天津市初二数学竞赛决赛试卷

1998年天津市初二数学比赛决赛试卷一、解答题（共10小题，满分100分）1．（10分）分解因式：．2．（10分）已知，求的值．3．（10分）已知如图，在四边形ABCD中，AC均分∠BAD，CE⊥AB于E，且AE＝（AB+AD），求证：∠B与∠D互补．4．（10分）有甲、乙、丙三种规格的钢条，已知甲种2根，乙种1根，丙种3根，共长23米；甲种1根，乙种4根，丙种5根共长36米，问甲1根，乙2根，丙3根共长多少？5．（10分）已知222，此中x、y、z互不相等，求证：xyz＝1．6．（10分）如图，四边形ABCD中，BC＞CD＞DA，O为AB中点，且∠AOD＝∠COB＝60°，求证：CD+AD＞BC．7．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，O为△ABC内一点，且∠OBC＝10°，∠OCA＝20°，求∠BAO的度数．8．（10分）已知三角形的一个角为180°﹣n°，最大角与最小角的差为24°，求n的取值范围．第1页（共10页）9．（10分）对任给的93个互异的正整数1，a2，，a93，试证此中必定存在四个正整数aam，an，ap，aq，使（am﹣an）（ap﹣aq）为1998的倍数．10．（10分）将4×4方格纸的每一格中放一个数，使得每一行，每一列，每一对角线的四个数之和都等于1998，求这张4×4方格纸上的四角所放的四个数之和是多少？第2页（共10页）1998年天津市初二数学比赛决赛试卷参照答案与试题分析一、解答题（共10小题，满分100分）1．（10分）分解因式：．【剖析】先把代数式化简，获得平方差的形式，用平方差公式因式分解后，再用分组分解法因式分解．【解答】解：原式＝（22xy）+2xy+3﹣2（x+y）﹣1﹣（x+y）+2（x+y）﹣1，＝（xy）2+2xy+1﹣（x+y）2，＝（xy+1）2﹣（x+y）2，＝（xy+1+x+y）（xy+1﹣x﹣y），＝（x+1）（y+1）（x﹣1）（y﹣1）．【评论】本题考察的是因式分解，先把代数式化简，获得平方差的形式，用平方差公式因式分解，而后再用分组分解法因式分解．2．（10分）已知，求的值．【剖析】由已知可得，b＝1﹣＝，代入a+＝1，可得a、c的关系时，变形即可求得的值．【解答】解：∵，∴b＝1﹣＝，代入a+＝1得，a+，即，ac﹣a+c＝c﹣1，ac﹣a＝﹣1，即a（c﹣1）＝﹣1，a＝﹣，a≠0，∴，即＝1．【评论】本题比较灵巧的考察了分式的混淆运算，充分利用已知条件，并适合变形．第3页（共10页）3．（10分）已知如图，在四边形ABCD中，AC均分∠BAD，CE⊥AB于E，且AE＝（AB+AD），求证：∠B与∠D互补．【剖析】可在AB上截取AF＝AD，可得△ACF≌△ACD，得出∠AFC＝∠D，再由线段之间的关系AE＝（AB+AD）得出BC＝CF，从而经过角之间的转变即可得出结论．【解答】证明：在AB上截取AF＝AD，连结CF，AC均分∠BAD，∴∠BAC＝∠CAD，又AC＝AC，∴△ACF≌△ACD（SAS），AF＝AD，∠AFC＝∠D，∵AE＝（AB+AD），EF＝BE，又∵CE⊥AB，BC＝FC，∴∠CFB＝∠B，∴∠B+D＝∠CFB+∠AFC＝180°，即∠B与∠D互补．【评论】本题主要考察了全等三角形的判断及性质以及等腰三角形的判断及性责问题，第4页（共10页）能够娴熟运用三角形的性质求解一些简单的计算、证明问题．4．（10分）有甲、乙、丙三种规格的钢条，已知甲种2根，乙种1根，丙种3根，共长23米；甲种1根，乙种4根，丙种5根共长36米，问甲1根，乙2根，丙3根共长多少？【剖析】设甲、乙、丙三种规格的钢条的长度分别为x、y、z米，依据题意能够列出方程组，而后分别把两个方程一个乘以2，另一个乘以3，而后相加获得7x+14y+21z＝7（x+2y+3z），由此即可求出甲1根，乙2根，丙3根共长多少米．