2022-2023学年浙江省衢州市衢江区八年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年浙江省衢州市衢江区八年级第一学期期中数学试卷一、单项选择题（本题有10小题，每题3分，共30分）1．线段a，b，c首尾顺次相接组成三角形，若a＝1，b＝3，则c的长度可以是（）A．2 B．3 C．4 D．52．若x＞y，则下列式子中，不正确的是（）A．﹣3x＞﹣3y B．x+3＞y+3 C．x﹣3＞y﹣3 D．3x＞3y3．若等腰三角形的两边长分别为4和6，则它的周长是（）A．14 B．15 C．16 D．14或164．不等式x＞1的解集在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．5．如图，△ABC中BC边上的高是（）A．AF B．DB C．CF D．BE6．如图，已知∠ABC＝∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（）A．∠A＝∠D B．AB＝DC C．∠ACB＝∠DBC D．AC＝BD7．对于命题“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的反例是（）A．∠1＝50°，∠2＝40° B．∠1＝50°，∠2＝50° C．∠1＝∠2＝45° D．∠1＝40°，∠2＝40°8．如图是用直尺和圆规作已知角∠AOB平分线OP的示意图，仔细观察，根据三角形全等的知识，说明画出OP的依据是（）A．边角边，全等三角形对应角相等 B．角边角，全等三角形对应角相等 C．边边边，全等三角形对应角相等 D．斜边直角边，全等三角形对应角相等9．在△ABC中，若∠A＝2∠B＝3∠C，则△ABC为（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形10．如图点O为数轴的原点，点A和B分别对应的实数是﹣1和1．过点B作BC⊥AB，以点B为圆心，OB长为半径画弧，交BC于点D；以点A为圆心，AD长为半径画弧，交数轴的正半轴于点E，则点E对应的实数是（）A．﹣1 B． C． D．﹣1二、填空题（本题有8小题，每题3分，共24分）11．在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝90°，则∠C＝度．12．根据数量关系列不等式：x的2倍与y的差大于3．13．命题“如果a＞0，那么a2＞0”的逆命题为．14．如图，李叔叔家的凳子坏了，于是他给凳子加了两根木条，这样凳子就比较牢固了，他所应用的数学原理是．15．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB为斜边且AB＝15，CD是AB边上的中线，则CD的长是．16．一副三角板，按如图所示叠放在一起（其中一块三角板的一条直角边与另一块三角板的斜边摆放在一直线上），那么图中∠α＝度．17．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E，连结BD，则线段AD的长是．18．如图，△ABC的面积为6，BP平分∠ABC，AP⊥BP于点P，连接PC，则△PBC的面积为．三、解答题（本题有6小题，共46分）19．如图，在2×2的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中△ABC是一个格点三角形．请在下面每一个图中，作出一个与△ABC成轴对称的格点三角形．（画三个，不能重复）20．已知a＜0，比较2a与3a的大小．21．如图，已知Rt△ABC与Rt△DEF中，∠A＝∠D＝90°，点B、F、C、E在同一直线上，且AB＝DE，BF＝CE，求证：∠B＝∠E．22．如图，在△ABC中，∠ACB＝45°，过点A作AD⊥BC于点D，点E为AD上一点，且ED＝BD．（1）求证：△ABD≌△CED；（2）若CE为∠ACD的角平分线，求∠BAC的度数．23．如图，已知在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点D，E分别在边BC，AC上，连结AD，DE．将△ABD沿AD翻折，将△DCE沿DE翻折，翻折后，点B，C分别落在点B'，C'处，且边DB'与DC'在同一直线上，连结AC'．（1）求证：△ADE是直角三角形；（2）当BD为何值时，△ADC′是以AD为腰的等腰三角形．24．阅读材料，解答问题：（1）中国古代数学著作《周髀算经》有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五”，这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边长为3和4时，那么斜边的长为5．”上述记载说明：在Rt△ABC中，如果∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，那么a，b，c三者之间的数量关系是：．（2）如图①，它是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形ABDE，中间部分是一个小正方形CFGH，请结合图①，证明（1）中的数量关系．（3）如图②，以Rt△ABC的三条边分别作三个等边三角形，若S1＝15，S2＝7，S3＝14，求出S4的值．

