电磁场及电磁波课后学习试题及六章学习试题解答

第六章时变电磁场

有一导体滑片在两根平行的轨道上滑动，整个装置位于正弦时变磁场Bez5costmT之中，如题图所示。滑片的地点由x0.35(1cost)m确立，轨道终端接有电阻R0.2，试求电流i.

a

0.2m

d

yib

R

cx

0.7m

6.1图

解穿过导体回路abcda的磁通为

BgSegezadab5cost0.2(0.7x)dzBcost[0.70.35(1cost)]0.35cost(1cost)故感觉电流为Ein1diRdtR10.35sint(12cost)1.75sint(12cost)mAR一根半径为a的长圆柱形介质棒放入均匀磁场BezB0中与z轴平行。设棒以角速度绕轴作等速旋转，求介质内的极化强度、体积内和表面上单位长度的极化电荷。解介质棒内距轴线距离为r处的感觉电场为EvBerezB0errB0故介质棒内的极化强度为PXe0Eer(r1)0rB0er(0)rB0极化电荷体密度为PP1r(rP)1r(0)r2B0rr2(0)B0极化电荷面密度为PPnr0)rB0erra(0)a0e(B则介质体积内和表面上同单位长度的极化电荷分别为QPa21P2a2(0)B0QPS2a1P2a2(0)B0平行双线传输线与一矩形回路共面，如题图所示。设aia0.2m、bcd0.1m、i1.0cos(2107t)Ai，求回路中的感觉电动势。bcd

6.3图

解由题给定的电流方向可知，双线中的电流产生的磁感觉强度的方向，在回路中都是垂直于纸面向内的。故回路中的感觉电动势为

EindBdSdB左dSB右dSdtdt式中B左0i,B右20idr)2r(bc故B左dSbc0i0aibcbadrln()s2r2bbccd0i0aiB右dSadrln()ds2(bcdr)2b则Ein2d0ailn(bc)dt2b0aln(bc)d[1.0cos(2107t)]a2b2bdt41070.2107t)2107Vln2sin(23.484sin(2107t)V有一个环形线圈，导线的长度为l，分别经过以直流电源供给电压U0和时变电源供给电压U（t）。议论这两种状况下导线内的电场强度E。解设导线资料的电导率为，横截面积为S，则导线的电阻为RlS

而环形线圈的电感为L，故电压方程为URiLdididt0当U=U0时，电流i也为直流，dt。故U0RilJSlJlES此时导线内的切向电场为U0

l

di(t)0当U=U（t）时，dt，故U(t)Ri(t)Ldi(t)RE(t)SLd(E(t)S)dtdtlE(t)SLSdE(t)Sdt即

dE(t)lE(t)U(t)dtLSLS求解此微分方程便可获得E(t)。一圆柱形电容器，内导体半径为a，外导体内半径为b，长为l。设外加电压为U0sint，试计算电容器极板间的总位移电流，证明它等于电容器的传导电流。解当外加电压的频次不是很高时，圆柱形电容器两极板间的电场散布与外加直流电压时的电场散布可视为相同（准静态电场），即EerU0sintrln(ba)故电容器两极板间的位移电流密度为JdDU0costerrln(ba)t则idJddSU0costererrddz2ls00rln(ba)2lU0costCU0costln(ba)2lCa)是长为l的圆柱形电容器的电容。式中，ln(b流过电容器的传导电流为icCdUCU0cost可见dtidic由麦克斯韦方程组出发，导出点电荷的电场强度公式和泊松方程。

解点电荷q产生的电场知足麦克斯韦方程

E0和D由D得Ddd据散度定理，上式即为?DdSqs利用球对称性，得Der4qr2故得点电荷的电场表示式Eer4qr2因为E0，可取E，则得2DE即得泊松方程

2

试将麦克斯方程的微分形式写成八个标量方程：（1）在直角坐标中；（2）在圆柱坐标中；（3）在球坐标中。

解（1）在直角坐标中

HzHyJxDxyztHxHzJyDyzxtHyHxJzDzxytEzEyHxyztExEzHyzxtEyExHzxytBxByBz0xyzDxDyDzxyz（2）在圆柱坐标中

