（全国通用）2023高考数学大一轮复习第三篇三角函数解三角形第3节三角恒等变换习题理

PAGEPAGE10第3节三角恒等变换【选题明细表】知识点、方法题号三角函数的化简求值1,2,5,7,10给值求值3,4,8,11给值求角9,12,13,15综合应用6,14,16根底对点练(时间:30分钟)1.化简cos15°cos45°-cos75°sin45°的值为(A)(A)12 (B)32 (C)-1解析:cos15°cos45°-cos75°sin45°=cos15°cos45°-sin15°sin45°=cos(15°+45°)=cos60°=12应选A.2.3cos10°-(A)4 (B)2 (C)-2 (D)-4解析:3cos10°-1sin170°=3=2sin=-=-4.应选D.3.(2022·开封二模)假设点P(cosθ,sinθ)在直线x+2y=0上,那么cos2θ+sin2θ等于(A)(A)-15 (B)-12 (C)1解析:假设点P(cosθ,sinθ)在直线x+2y=0上,那么cosθ+2sinθ=0,即tanθ=-12故cos2θ+sin2θ=co=1=-15应选A.4.(2022·东北三省二模)sinα+cosα=13,那么sin2(π4-α(A)118 (B)1718 (C)8解析:由sinα+cosα=13将等式两边平方,得2sinαcosα=-89所以sin2(π4-α)==1-sin2=1+=1718应选B.5.2si(A)1 (B)-1 (C)12 (D)-解析:原式=2=-=-12应选D.6.定义运算abcd=ad-bc.假设cosα=17,sinαsinβcos(A)π12 (B)π6 (C)π解析:依题意有sinαcosβ-cosαsinβ=sin(α-β)=33又0<β<α<π2,所以0<α-β<π故cos(α-β)=1-sin而cosα=17,所以sinα=4于是sinβ=sin[α-(α-β)]=sinαcos(α-β)-cosαsin(α-β)=437×1314-=32故β=π3应选D.7.(2022·长沙雅礼中学月考)sin15°+cos15°=.

解析:sin15°+cos15°=2(22sin15°+22cos15=2sin(15°+45°)=2sin60°=62答案:68.设θ为第二象限角,假设tan(θ+π4)=12,那么sinθ+cosθ=解析:tan(θ+π4)=1+tanθ1解得tanθ=-13由sinθ=-13cosθ,si所以sinθ+cosθ=-105答案:-109.假设锐角α,β满足(1+3tanα)(1+3tanβ)=4,那么α+β=.

解析:由(1+3tanα)(1+3tanβ)=4,可得tanα+tanβ即tan(α+β)=3.又α+β∈(0,π),所以α+β=π3答案:π10.导学号18702183化简:(sin2解:(=si=si=-=1=2=sin=tanα.11.导学号18702184α,β均为锐角,且sinα=35tan(α-β)=-13(1)求sin(α-β)的值;(2)求cosβ的值.解:(1)因为α,β∈(0,π2)从而-π2<α-β<π又因为tan(α-β)=-13所以-π2<α-β所以sin(α-β)=-1010(2)由(1)可得cos(α-β)=310因为α为锐角,且sinα=35,所以cosα=4所以cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=45×31010+35×=910能力提升练(时间:15分钟)12.(2022·哈尔滨六中期中)设α∈(0,π2),β∈(0,π2),tanα=(A)3α-β=π2 (B)2α-β=(C)3α+β=π2 (D)2α+β=解析:sinαcosα那么cosα+cosαsinβ=sinαcosβ,所以cosα=sin(α-β),sin(π2-α)=sin(α-β又因为α,β都是锐角,所以π2-α=α-β或π2-α+α-β=所以2α-β=π2或β=-π应选B.13.导学号18702186假设sin2α=55,sin(β-α)=1010,且α∈[π4,π],β∈[π,3π2](A)7π4 (C)5π4或7π4解析:因为α∈[π4,π]故2α∈[π2,2π],但sin2α=5故2α∈[π2,π],α∈[π4,π所以cos2α=-255,因为β∈[π,3故β-α∈[π2,5π于是cos(β-α)=-310所以cos(α+β)=cos[2α+(β-α)]=cos2αcos(β-α)-sin2αsin(β-α)=-255×(-31010)-55又α+β∈[5π4,2π],故α+β=14.设x∈(0,π2),那么函数y=sin2x2si解析:因为x∈(0,π2)函数y=sin2x2sin2x+1=2sinxcos当且仅当3tanx=1tanx时等号成立,故最大值为答案:315.α,β为锐角,sinα=35,cos(α+β)=-45,求2α+解:因为sinα=35,α∈(0,π2所以cosα=45因为cos(α+β)=-45,α+β∈(0,π所以sin(α+β)=35所以sin(2α+β)=sin[α+(α+β)]=sinαcos(α+β)+cosαsin(α+β)=35×(-45)+4=0.又2α+β∈(0,3π2所以2α+β=π.16.导学号18702187向量a=(sinωx,cosωx),b=(cos,sin),函数f(x)=a·b(ω>0,π3<<π)的最小正周期为2π,其图象经过点M(π6,32)(1)求函数f(x)的解析式;(2)α,β∈(0,π2),且f(α)=35,f(β)=1213,求f(2α解:(1)依题意有f(x)=a·b=sinωxcos+cosωxsin=sin(ωx+).因为函数f(x)的最小正周期为2π,所以2π=T=2πω,解得将点M(π6,32得sin(π6+)=32因为π3<<π,所以π2<π6+<7所以π6+=2π3,所以=π故f(x)=sin(x+π2)(2)依题意有cosα=35,cosβ=1213,而α,β∈(0,π所以sinα=1-(3sinβ=1-(12所以sin2α=2sinαcosα=2425cos2α=cos2α-sin2α=925-1625=-所以f(2α-β)=cos(2α-β)=cos2αcosβ+sin2αsinβ=(-725)×1213+24=36325好题天天练1.导学号18702188tan(α+π5)=2,tan(β-4π5)=-3,那么tan(α(A)1 (B)-57 (C)5解题关键:注意观察α+π5与β-45tan(α-β).解析:tan[(α+π5)-(β-4π5)]=tan[(α-β)+π]=tan(α-=-1.2.(2022·杭州质检)α∈(π4,3π4),β∈(0,π4),且cos(π4-Sin(54π+β)=-1213,那么cos(α+β)=