广东省深圳市龙岗区龙岭初级中学2022-2023学年上学期九年级期末考试数学试卷(含答案)

龙岭初级中学2022-2023学年第一学期九年级期末考试数学试卷一．选择题（每题3分，共30分）1． 关于x的一元二次方程x2＋2x＋k＝0有两个相等的实数根，则k的取值范围是（） A．k＝－1 B．k＞－1 C．k＝1 D．k＞12． 如图，一个圆柱体在正方体上沿虚线从左向右平移，平移过程中不变的是（） A．主视图 B．俯视图 C．左视图 D．主视图和左视图3． 若从甲、乙、丙3位“爱心辅学”志愿者中随机选1位为学生在线辅导功课，则甲被选到的概率为（） A． B． C． D．4． 如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG＝2，GD＝1，DF＝5，则CE：BC＝（） A．5：3 B．1：3 C．3：5 D．2：35． 下列命题中正确的是（） A．矩形的对角线相等且互相垂直 B．对角线相等的平行四边形是菱形 C．对角线相等且互相平分的四边形是矩形 D．矩形的对角线平分一组对角6． 当k＜0时，反比例函数y＝和一次函数y＝kx＋2的图象大致是（） A． B． C． D．7． 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，AB的垂直平分线MN交AC于点D，连接BD，若cos∠BDC＝，则BC的长是（） A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm8． 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为10cm，那么PB的长度为（）A．cm B．cm C．cm D．cm9．如图所示的抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，则下列结论错误的是（）A．a＜0 B．b2－4ac＞0 C．2a－b＝0 D．c＞010．如图，正方形ABCD中，E是BC延长线上一点，在AB上取一点F，使点B关于直线EF的对称点G落在AD上，连接EG交CD于点H，连接BH交EF于点M，连接CM．则下列结论：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③GD＝CM；④若AG＝1，GD＝2，则BM＝．其中正确的是（）A．①②③④ B．①② C．③④ D．①②④二．填空题（每题3分，共15分）11．若＝＝≠0，则＝．12．我国古代数学名著《九章算术》中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，有人送来米1500石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得200粒内夹谷20粒，则这批米内夹谷约为石．13．设a，b是一元二次方程x2＋x－2023＝0的两个实数根，则ab的值为．14．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝3，BC＝6，点E在高AB上滑动，若△DAE与△EBC相似，则当AE＝2时，EB＝．15．如图，直线y＝mx－1交y轴于点B，交x轴于点C，以BC为边的正方形ABCD的顶点A（－1，a）在双曲线y＝－（x＜0）上，D点在双曲线y＝（x＞0）上，则k的值为．三．解答题（共55分）16．（5分）计算：(－)＋(－1)2022＋(3.14－π)0－|2cos30°−1|．17．（8分）解下列方程：（1）x2－9＝0； （2）x2＋4x－5＝0．18．（8分）某校为了贯彻“减负增效”精神，掌握九年级800名学生每天的自主学习情况，该校领导随机抽查了九年级的部分学生，并调查他们每天自主学习的时间．根据调查结果，制作了两幅不完整的统计图（图1，图2），请根据统计图中的信息回答下列问题：（1）本次调查的学生人数是人；（2）将条形统计图图1和扇形统计图图2补充完整；（3）请估算，该校九年级自主学习时间不少于1.5小时的学生有人；（4）老师想从学习效果较好的3位同学（分别记为A、B、C，其中B为小华）随机选择两位进行学习经验交流，用列表法或树状图的方法求出选中小华B的概率．19．（8分）拓展小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为l，底座AB固定，高AB为50cm，连杆BC长度为70cm，手臂CD长度为60cm．点B，C是转动点，且AB，BC与CD始终在同一平面内．（1）转动连杆BC，手臂CD，使∠ABC＝143°，CD∥l，如图2，求手臂端点D离操作台l的高度DE的长（精确到1cm，参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）．（2）物品在操作台l上，距离底座A端110cm的点M处，转动连杆BC，手臂CD，手臂端点D能否碰到点M？请说明理由．20．