参考答案一、单项选择题（本题有10小题，每题3分，共30分）1．线段a，b，c首尾顺次相接组成三角形，若a＝1，b＝3，则c的长度可以是（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边直接列式计算即可．解：∵线段a＝1，b＝3，∴3﹣1＜c＜3+1，即2＜c＜4．观察选项，只有选项B符合题意，故选：B．【点评】本题考查的是三角形的三边关系定理，掌握三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．2．若x＞y，则下列式子中，不正确的是（）A．﹣3x＞﹣3y B．x+3＞y+3 C．x﹣3＞y﹣3 D．3x＞3y【分析】根据不等式的性质逐一进行判断即可．解：∵x＞y，∴﹣3x＜﹣3y，故选项A不正确；∵x＞y，∴x+3＞y+3，故选项B正确；∵x＞y，∴x﹣3＞y﹣3，故选项C正确；∵x＞y，∴3x＞3y，故选项D正确；故选：A．【点评】本题考查不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等式的方向不变；不等式的两边同时乘以或同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向变．3．若等腰三角形的两边长分别为4和6，则它的周长是（）A．14 B．15 C．16 D．14或16【分析】根据等腰三角形的性质，分两种情况：①当腰长为6时，②当腰长为4时，解答出即可．解：根据题意，①当腰长为6时，符合三角形三边关系，周长＝6+6+4＝16；②当腰长为4时，符合三角形三边关系，周长＝4+4+6＝14．故选：D．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，注意本题要分两种情况解答．4．不等式x＞1的解集在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．【分析】根据在数轴上表示的不等式的解集的方法得出答案即可．解：不等式x＞1的解集在数轴上表示为：故选：A．【点评】本题考查在数轴上表示不等式的解集，掌握不等式的解集在数轴上的表示方法是正确判断的前提．5．如图，△ABC中BC边上的高是（）A．AF B．DB C．CF D．BE【分析】根据三角形高的定义即可解答．解：△ABC中的边BC上的高是AF，故选：A．【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高：过三角形的一个顶点引对边的垂线，这个点与垂足的连线段叫三角形的高．6．如图，已知∠ABC＝∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（）A．∠A＝∠D B．AB＝DC C．∠ACB＝∠DBC D．AC＝BD【分析】根据题目所给条件∠ABC＝∠DCB，再加上公共边BC＝BC，然后再结合判定定理分别进行分析即可．解：A、添加∠A＝∠D可利用AAS判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；B、添加AB＝DC可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；C、添加∠ACB＝∠DBC可利用ASA定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；D、添加AC＝BD不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．7．对于命题“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的反例是（）A．∠1＝50°，∠2＝40° B．∠1＝50°，∠2＝50° C．∠1＝∠2＝45° D．∠1＝40°，∠2＝40°【分析】能说明是假命题的反例就是能满足已知条件，但不满足结论的例子．解：A、满足条件∠1+∠2＝90°，也满足结论∠1≠∠2，故A选项错误；B、不满足条件，故B选项错误；C、满足条件，不满足结论，故C选项正确；D、不满足条件，也不满足结论，故D选项错误．故选：C．【点评】理解能说明它是假命题的反例的含义是解决本题的关键．8．如图是用直尺和圆规作已知角∠AOB平分线OP的示意图，仔细观察，根据三角形全等的知识，说明画出OP的依据是（）A．边角边，全等三角形对应角相等 B．角边角，全等三角形对应角相等 C．边边边，全等三角形对应角相等 D．斜边直角边，全等三角形对应角相等【分析】利用基本作图得到OC＝OD，CP＝DP，加上OP为公共边，则根据全等三角形的判定方法可判断△OCP≌△ODP，然后根据全等三角形的性质得到OP为∠AOB的平分线．解：由作法得OC＝OD，CP＝DP，而OP为公共边，所以根据“SSS”可判断△OCP≌△ODP，所以∠COP＝∠DOP，即OP为∠AOB的平分线．故选：C．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决此类问题的关键．也考查了全等三角形的判定与性质．9．在△ABC中，若∠A＝2∠B＝3∠C，则△ABC为（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形【分析】根据比例设∠A、∠B、∠C分别为6k、3k、2k，然后根据三角形内角和定理列式进行计算求出k值；根据求得的k的值，再求出最大的角∠A即可得解．