教学设计 曲边梯形的面积

《曲边梯形的面积》教学设计【教学目标】1、通过对曲边梯形面积的探求，了解定积分的实际背景，初步掌握求曲边梯形面积的方法步骤：“分割、近似代替、求和、取极限”。2、经历探求曲边梯形的面积的过程，体会“以直代曲”和“无限逼近”的思想方法。通过类比体会从具体到抽象、从特殊到一般的数学思想方法。3、通过探索求曲边梯形面积的过程，体会“以直代曲”，“无限逼近”的思想，感受量变到质变的变化过程，理解用极限的思想方法思考与处理问题。【教学重点】了解定积分的基本思想方法——“以直代曲”、“无限逼近”的思想。初步掌握求曲边梯形面积的“四步曲”——“分割、近似代替、求和、取极限”。【教学难点】“以直代曲”、“无限逼近”思想的形成过程及理解。【教法学法】鉴于定积分思想的高度抽象性，并针对本节课的特点，我采用以教师引导为主，学生自主探索、积极思考为辅的探究式教学方法；在教学手段上采用实物投影仪和多媒体课件相结合的教学手段。对本节内容中比较抽象的几个问题，借助多媒体课件进行演示，使学生“看”到数学的本质，激发学生的学习兴趣，加深其对“以直代曲、“无限逼近”思想方法的理解，在突出教学重点的同时，突破难点。【教学准备】多媒体电脑、实物投影仪、课件等。【教学过程】（一）创设情境，引出课题问题1：你会求哪些平面图形的面积？下面这些平面图形有什么共同特点？

问题2：下面这两个图形的面积你会求吗？

设计意图：1、引导学生认识到平面图形分为“直边图形”和“曲边图形”。2、将不规则的图形“分割”得到熟悉的图形，从而求出它的面积。让学生体会分割转化的思想。问题3：圆的面积是怎样求得的？设计意图：介绍我国古代数学家刘徽的“割圆术”求圆面积的方法，增强学生的民族自豪感。借助flash动画演示，让学生直观地看到正多边形逼近圆的过程。体会最早的“以直代曲”，“无限逼近”的思想方法。割圆术的动态演示能够激发学生的学习兴趣和求知欲望。观察：这个平面图形与前面说到的直边图形有何区别？yy曲边梯形的定义：x=ax=bxO阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线的一段，我们把由直线和曲线所围成的图形称为曲边梯形。怎样去求这个曲边梯形的面积？先看一个特殊的曲边梯形的面积问题。

（二）初步探究，合作学习yyx=ax=bxO例：求直线及曲线所围成的平面图形的面积S。问题4：由刘徽“割圆术”中以直代曲思想的启示，用正多边形逼近圆去求圆的面积。那能否将求这个曲边梯形面积的问题转化为求直边图形面积的问题呢？设计意图：启发学生通过类比想到用学过的直边图形的面积近似代替曲边梯形的面积。问题5：能否直接对整个曲边梯形进行“以直代曲”？设计意图：引导学生思考讨论，得出结论：直接对整个曲边梯形进行“以直代曲”误差太大，为了减少近似代替的误差，需要先分割，再“以直代曲”。问题6：我们可以用哪些学过的直边图形的面积近似代替曲边梯形的面积？如何分割？设计意图：引导学生把未知问题转化为已知问题，体会“以直代曲”的思想，使学生联想到用梯形面积，矩形面积近似代替曲边梯形面积，培养学生发散思维。学生自主探究，约4-5分钟时间。用实物投影仪展示学生的方案。通过设置不同的问题，引导学生独立思考，自主探究；将学生不同的探究结果展示出来，很好的调动了学生的学习积极性，体现课堂教学中学生的主体地位，注重学生思维的发生、发展过程，给学生提供一个自主探索、动手操作的平台。

幻灯片演示部分分割方案：

1Oy1OyxOyxA1A2A31OyxOyxA1A2A3A3设计意图：通过幻灯片动态演示，让学生更加直观地感受到不论哪种方案，随着分割逐渐加细，误差都会逐渐减少，面积也都无限逼近要求的曲边梯形的面积。有助于学生更好地体会“以直代曲”、“无限逼近”的思想方法。

在学生探究交流之后，设置一系列问题引导学生探求正确、简洁的思路，即求曲边梯形面积的四个步骤。以左端点对应的函数值为矩形的高为例。问题7：设想用无限逼近的思想方法求上面图形的面积，在该曲边梯形内作若干个小矩形，具体如何操作？问题8：上述小矩形从左到右它们的高分别为多少？宽为多少？问题9：这些小矩形的面积之和是多少？问题10：怎样使Sn更接近于真实值？设计意图：通过问题启发学生去思考n对结果有什么影响？由于学生没有极限运算的基础，所以最后一步取极限的时候学生会感到比较困难，不理解这种有限到无限，近似到精确，量变到质变的变化过程，因此教学中用几何画板演示了矩形面积逼近曲边梯形面积的过程，增强学生对极限思想的直观感知，突破了教学难点。第一步：分割把区间等分成个小区间（思考：为什么要等分区间？分多少段？）：，，…，，…，每个区间的长度为.过各区间端点作轴的垂线，从而得到个小曲边梯形，它们的面积分别记作，，…，，…，．第二步：近似代替对区间上的小曲边梯形，以区间左端点对应的函数值为一边的长，以为另一边长的小矩形面积近似代替小曲边梯形的面积。即．第三步：求和因为每个小矩形的面积是相应的小曲边梯形面积的近似值，所以个小矩形的面积之和就是所求曲边梯形面积的近似值。公式：

]．

从而得到的近似值

第四步：取极限当分割无限变细，即时，

（三）形成方法，学以致用练习：以区间右端点对应的函数值为矩形的高进行近似代替，求曲边梯形的面积S。设计意图：培养学生运用新知与方法的能力，结合两种计算结果，从代数角度进一步诠释“无限逼近”思想，体现数形结合的数学方法。思考：若取任意的函数值为矩形的高，能求出曲边梯形的面积S的值吗？这个值还是吗？设计意图：先由学生讨论后发表自己的看法，之后通过幻灯片动画演示帮助学生认识到近似代替的方式不唯一性，循序渐进，有助于发散学生思维空间，为定积分概念作初步铺垫。（四）归纳小结，深化认知1.经历了探求特殊的曲边梯形面积的过程，我们该如何计算一般的曲边梯形的面积？2.解决问题的过程中，用到了哪些数学思想？3.通过本节课的学习，你有什么收获？设计意图：给学生提供一个阐明想法、发表观点、谈谈收获的平台，便于教师了解学生本节课的学习情况。通过对求解过程的反思，引导学生总结出解决问题的数学思想“以直代曲”和“无限逼近”的极限思想，同时总结具体解题步骤，从而解决一类问题。（五）布置作业1、取中点的函数值近似代替，求直线x0、x1、y0及曲线yx2所围成的图形面积S。2、求由直线x1、x3、y0及曲线yx2+1所围成的曲边梯形的面积。设计意图：(1)让学生加深对近似代替的不唯一性的