（8分）某地草莓已经到了收获季节，已知草莓的成本价为10元/千克，投入市场销售后，发现该草莓销售不会亏本，且每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系如图所示．（1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）若产量足够，当该品种的草莓定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？21．阅读理解（1）【问题发现】如图①，正方形AEFG的两边分别在正方形ABCD的边AB和AD上，连接CF．填空：①线段CF与DG的数量关系为；②直线CF与DG所夹锐角的度数为．（2）【拓展探究】如图②，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转，在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，请利用图②进行说明．（3）【解决问题】如图③，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝10，O为AC的中点．若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D的运动过程中，线段OE长的最小值为（直接写出结果）．22．如图1，抛物线y＝mx2－3mx＋n（m≠0）与x轴交于点（－1，0）与y轴交于点B（0，3），在线段OA上有一动点E（不与O、A重合），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P．（1）分别求出抛物线和直线AB的函数表达式；（2）连接PA、PB，求△PAB面积的最大值，并求出此时点P的坐标．（3）如图2，点E（2，0），将线段OE绕点O逆时针旋转的到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E'A＋E'B的最小值．

参考答案与试题解析一．选择题1．关于x的一元二次方程x2＋2x＋k＝0有两个相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＝－1 B．k＞－1 C．k＝1 D．k＞1解：由题意Δ＝0，∴4－4k＝0，∴k＝1，故选：C．2．如图，一个圆柱体在正方体上沿虚线从左向右平移，平移过程中不变的是（）A．主视图 B．俯视图 C．左视图 D．主视图和左视图解：根据图形，可得：平移过程中不变的是的左视图，变化的是主视图和俯视图．故选：C．3．若从甲、乙、丙3位“爱心辅学”志愿者中随机选1位为学生在线辅导功课，则甲被选到的概率为（）A． B． C． D．解：共有3种等可能的结果，其中甲被选中的结果有1种，∴甲被选中的概率为，故选：D．4．如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG＝2，GD＝1，DF＝5，则CE：BC＝（）A．5：3 B．1：3 C．3：5 D．2：3解：∵AG＝2，GD＝1，∴AD＝AG＋GD＝3，∵AB∥CD∥EF，∴＝＝，故选：A．5．下列命题中正确的是（）A．矩形的对角线相等且互相垂直 B．对角线相等的平行四边形是菱形 C．对角线相等且互相平分的四边形是矩形 D．矩形的对角线平分一组对角解：A、矩形的对角线相等且互相平分，不一定垂直，故不符合题意；B、对角线相等且互相平分的平行四边形是矩形，故不符合题意；C、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故符合题意；D、矩形的对角线不一定平分所在的对角，故不符合题意；故选：C．6．当k＜0时，反比例函数y＝和一次函数y＝kx＋2的图象大致是（）A． B． C． D．解：当k＜0时，反比例函数y＝的图象在二四象限，同时一次函数y＝kx＋2的图象经过第一、二、四象限；当k＞0时，反比例函数y＝的图象在一三象限，同时一次函数y＝kx＋2的图象经过第一、二、三象限．故选：B．7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，若cos∠BDC＝，则BC的长是（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm解：∵∠C＝90°，AC＝8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，∴BD＝AD，∴CD＋BD＝8，∵cos∠BDC＝＝，∴＝，解得：CD＝3，BD＝5，∴BC＝4．故选：A．8．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为10cm，那么PB的长度为（）A．cm B．cm C．cm D．cm解：∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB），AB的长度为10cm，∴AP＝AB＝×10＝（5－5）cm，∴PB＝AB－AP＝10－（5－5）＝（15－5）cm，故选：A．