解：设∠A、∠B、∠C分别为6k、3k、2k，则6k+3k+2k＝180°，解得k＝°，所以最大的角∠A＝°＞90°，所以这个三角形是钝角三角形．故选：C．【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理及其应用问题，灵活运用三角形的内角和定理来解题是关键．10．如图点O为数轴的原点，点A和B分别对应的实数是﹣1和1．过点B作BC⊥AB，以点B为圆心，OB长为半径画弧，交BC于点D；以点A为圆心，AD长为半径画弧，交数轴的正半轴于点E，则点E对应的实数是（）A．﹣1 B． C． D．﹣1【分析】根据勾股定理求出AD，进而得到OE的长，根据实数与数轴的对应关系解答即可．解：由题意得，BD＝OB＝1，在Rt△ABD中，AD＝，∴OE＝AE﹣1＝﹣1，∴点E对应的实数是﹣1，故选：A．【点评】本题考查的是勾股定理、实数与数轴，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．二、填空题（本题有8小题，每题3分，共24分）11．在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝90°，则∠C＝60度．【分析】根据三角形内角和等于180°即可得到答案．解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝60°，故答案为：60．【点评】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是熟记三角形的内角和等于180°．12．根据数量关系列不等式：x的2倍与y的差大于32x﹣y＞3．【分析】x的2倍即2x，与y的差大于3即2x﹣y＞3，据此列不等式即可．解：根据题意，得2x﹣y＞3．故答案是：2x﹣y＞3．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列不等式．13．命题“如果a＞0，那么a2＞0”的逆命题为“如果a2＞0，那么a＞0”．【分析】根据命题的概念确定命题的题设和结论，写出逆命题．解：命题“如果a＞0，那么a2＞0”的逆命题为“如果a2＞0，那么a＞0”，故答案为：“如果a2＞0，那么a＞0”．【点评】本题考查的是命题和定理，掌握命题的概念以及互逆命题的概念是解题的关键．14．如图，李叔叔家的凳子坏了，于是他给凳子加了两根木条，这样凳子就比较牢固了，他所应用的数学原理是三角形的稳定性．【分析】根据三角形的稳定性进行解答．解：给凳子加了两根木条之后形成了三角形，所以“这样凳子就比较牢固了”的数学原理是：三角形的稳定性，故答案为：三角形的稳定性．【点评】此题主要考查了三角形的稳定性，是需要记忆的知识．15．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB为斜边且AB＝15，CD是AB边上的中线，则CD的长是．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到答案．解：∵Rt△ABC中，AB为斜边，CD是AB边上的中线，∴CD＝AB＝×15＝．故答案为：．【点评】本题考查直角三角形的性质，解题的关键是熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．16．一副三角板，按如图所示叠放在一起（其中一块三角板的一条直角边与另一块三角板的斜边摆放在一直线上），那么图中∠α＝75度．【分析】由题意可得∠A＝30°，∠B＝45°，∠ACB＝90°，由三角形的外角性质可求得∠BDA＝120°，再次利用三角形的外角性质即可求∠α的度数．解：如图，由题意得：∠A＝30°，∠B＝45°，∠ACB＝90°，∴∠BDA＝∠A+∠ACB＝120°，∴∠α＝∠BDA﹣∠B＝75°．故答案为：75．【点评】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是明确三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．17．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E，连结BD，则线段AD的长是．【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DB＝DC，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．解：∵DE是BC的垂直平分线，∴DB＝DC，∵AC＝4，∴AD+DC＝AD+BD＝4，∴BD＝4﹣AD，在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD2＝AB2+AD2，即（4﹣AD）2＝32+AD2，解得：AD＝，故答案为：．【点评】本题考查的是勾股定理、线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．18．如图，△ABC的面积为6，BP平分∠ABC，AP⊥BP于点P，连接PC，则△PBC的面积为3．