2020-2021年上海市市二中学高一上期末

市二中学高一期末数学试卷2021.01一.填空题1.已知角的终边经过点，且，则________.【解析】由题意得，解得，当时，点在第四象限，不满足题意，所以.2.幂的基本不等式是：当，时，________1恒成立【答案】3.已知函数的两个零点分别为和，则的值为__________.【解析】由题意得，，所以.4.函数，则______________.【解析】由解得，所以.5.函数（且）的图像恒过的点是___________；【解析】当时，，所以恒过的点是.6.关于的方程有实数根，则实数的取值范围为________【解析】设，则值域为，所以方程有实数根，等价于，即，解得，所以实数的取值范围为，7.若，则_________．【解析】因为，，所以，，所以，所以.8.已知函数，则________.【解析】由对数函数性质知，即，则故.9.不等式的解集是________【解析】令，因为，，在公共的定义域都是单调递增函数，所以在单调递增，因为，所以不等式等价于，由在单调递增，所以，所以原不等式的解集为.10.若对任意恒成立，则实数的取值范围是________【解析】由题意得不等式对任意恒成立，即不等式对任意恒成立，当时，则不等式对任意不恒成立，所以．所以，即，所以．解得．11.设，若，且，则取值的集合是_______.【解析】若，且，则幂函数的图象一定在的上方，故不可能为奇函数，即不能取和，当取时，是偶函数，故只需满足即可，此时，即，则，即，则可取，故取值的集合是.12.若函数在定义域D内某区间M上是增函数，且在M上是减函数，则称在M上是“弱增函数”.已知函数在上是“弱增函数”，则实数a的值为______.【解析】由题意得函数在上是增函数，所以，解得，令，则在上是减函数，①当时，在上为增函数，不符合题意；②当时，由对勾函数的性质可知在上严格减，所以，解得，又，所以.二.选择题13.中国银行最新存款利率一年期为：1.75%.小明于2020年存入本金100000(元)，计算到2030年可获得利息约18945(元)，其计算实质采用的是（C）模型.A.一次函数B.二次函数C.指数函数D.对数函数【解析】一年后，小明的本金和利息共有，两年后，小明的本金和利息共有，则年后，小明的本金和利息共有，共取得的利息可构建函数，采用了指数函数模型．故选C．14.若，则的取值范围是：（C）A. B.或C. D.或【解析】因为，即，当时，解得，即，当时，解得，此时无解，综上，.故选C.15.以下命题正确的是（D）A.函数的图像与垂直于轴的直线有且仅有一个交点B.是函数是奇函数的充要条件C.若函数在区间上有零点，则D.函数是既奇又偶函数【解析】A.函数的图像与垂直于轴的直线的交点个数是0个或1个，故A不正确；B.不能推出函数是奇函数，例如，若函数是奇函数，定义域里没有，函数也不过原点，所以是函数是奇函数的既不充分也不必要条件，故B不正确；C.若函数在区间上有零点，，在区间有零点，但，故C不正确；D.函数的定义域是，解得：，即，，函数既满足，又满足，所以函数既是奇函数，又是偶函数.故选D.16.把定义域为且同时满足以下两个条件函数称为“函数”：（1）对任意的，总有；（2）若，，则有成立；下列判断错误的是（C）A.若为“函数”，则B.若为“函数”，则在上一定是增函数C.函数在上是“函数”D.函数在上是“函数”（表示不大于的最大整数）【解析】A.若函数为“函数”，若满足（1）则，若满足条件（2）当时，，若同时满足（1）（2）则，故A正确；B.若函数是常函数，如：，满足条件（1）（2），且是增函数，故B正确；C.当时，，，，，不满足（2），所以不是“函数”，故C不正确；D.的最小值是0，显然符合（1），设的每一个数有两部分构成，整数部分和小数部分，设的整数部分是，小数部分是，即，则，设的整数部分是，小数部分是，即，，当没有进到整数位时，，若进到整数位时，，所以，所以函数满足条件（2）所以在上是“函数”，故D正确.故选C.

三.解答题17.已知函数，其中.（1）求函数的定义域；（2）解不等式.【解析】（1）由题意得，解得，所以函数的定义域为；（2）等价于，当时，严格增，所以，解得，又因为，所以，所以不等式的解集为.18.国际视力表值（又叫小数视力值，用表示，范围是）和我国现行视力表值（又叫对数视力值，由缪天容创立，用表示，范围是）的换算关系式为.（1）请根据此关系式将下面视力对照表补充完整；（保留1位小数）1.5②0.4④①5.0③4.0（2）甲、乙两位同学检查视力，其中甲的对数视力值为4.5，乙的小数视力值是甲的小数视力值的2倍，求乙的对数视力值.（保留1位小数，参考数据：，）【解析】（1）①当时，，②时，;③时，④时，；（2）甲的对数视力值为4.5，则，所以，因为乙的小数视力值是甲的小数视力值的2倍，所以19.已知函数，.（1）判断函数的单调性，并给予证明；（2）求函数的值域.【解析】（1），设任意的，，且，，因为，所以，因为，，所以，所以在上严格减，（2），因为，所以，，，所以，函数的值域为.20.已知幂函数（）在是严格减函数，且为偶函数.（1）求的解析式；（2）讨论函数的奇偶性，并说明理由.【解析】（1）因为幂函数（）在是严格减函数，所以，即，解得，因为，所以，当时，，此时为奇函数，不符合题意；当时，，此时为偶函数，符合题意；当时，，此时为奇函数，不符合题意；所以，（2），令当时，，，此时是奇函数，当时，，，此时是偶函数，当且时，，，，，此时是非奇非偶函数.21.已知函数（），.（1）若函数在区间上有零点，求实数的取值范围；（2）写出的定义域，并求的最小值；（3）若对于任意的定义域中的实数、、、、，恒成立，求实数的取值范围.【解析】（1）令，因为，所以，所以，所以当时，当时，，因为函数在区间上有零点