04平面向量(学生版)

/平面向量一、知识梳理 １．向量的概念与线性运算特别提醒：1）模:向量的长度叫向量的模,记作|a｜或|｜。２）零向量:长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向不确定。3)单位向量：长度为1个长度单位的向量叫做单位向量．4)共线向量：方向相同或相反的向量叫共线向量，规定零向量与任何向量共线。５）相等的向量:长度相等且方向相同的向量叫相等的向量．6）向量的加、减及其与实数的积的结果仍是向量.7）向量共线定理：b∥a（a≠0)b=λa注:只有当a≠0时，ｂ∥a才是b=λa的充要条件;而当a=0时,b∥ａ是b＝λa的必要不充分条件。8)向量与有向线段的区别:①向量是自由向量，只有大小和方向两个要素;与起点无关：只要大小和方向相同,就是相同的向量；②有向线段有起点、大小和方向三个要素,起点不同，尽管大小和方向相同,也是不同的有向线段２。平面向量基本定理：如果,是同一平面内的两个____向量，那么对于这一平面内的向量,＿一对实数λ1,λ２使=λ1＋λ２特别提醒:（1）我们把不共线向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底（基底不惟一，关键是不共线)；（2）由定理可将任一向量在给出基底、的条件下进行分解;(３）基底给定时，分解形式惟一λ１，λ2是被，,唯一确定的数量3．平面向量的坐标表示如图,在直角坐标系内,我们分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底任作一个向量,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数、，使得…………ｅｑ＼o\ac(○，1）,我们把叫做向量的（直角)坐标，记作…………eq\o\ａc(○，2)ｅｑ\o\ａｃ（○,2）式叫做向量的坐标表示与相等的向量的坐标也为特别地,,，4.平面向量数量积（内积)的定义:（1）已知两个非零向量与，它们的夹角是θ，则数量叫与的数量积,记作;（2）已知两个非零向量，，则特别提醒:（１）（０≤θ≤π).并规定与任何向量的数量积为０(2）向量数量积的性质：设、（a)==｜｜coｓ；（b)与同向=|｜|｜；与反向＝｜|｜|；=|｜2或（ｃ）ｃoｓ＝;（d)｜｜≤｜｜｜｜；重要不等式：５．向量垂直的判定：设,,则ﻩ向量平行的判定：设，,其中,则∥（）6。两向量夹角的余弦(）cos=特别提醒：⑴两个向量的数量积是一个实数，向量加、减、数乘运算的运算结果是向量。⑵·=０=或=．⑶·=·(≠０）=。（但、在方向上投影相等)⑷(·）·与·（·)都是无意义的，且（·）≠（·)二、热点考点题型探析考点一：向量相关的基本概念及加减运算［例1]判断下列各命题是否正确（1)零向量没有方向（2)若(３）单位向量都相等（4）向量就是有向线段（5）两相等向量若共起点，则终点也相同（6）若,，则;(7)若,，则（8)若四边形ABCD是平行四边形,则(9)的充要条件是且；[例2]（1）在所在的平面上有一点,满足，则与的面积之比是AABCDE(2）如图,在ΔABC中,D、Ｅ为边AB的两个三等分点,eq\ｏ（CA,\s\ｕp6（→)）=3a，eq＼ｏ（CＢ，\ｓ\ｕp6（→))＝2b，求ｅq\o（ＣＤ，\s\up6(→））,ｅq\o(CE，＼ｓ\up6（→)）。[例3］已知Ａ、Ｂ、C、P为平面内四点，求证:A、Ｂ、C三点在一条直线上的充要条件是存在一对实数m、n,使ｅｑ＼o(ＰC，\ｓ\up6（→））=meq\o（ＰA，\ｓ\up6（→））＋ｎｅq\o（PB，\s\up6（→）)，且ｍ+ｎ=1．引申：已知Ａ、B、Ｃ是直线上不同的三点，O是外一点，,记.求函数的解析式；考点二：平面向量基本定理BCAOMD[例4]在△ＯAB中,，ＡＤ与BＣ交于点M，设＝,=,（1）用,表示.（２)在线段ＡC、ＢD上分别取点E、F，使EF过Ｍ点，BCAOMD设,.求证：。［例５］如图，已知矩形OＲTＭ内有５个全等的小正方形，其中顶点A、B、Ｃ、D在矩形ORTM的四条边上．（１）若，求的值；（2)若矩形ORTM的边长OＲ=７，OM=8，试求小正方形的边长；考点三：向量平行的充要条件［例6]已知点O（0，0），A（1，2)，B（4，5）及,求(１)t为何值时,P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限.（２）四边形OＡBP能否构成为平行四边形？若能,求出相应的ｔ值；若不能，请说明理由。[例7]如图，设P、Q为△ABC内的两点,且,=＋，则△ＡＢP的面积与△ABQ的面积之比为考点四:平面向量数量积的运算[例8]；引申：（２01１湖南）在边长为１的正三角形AＢC中,设则．［例9］已知,且关于的方程有实根,则与夹角的范围是提醒：（1）设非零向量=，=,且,的夹角为钝角，则的取值范围是（2）已知,，如果与的夹角为锐角，则的取值范围是[例10］（广东恩城中学2009届高三上学期期中考试)在△ＡBC中,已知.(1）求AB边的长度;（2）证明:；（3）若,求.考点五:平面向量与三角函数、函数等知识的综合应用［例１1］O为平面直角坐标原点，已知向量,又点（１)若且，求向量;(２)若向量与向量共线，当时,且取最大值为４时，求变式：（２00９江苏)在ΔA