【分析】根据已知条件证得△ABP≌△EBP，根据全等三角形的性质得到AP＝PE，得出S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，推出S△PBC＝S△ABC，代入求出即可．解：延长AP交BC于E，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠EBP，∵AP⊥BP，∴∠APB＝∠EPB＝90°，在△ABP和△EBP中，，∴△ABP≌△EBP（ASA），∴AP＝PE，∴S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，∴S△PBC＝S△ABC＝×6＝3．故答案为：3．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，注意：等底等高的三角形的面积相等．三、解答题（本题有6小题，共46分）19．如图，在2×2的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中△ABC是一个格点三角形．请在下面每一个图中，作出一个与△ABC成轴对称的格点三角形．（画三个，不能重复）【分析】根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出成轴对称的三角形即可得解．解：与△ABC成轴对称的格点三角形如图所示（答案不唯一）：【点评】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键，本题难点在于确定出不同的对称轴．20．已知a＜0，比较2a与3a的大小．【分析】根据3a﹣2a＝a＜0即可得到答案．【解答】解∵3a﹣2a＝a＜0，∴3a＜2a．【点评】本题考查不等式的性质，解题的关键是通过等式3a﹣2a＝a得出3a＜2a．21．如图，已知Rt△ABC与Rt△DEF中，∠A＝∠D＝90°，点B、F、C、E在同一直线上，且AB＝DE，BF＝CE，求证：∠B＝∠E．【分析】由“HL”可证Rt△ABC≌Rt△DEF，可得结论．【解答】证明：∵BF＝CE，∴BC＝EF，在Rt△ABC和Rt△DEF中，，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），∴∠B＝∠E．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．22．如图，在△ABC中，∠ACB＝45°，过点A作AD⊥BC于点D，点E为AD上一点，且ED＝BD．（1）求证：△ABD≌△CED；（2）若CE为∠ACD的角平分线，求∠BAC的度数．【分析】（1）证出△ADC是等腰直角三角形，得出AD＝CD，∠CAD＝∠ACD＝45°，由SAS证明△ABD≌△CED即可；（2）由角平分线定义得出∠ECD＝∠ACD＝22.5°，由全等三角形的性质得出∠BAD＝∠ECD＝22.5°，即可得出答案．【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，∠ACB＝45°，∴∠ADB＝∠CDE＝90°，△ADC是等腰直角三角形，∴AD＝CD，∠CAD＝∠ACD＝45°，在△ABD与△CED中，，∴△ABD≌△CED（SAS）；（2）解：∵CE为∠ACD的角平分线，∴∠ECD＝∠ACD＝22.5°，由（1）得：△ABD≌△CED，∴∠BAD＝∠ECD＝22.5°，∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝22.5°+45°＝67.5°．【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及角平分线定义，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．23．如图，已知在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点D，E分别在边BC，AC上，连结AD，DE．将△ABD沿AD翻折，将△DCE沿DE翻折，翻折后，点B，C分别落在点B'，C'处，且边DB'与DC'在同一直线上，连结AC'．（1）求证：△ADE是直角三角形；（2）当BD为何值时，△ADC′是以AD为腰的等腰三角形．【分析】（1）根据折叠的性质可得∠ABD＝∠AB'D，∠CDE＝∠C'DE，再根据平角的性质可得∠ABD+∠AB'D+∠CDE+∠C'DE＝180°，从而推算出∠AB'D+∠C'DE＝90°，最终得到∠ADE＝90°；（2）根据AD＝DC'和AD＝AC'两种情况展开讨论，当AD＝DC'，设BD＝x可得DC＝4﹣x，根据折叠的性质得AD＝DC＝4﹣x，再根据勾股定理建立方程，解方程即可得到答案；当AD＝AC'，可得B'是DC'的中点，设BD＝x，DC＝4﹣x，可得，根据折叠的性质得BD＝DB'，建立方程解方程即可得到答案．【解答】（1）证明：根据题意得∠ABD＝∠AB'D，∠CDE＝∠C'DE，∵∠ABD+∠AB'D+∠CDE+∠C'DE＝180°，∴2∠AB'D+2∠C'DE＝180°，∴∠AB'D+∠C'DE＝90°，∴∠ADE＝90°，∴△ADE是直角三角形；（2）解：当AD＝DC'时，设BD＝x，得DC＝4﹣x，∵DC'＝DC，∴AD＝DC＝4﹣x，在Rt△ABC中AB2+BD2＝AD2，∴9+x2＝（4﹣x）2，∴；当AD＝AC'时，∵AB'⊥DC'，∴B