9．如图所示的抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，则下列结论错误的是（）A．a＜0 B．b2－4ac＞0 C．2a－b＝0 D．c＞0解：由图像可知，抛物线开口向下，a＜0，A选项正确，不符合题意；抛物线有两个不相等的实数根，∴Δ＞0，B选项正确，不符合题意；对称轴x＝1，即，∴2a＝－b，即2a＋b＝0，C选项错误，符合题意；抛物线与y轴正半轴相交，∴c＞0，D选项正确，不符合题意．故选：C．10．如图，正方形ABCD中，E是BC延长线上一点，在AB上取一点F，使点B关于直线EF的对称点G落在AD上，连接EG交CD于点H，连接BH交EF于点M，连接CM．则下列结论，其中正确的是（）①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③GD＝CM；④若AG＝1，GD＝2，则BM＝．A．①②③④ B．①② C．③④ D．①②④解：如图1中，过点B作BK⊥GH于K．∵B，G关于EF对称，∴EB＝EG，∴∠EBG＝∠EGB，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠A＝∠ABC＝∠BCD＝90°，AD∥BC，∴∠AGB＝∠EBG，∴∠AGB＝∠BGK，∵∠A＝∠BKG＝90°，BG＝BG，∴△BAG≌△BKG（AAS），∴BK＝BA＝BC，∠ABG＝∠KBG，∵∠BKH＝∠BCH＝90°，BH＝BH，∴Rt△BHK≌Rt△BHC（HL），∴∠1＝∠2，∠HBK＝∠HBC，故①正确，∴∠GBH＝∠GBK＋∠HBK＝∠ABC＝45°，过点M作MQ⊥GH于Q，MP⊥CD于P，MR⊥BC于R．∵∠1＝∠2，∴MQ＝MP，∵∠MEQ＝∠MER，∴MQ＝MR，∴MP＝MR，∴∠4＝∠MCP＝∠BCD＝45°，∴∠GBH＝∠4，故②正确，如图2中，过点M作MW⊥AD于W，交BC于T．∵B，G关于EF对称，∴BM＝MG，∵CB＝CD，∠4＝∠MCD，CM＝CM，∴△MCB≌△MCD（SAS），∴BM＝DM，∴MG＝MD，∵MW⊥DG，∴WG＝WD，∵∠BTM＝∠MWG＝∠BMG＝90°，∴∠BMT＋∠GMW＝90°，∵∠GMW＋∠MGW＝90°，∴∠BMT＝∠MGW，∵MB＝MG，∴△BTM≌△MWG（AAS），∴MT＝WG，∵MC＝TM，DG＝2WG，∴DG＝CM，故③正确，∵AG＝1，DG＝2，∴AD＝AB＝TW＝3，TC＝WD＝TM＝1，BT＝AW＝2，∴BM＝＝＝，故④正确，故选：A．二．填空题11．已知＝＝≠0，则的值是．解：设＝＝＝k，则a＝2k，b＝3k，c＝4k，∴＝＝＝．故答案为：．12．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1500石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得200粒内夹谷20粒，则这批米内夹谷约为150石．解：这批米内夹谷约为1500×＝150（石），故答案为：150．13．设a，b是一元二次方程x2＋x－2023＝0的两个实数根，则ab的值为－2023．解：∵a，b是一元二次方程x2＋x－2023＝0的两个实数根，∴ab＝－2023，故答案为：－2023．14．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝3，BC＝6，点E在高AB上滑动，若△DAE与△EBC相似，则当AE＝2时，EB＝．A．4 B．6 C．4或9 D．4或6解：∵AD∥BC，∠B＝90°，∴∠A＝∠B＝90°,当△DAE与△EBC相似，则或,∵AD＝3，BC＝6，AE＝2,∴或＝,解得BE＝9或4．15．如图，直线y＝mx－1交y轴于点B，交x轴于点C，以BC为边的正方形ABCD的顶点A（－1，a）在双曲线y＝－（x＜0）上，D点在双曲线y＝（x＞0）上，则k的值为6．解：∵A（－1，a）在双曲线y＝－（x＜0）上，∴a＝2，∴A（－1，2），∵点B在直线y＝mx－1上，∴B（0，－1），∴AE＝1，BE＝3，作DM⊥x轴于M，AN⊥DM于N，交y轴于E，∵∠MDC＋∠ADN＝90°＝∠MDC＋∠MCD，∴∠ADN＝∠MCD，同理：∠ADN＝∠EAB＝∠CBO＝∠MCD，∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝AB＝CD＝DA，∴△ADN≌△BAE≌△CBO≌△CDM（AAS），∴DM＝BE＝AN＝CO＝3，CM＝AE＝1，∴EN＝3－1＝2，∴点D（2，3），∵D点在双曲线y＝（x＞0）上，∴k＝2×3＝6，故答案为：6．三．解答题16．计算：(－)＋(－1)2022＋(3.14－π)0－|2cos30°−1|．解：原式＝－3＋1＋1－|2×−1|＝－1－|−1|＝－1－＋1＝－．17．解下列方程：（1）x2－9＝0；（2）x2＋4x－5＝0．