线BD的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点N的坐标,

利用两点间的距离公式可求出入4、BD、的长度，由三者间的关系结合可证出△

根据相似三角形的性质可得出NANB=NOA5,再由NAN5+NANZ)=120。可得出NZM5+NOCO=120。，即NAW和

NOCO互补.

【详解】

(1)当x=l时，y=ax2=l,

解得：a=l；

将(-1,7)、(0,2)代入y=x?+bx+c,得：

尸+叽解得:广，

1c=21c=2

.••抛物线的表达式为y=x2-4x+2；

(2)*.,△ADM和ABDM同底，且AADM与△BDM的面积比为2：1,

.•.点A到抛物线的距离与点B到抛物线的距离比为2：1.

•••抛物线y=x2-4x+2的对称轴为直线x=-二於=2,点A的横坐标为0,

...点B到抛物线的距离为1,

.••点B的横坐标为1+2=5,

.,.点B的坐标为(5,7).

(1)NBAD和NDCO互补，理由如下：

当x=0时，y=x2-4x+2=2,

...点A的坐标为(0,2),

Vy=x2-4x+2=(x-2)2-2,

.,.点D的坐标为(2,-2).

过点A作AN〃x轴，交BD于点N,贝IJNAND=NDCO,如图所示.

设直线BD的表达式为y=mx+n(m#0),

将B(5,7)、D(2,-2)代入y=mx+n,

尸言，解得"正3,

12/n=-2In=_8

J.直线BD的表达式为y=lx-2.

当y=2时，有lx-2=2,

解得：x=岑，

.••点N的坐标为(92).

VA(0,2),B(5,7),D(2,-2),

.•.AB=5«,BD=1V1O»BN=-^7^,

3

.BN_BA_V5

••—=———.

BABD3

XVZABD=ZNBA,

.,.△ABD(^ANBA,

/.ZANB=ZDAB.

VZANB+ZAND=120°,

:.ZDAB+ZDCO=120°,

.../BAD和NDCO互补.

【点睛】

本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数和一次函数解析式、等底三角形面积的关系、二次函数的图像

与性质、相似三角形的判定与性质.熟练掌握待定系数法是解（1）的关键；熟练掌握等底三角形面积的关系式解（2）

的关键；证明△是解（1）的关键.

,、,、12212/、，、35-125

22、(1)12(2)y=------xH-----X(0VxV5)(3)—或---

2553232

【解析】

4

试题分析：（1）过点A作AH_LBC于点H,根据cosB=）求得BH的长，从而根据已知可求得AH的长，BC的长,

再利用三角形的面积公式即可得；

12□S.„AP

（2）先证明△BPDs^BAC,得到久期。==£,再根n据，代入相关的量即可得;

25'"PD6尸

（3）分情况进行讨论即可得.

试题解析：(D过点A作AHJ_BC于点H,贝IJNAHB=9O°,AcosB=—,

AB

4

VcosB=-,AB=5,ABH=4,AAH=3,

5

VAB=AC,ABC=2BH=8,

；・SAABC=_x8x3=12

2

(2)VPB=PD,AZB=ZPDB,

VAB=AC,.\ZB=ZC,AZC=ZPDB,

AABPD^ABAC,

q

•u^BPD

»•

Q

Q^BAC

解得£在。=石

.'S"一而'

y_5-x

*e-12x2x

io1?

解得丫=—---x(0Vx<5)；

(3)ZAPD<90°,

7

过C作CEJ_AB交BA延长线于E,可得cosNCAE=—，

①当NADP=90。时,

cosZAPD=cosZCAE=——，

25

解得x=—；

32

②当NPAD=90。时，

5-x_7

~^T~25，

解得x=空，

32

35125

综上所述，PB=3或上.

3232

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、底在同一直线上且高相等的三角形面积的关系等，结合图形及已知选

择恰当的知识进行解答是关键.

23、(l)y=-3.4x+141.1；(1)当装运核桃的汽车为2辆、装运甘蓝的汽车为12辆、装运花椒的汽车为1辆时，总利润

最大，最大利润为U7.4万元.

【解析】

(1)根据题意可以得装运甘蓝的汽车为(lx+1)辆，装运花椒的汽车为30-x-(lx+1)=(12-3x)辆，从而可以

得到y与x的函数关系式；

(D根据装花椒的汽车不超过8辆，可以求得x的取值范围，从而可以得到y的最大值，从而可以得到总利润最大时,

装运各种产品的车辆数.

【详解】

⑴若装运核桃的汽车为x辆，则装运甘蓝的汽车为(lx+1)辆，装运花椒的汽车为30-x-(lx+1)=(12-3x)辆,

根据题意得：y=10x0.7x+4x0.5(lx+1)+6x0.8(12-3x)=-3.4x+141.1.

29-3x<8

⑴根据题意得：〈

x+(2x+l)<30

解得：7<x<—,

•••x为整数，

.*.7<x<2.

V10.6>0,

•••y随x增大而减小，

.,.当x=7时，y取最大值，最大值=-3.4x7+141.1=117.4,此时:lx+l=12,12-3x=l.

答：当装运核桃的汽车为2辆、装运甘蓝的汽车为12辆、装运花椒的汽车为1辆时，总利润最大，最大利润为117.4

万元.

【点睛】

本题考查了一次函数的应用，解题的关键是熟练的掌握一次函数的应用.

24、(1)m=3,k=3；(2)①线段AB上有(1,3)、(2,5)、(3,7)共3个整点，②当把"V3时，有五个整点.

【解析】

(D将A点代入直线解析式可求机，再代入y=&,可求:

x

(2)①根据题意先求3,C两点，可得线段上的整点的横坐标的范围10日3,且x为整数，所以x取1,2,3.再

代入可求整点，即求出整点个数.

②根据图象可以直接判断2<„<3.

【详解】

(1);,点A(1,/n)在y=2x+l上，

.*.m=2xl+l=3.

：.A(1,3).

k

•.•点A(1,3)在函数y=一的图象上，

x

:.k=3.

(2)①当〃=3时，B、C两点的坐标为8(3,7)、C(3,1).

•整点在线段A8上

•••183且x为整数

••X—192,3

・•・当x=l时，j=3,

当x=2时，y=5,

当x=3时，j=7,

J线段A5上有(1,3)、(2,5)、(3,7)共3个整点.

②由图象可得当29V3时，有五个整点.

【点睛】

本题考查反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法，以及函数图象的性质.关键是能利用函数图象有关解决问题.

25、(1)①-3；②。WLQ4瓜(2)乎(3)近

【解析】

(1)①把Q(1,a)代入y=x-4,可求出a值，根据理想值定义即可得答案；②由理想值越大，点与原点连线与》轴夹

角越大，可得直线与。。相切时理想值最大，OC与x中相切时，理想值最小，即可得答案；(2)根据题意，讨

论。。与x轴及直线y=Gx相切时，LQ取最小值和最大值，求出。点横坐标即可；(3)根据题意将点M转化为直

线x=2,。点理想值最大时点。在y=20x上，分析图形即可.

【详解】

(1)①..•点Q。,。)在直线y=x-4上，

a=1—4=—3,

点Q的“理想值"LQ=~Y=3

故答案为：-3.

②当点。在。。与x轴切点时，点Q的“理想值”最小为0.

当点。纵坐标与横坐标比值最大时，。的“理想值”最大，此时直线。。与。。切于点Q,

设点Q(x,y),0C与x轴切于A,与OQ切于Q,

VC(G，1),

/CAV3

・・tanNCOA=-----=-----，