【解答】解：设甲、乙、丙三种规格的钢条的长度分别为x、y、z米，依题意得，①×2+②×3得7x+14y+21z＝7（x+2y+3z）＝23×2+36×3，x+2y+3z＝22（米）．【评论】本题有三个未知数，但依据题意只好列出两个方程，因此没法求出每一个未知数的值，依据所求的结果联合列出的方程把方程进行变形即可求出结果．本题比较难，关于学生的要求比较高．5．（10分）已知，此中x、y、z互不相等，求证：222xyz＝1．【剖析】依据题意的等式得出xy，xz，yz的表达式，而后三者相乘即可得出结论．【解答】解：由可得：x﹣y＝﹣，zy＝，同理，zx＝，xy＝，222××＝1．∴xyz＝故结论得证．【评论】本题考察分式的不等式证明，难度不算很大，注意有连等式时一般可得出好多条件，要注意依据需要平等式进行变形．6．（10分）如图，四边形ABCD中，BC＞CD＞DA，O为AB中点，且∠AOD＝∠COB＝60°，求证：CD+AD＞BC．【剖析】在OC上截取OE＝OD，能够证明△ODE是等边三角形，而后利用边角边定理第5页（共10页）证明△AOD与△BOE全等，依据全等三角形对应边相等可得AD＝BE，再依据同一个三角形中大角对大边可得CD＞CE，而后利用三角形的随意两边之和大于第三边即可证明．【解答】证明：如图，在OC上截取OE＝OD，连结DE，BE，∵∠EOD＝180°﹣∠AOD﹣∠COB＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴△DOE是等边三角形，又∵O为AB中点，OA＝OB，在△AOD与△BOE中，，∴△AOD≌△BOE（SAS），AD＝BE，在△DEC中，∠CED＝180°﹣60°＝120°，∴∠CED＞∠CDE，CD＞CE，AD+CD＞BE+CE＞BC，即CD+AD＞BC．【评论】本题考察了三角形的三边关系，全等三角形的判断与性质，等边三角形的判断与性质，同一个三角形中大角对大边的性质，作协助线结构出等边三角形以及全等三角形是解题的重点．7．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，O为△ABC内一点，且∠OBC＝10°，∠OCA＝20°，求∠BAO的度数．【剖析】作∠BAC的角均分线与CO的延伸线交于点D，连结BD，依据已知利用SAS第6页（共10页）可判断△ABD≌△ACD，从而推出∠ABD＝∠ACD＝20°，再依据三角形外角的性质可推出∠OBD＝∠ABD，∠DOB＝∠DAB，再利用AAS判断△ABD≌△OBD，从而获得AB＝OB，从而依据三角形内角和定理即可求得∠BAO的度数．【解答】解：作∠BAC的角均分线与CO的延伸线交于点D，连结BD，∵∠BAD＝∠DAC，AB＝AC，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD，BD＝CD，∠ABD＝∠ACD，∴∠DBC＝∠DCB，∵∠BAC＝80°（已知），∴∠ABC＝∠ACB＝50°（三角形内角和定理）；又∠OCA＝20°，∴∠ABD＝∠ACD＝20°，∠OBD＝∠ABC﹣∠ABD﹣∠OBC＝50°﹣20°﹣10°＝20°＝∠ABD，∠DOB＝∠OBC+∠OCB＝40°＝∠BAD，∵∠OBD＝∠ABD，∠DOB＝∠DAB，BD＝BD，∴△ABD≌△OBD，AB＝OB，∴∠BAO＝∠AOB，∴∠BAO＝（180°﹣∠ABO）＝[180°﹣（∠ABC﹣∠OBC）]＝（180°﹣40°）＝70°．【评论】本题主要考察等腰三角形的性质，全等三角形的判断与性质及三角形内角和定理的综合运用．8．（10分）已知三角形的一个角为180°﹣n°，最大角与最小角的差为24°，求n的取值范围．【剖析】设此外两个角为x°，x°+24°．