解：（1）（x－3）（x＋3）＝0，x－3＝0或x＋3＝0，所以x1＝3，x2＝－3；（2）x2＋4x－5＝0，（x＋5）（x－1）＝0，x＋5＝0，x－1＝0，x1＝－5，x2＝1．18．某校为了贯彻“减负增效”精神，掌握九年级800名学生每天的自主学习情况，该校领导随机抽查了九年级的部分学生，并调查他们每天自主学习的时间．根据调查结果，制作了两幅不完整的统计图（图1，图2），请根据统计图中的信息回答下列问题：（1）本次调查的学生人数是50人；（2）将条形统计图图1和扇形统计图图2补充完整；（3）请估算，该校九年级自主学习时间不少于1.5小时的学生有400人；（4）老师想从学习效果较好的3位同学（分别记为A、B、C，其中B为小华）随机选择两位进行学习经验交流，用列表法或树状图的方法求出选中小华B的概率．解：（1）本次调查的学生人数是5÷10%＝50（人），故答案为：50；（2）1.5小时对应人数为50×30%＝15（人），2小时人数所占百分比为10÷50×100%＝20%，补充后的图形如图：（3）该校九年级自主学习时间不少于1.5小时的学生有800×（20%＋30%）＝400（人），故答案为：400；（4）列表如下：ABCA（B，A）（C，A）B（A，B）（C，B）C（A，C）（B，C）∵由树状图可得，共有6种等可能的结果，选中小华B的有4种，∴P（选中小华B）＝＝．19．拓展小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为l，底座AB固定，高AB为50cm，连杆BC长度为70cm，手臂CD长度为60cm．点B，C是转动点，且AB，BC与CD始终在同一平面内．（1）转动连杆BC，手臂CD，使∠ABC＝143°，CD∥l，如图2，求手臂端点D离操作台l的高度DE的长（精确到1cm，参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）．（2）物品在操作台l上，距离底座A端110cm的点M处，转动连杆BC，手臂CD，手臂端点D能否碰到点M？请说明理由．解：（1）过点C作CP⊥AE于点P，过点B作BQ⊥CP于点Q，如图：∵∠ABC＝143°，∴∠CBQ＝53°，在Rt△BCQ中，CQ＝BC•sin53°≈70×0.8＝56cm，∵CD∥l，∴DE＝CP＝CQ＋PQ＝56＋50＝106cm．（2）手臂端点D能碰到点M，理由：由题意得，当B，C，D共线时，手臂端点D能碰到最远距离，如图：BD＝60＋70＝130cm，AB＝50cm，在Rt△ABD中，AB²＋AD²＝BD²，∴AD＝120cm＞110cm．∴手臂端点D能碰到点M．20．某地草莓已经到了收获季节，已知草莓的成本价为10元/千克，投入市场销售后，发现该草莓销售不会亏本，且每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系如图所示．（1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）若产量足够，当该品种的草莓定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx＋b，将（10，200）、（15，150）代入，得，解得，∴y与x的函数关系式为y＝－10x＋300，由－10x＋300≥0得x≤30，所以x的取值范围为10≤x≤30；（2）设每天销售获得的利润为w元，则w＝（x－10）y＝（x－10）（－10x＋300）＝－10（x－20）2＋1000，∵10≤x≤30，a＝－10＜0，∴当x＝20时，w取得最大值，最大值为1000．答：该品种的草莓定价为20元/千克时，每天销售获得的利润最大，最大利润为1000元．21．（1）【问题发现】如图①，正方形AEFG的两边分别在正方形ABCD的边AB和AD上，连接CF．填空：①线段CF与DG的数量关系为CF＝GD；②直线CF与DG所夹锐角的度数为45°．（2）【拓展探究】如图②，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转，在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，请利用图②进行说明．（3）【解决问题】如图③，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝10，O为AC的中点．若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D的运动过程中，线段OE长的最小值为（直接写出结果）．解：（1）连接AF，∵四边形AEFG、ABCD是正方形，∴∠GAF＝45°，∴点A、F、C三点共线，∴AC＝，AF＝AG，∴CF＝GD，故答案为：CF＝GD，45°；（2）仍然成立，连接AF，AC，∵∠CAD＝∠FAG＝45°，∴∠CAF＝∠DAG，，∴△CAF∽△DAG，∴CF＝DG，∠ACF＝∠ADG，∴∠COD＝∠CAD＝45°，∴（1）中的结论仍然成立；（