1HzHJrDrrztHrHzJDzrt1(rH)1HrDzrrJzrt1EzEHrrztErEzzr1(rE)rr1(rBr)rr1(rDr)rr

H

t

1Er

r

B

r

D

r

Hz

t

Bz0

z

Dz

z

（3）在球坐标系中

1[(sinH)HJrDr]trsin1[1Hr(rH)]JDrtrsin1[(rH)Hr]JDtrr1[(sinE)E]Hrrsint1[1Err(rE)]Hrsint1[(rE)Er]Htrr1(r2Br)1(sinB)1Br0r2rsinrsin1(r2Dr)1(sinD)1Drr2rsinrsin已知在空气中Eey0.1sin10xcos(6109tz)，求H和。提示：将E代入直角坐标中的波方程，可求得。解电场E应知足颠簸方程2E002E0将已知的EeyEy代入方程，得t22Ey2Ey2Ey0x2z200t2式中2Ey0.1(10)2sin10xcos(6109tz)x22Ey0.1sin10x[2cos(6109tz)]z22Ey0.1sin10x[(6109)2cos(6109tz)]00t200故得(10)2200(6109)20则30054.41rad/m由HE0t得

H11EyEy]tE[exez00zx1[ex0.1sin10xsin(6109tz)0ez0.110cos10xcos(6109tz)]将上式对时间t积分，得

Η1109[ex0.1sin10xcos(6109tz]06ezcos10xsin(6109tz)e2.3104sin10xcos(6109t54.41z)xez1.33104cos10xsin(6109t54.41z)A/m已知自由空间中球面波的电场为E0Εesincos(tkr)

H和k。

能够和前题相同将E代入颠簸方程来确立k，也能够直接由麦克斯韦方程求与E相

伴的磁场H。而此磁场又要产生与之相伴的电场，相同据麦克斯韦方程求得。将两个电场比较，即可确立k的值。两种方法实质上是相同的。

由

EH0t得H1E1e(rE)t00rr1[E0sincos(tkr)]e0rrektkr)E0sinsin(0r将上式对时间t积分，得Heksincos(tkr)E00r（1）将式（1）代入

HE0得tE1Ht01[er21(rsinH)e1(rsinH)]0rsinrsinr12kE0cos(tkr)k2E0sinsin(tkr)er0r2e0r0

将上式对时间t积分，得

1er2kE0sin(tkr)ek2E0sincos(tkr)E20r220r0（2）将已知的EeE0sincos(tkr)与式（2）比较，可得r1含r2项的Er重量应略去，且k200，即k00将k00代入式（1），得He00E0sincos(tkr)0re0E0sincos(tkr)A0r试推导在线性、无消耗、各向同性的非均匀媒质顶用E和B表示麦克斯韦方程。解注意到非均匀媒质的参数,是空间坐标的函数，所以H(B)(1)B1B1B1B2而J

D

t

J

(

E)

t

J

E

t

所以，麦克斯韦第一方程

DHJt变成

BE1JBt又D(E)EE故麦克斯韦第四方程D变成1EE

则在非均匀媒质中，用E和B表示的麦克斯韦方程组为

BJE1BtEBtBE1E写出在空气和的理想磁介质之间分界面上的界限条件。解空气和理想导体分界面的界限条件为nnE0H1nHJsl依据电磁对偶原理，采纳以下对偶形式abEHHEJsJmsh即可获得空气和理想磁介质分界面上的界限条件dcnH0nEJmsH2式中，Jms为表面磁流密度。题6.12图提出推导nH1Js的详尽步骤。解如题图所示，设第2区为理想导体（2）。在分界面上取闭合路径abcda,abcdl,bcdah0。对该闭合路径应用麦克斯韦第一方程可得bcda?HdlaHdlbHdlcHdldCHlH2llim(JdSh0SSD