第7页（共10页）（1）若180°﹣n°不最大的角也不最小的角，则最小角为x°，最大角为x°+24，则n°＝x°+x°+24，获得x°≤180﹣°2x°﹣24°≤x°+24°，解得44°≤x°≤52°，即可获得n°的范围；（2）180°﹣n°是最大角时，最小角为180°﹣n°﹣24°，另一角为2n°﹣156°，则156°﹣n°≤2n°﹣156°≤180°﹣n°，即可获得n°的范围；（3）180°﹣n°是最小角时，最大角为180°﹣n°+24°，另一角为2°﹣204°，则180°﹣n≤2n°﹣204°≤204°﹣n°，即可获得n°的范围；最后综合获得n的取值范围．【解答】解：设此外两个角为x°，x°+24°（1）若180°﹣n°不最大的角也不最小的角，则最小角为x°，最大角为x°+24，∴180﹣n°+x°+x°+24°＝180°，∴n°＝x°+x°+24，∴x°≤180°﹣2x°﹣24°≤x°+24°，解得44°≤x°≤52°解得112°≤n°≤128°；2）180°﹣n°是最大角时，最小角为180°﹣n°﹣24°，另一角为2n°﹣156°，∴156°﹣n°≤2n°﹣156°≤180°﹣n°∴104°≤n°≤112；（3）180°﹣n°是最小角时，最大角为180°﹣n°+24°，另一角为2°﹣204°，180°﹣n≤2n°﹣204°≤204°﹣n°，解得128°≤n°≤136°．综上所述，n的取值范围104≤n≤136．【评论】本题考察了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°．同时考察了不等组的解的方法以及分类思想的运用．9．（10分）对任给的93个互异的正整数a1，a2，，a93，试证此中必定存在四个正整数am，an，ap，aq，使（am﹣an）（ap﹣aq）为1998的倍数．【剖析】先把1998分解成两个整数乘积的形式，再依据在93个互异的正整数a1，a2，，a93中必定存在这样的四个正整数进行解答即可．【解答】解：∵1998＝37×54＝74×27，第8页（共10页）（1）由抽屉原理可知：在93个互异的正整数a1，a2，，a93中，必有两个数除以37后余数同样，设这两个数为am和an，则am﹣an是37的倍数；在剩下的91个数中，必有两个数除以54后余数同样，设这两个数为ap和aq，则ap﹣aq是54的倍数，故必定存在四个正整数am，an，ap，aq，使（am﹣an）（ap﹣aq）为1998的倍数．（2）由抽屉原理可知：在93个互异的正整数a1，a2，，a93中，必有两个数除以74后余数同样，设这两个数为am和an，则am﹣an是74的倍数；在剩下的91个数中，必有两个数除以27后余数同样，设这两个数为ap和aq，则ap﹣aq是27的倍数，故必定存在四个正整数am，an，ap，aq，使（am﹣an）（ap﹣aq）为1998的倍数．综上，必定存在四个正整数am，an，ap，aq，使（am﹣an）（ap﹣aq）为1998的倍数．【评论】本题考察的是数的整除性问题，解答本题的重点是熟知抽屉原理．10．（10分）将4×4方格纸的每一格中放一个数，使得每一行，每一列，每一对角线的四个数之和都等于1998，求这张4×4方格纸上的四角所放的四个数之和是多少？【剖析】画出4×4方格纸，设出四角所放的四个数分别为a、b、c、d，其余12个数分别为1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12这些数字代表，由每一行，每一列，每一对角线的四个数之和都等于1998，列出等式即可解答．【解答】解：如图，由每一行，每一列，每一对角线的四个数之和都等于1998得：a+1+2+b＝1998，②a+3+7+c＝1998，③a+4+9+d＝1998，④c+11+12+d＝1998，⑤