Hdl

DdS)t（1）

因为t为有限值，故上式中limDdS0h0tS而(1)式中的另一项

limJdSh0S

为闭合路径所包围的传导电流。取N为闭合路径所围面积的单位矢量（其指向与闭合路径的绕行方向成右手螺旋关系），则有

limJdSJsNlh0S因l(Nn)l故式（1）可表示为(H1H2)(Nn)lJsNl（2）

应用矢量运算公式A(BC)(CA)B，式（2）变成[nH1H2]NJsN故得n(H1H2)Js（3）因为理想导体的电导率2，故必有E20,H20，故式（3）变成nH1Js在由理想导电壁（）限制的地区0xa内存在一个由以下各式表示的电磁场：EyH0(a)sin(x)sin(kzt)aHxaxt)H0k()sin()sin(kzaHzH0cos(x)cos(kzt)a这个电磁场知足的界限条件怎样导电壁上的电流密度的x值怎样解如题图所示，应用理想导体的界限条件能够得出在x=0处，Ey0,Hx0aHzH0cos(kzt)在x=a处，Ey0,Hx0oHzH0cos(kzt)上述结果表示，在理想导体的表面，不存在电场的切向题6.13图重量Ey和磁场的法向重量Hx。此外，在x=0的表面上，电流密度为JsnH|x0ex(exHxezHz)|x0exezHzx0eyH0cos(kzt)在x=a的表面上，电流密度则为JsnH|xaex(exHxezHz)|xaexezHzxaeyH0cos(kzt)海水的电导率4S/m，在频次f=1GHz时的相对介电常数r81。假如把海水视为一等效的电介质，写出H的微分方程。关于良导体，比如铜，r1,5.7107S/m，比较在f=1GHz时的位移电流和传导电流的幅度。能够看出，即便在微波频次下，良导体中的位移电流也是能够忽视的。写出H的微分方程。解关于海水，H的微分方程为HJjDEjEj(j)E

c

j

即把海水视为等效介电常数为的电介质。代入给定的参数，得

Ej2109(81109j49)E36210j(4.5j4)E(4j4.5)E关于铜，传导电流的幅度为E，位移电流的幅度E。故位移电流与传导电流的幅度之比为2fr2f11090369.751013f5.7107可见，即便在微波频次下，铜中的位移电流也是能够忽视不计的。故关于铜，H的微分方程为HE5.7107E计算题中的能流密度矢量和均匀能流密度矢量。解刹时能流密度矢量为SEH

exH02

ezH02

eyEy(exHxezHz)exEyHzezEyHxasin(x)cos(x)sin(kzt)cos(kzt)aak(a)2sin2(x)sin2(kzt)a

ex1H02asin(x)cos(x)sin2(kzt)2aaez1H02k(a)2sin2(x)[1cos2(kzt)]2a为求均匀能流密度矢量，先将电磁场各个重量写成复数形式axjkz2EyH0()sin()ejaaxjkzj2HxH0k()sin()eaHzH0cos(x)ejkz故均匀能流密度矢量为aSav1Re[EH*]1Re[exEyHz*ezEyHx*]221Re[exH02asin(x)cos(xj)e2]2aaezH02k(a)2sin2(x)ez1H02k(a)2sin2(x)a2a写出存在电荷和电流密度J的无消耗媒质中E和H的颠簸方程。解存在外加源和J时，麦克斯韦方程组为HJEt（1）EHt（2）

H0

E

对式（1）两边取旋度，得

HJ(E)t而

H(H)2H

故

2(HHJ(E)

将式（2）和式（3）代入式（5），得

2H2HJt2这就是H的颠簸方程，是二阶非齐次方程。

相同，对式（2）两边取旋度，得

Et(H即(E2E(Ht将式（1）和式（4）代入式（6），得2E2EJ1此即E知足的颠簸方程。t2t关于正弦时变场，可采纳复数形式的麦克斯韦方程表示HJjEEjHH0E对式（7）两边取旋度，得HJjE利用矢量恒等式H(H2H得(H2HJjE将式（8）和式（9）代入式（11），得2H+2HJ此即H知足的微分方程，称为非齐次亥姆霍兹方程。

相同，对式（8）两边取旋度，得

EjH

即

(E2HjH

3）

4）

5）

6）

7）

8）

9）

10）

11）

12）

将式（7）和式（10）代入式（12），得2E+2EjJ1此即E知足的微分方程，亦称非齐次亥姆霍兹方程。

在应用电磁位时，假如不采纳洛伦兹条件，而采纳所谓的库仑规范，令试导出A和所知足的微分方程。

解将电磁矢量位A的关系式

BA和电磁标量位的关系式EAt代入麦克斯韦第一方程HDJ得tH1(A)JEtJAtt利用矢量恒等式A(A)2A得(A2A=J(A)tt又由

D

得E(A)即t2(A)t按库仑规范，令A0，将其代入式（1）和式（2）得2A2AJ()t2t2式（3）和式（4）就是采纳库仑规范时，电磁场A和所知足的微分方程。设电场强度和磁场强度分别为EE0cos(te)HH0cos(tm)

，

1）

2）

3）

4）

证明其坡印廷矢量的均匀值为

Sav

1E0

2

H0

cos(

e

m)

解坡印廷矢量的刹时价为SEHE0coste)H0cos(tm)1E0H0[cos(tetm)]cos[tetm]21E0H0[cos(2tem)cos(em)]2故均匀坡印廷矢量为

1TSdtSavT01T1E0H0