2020-2021高中数学人教版第一册学案：5.3 第1课时诱导公式（一）含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2020-2021学年高中数学新教材人教A版必修第一册学案：5.3第1课时诱导公式（一）含解析5。3诱导公式【素养目标】1．了解三角函数的诱导公式的意义和作用，理解诱导公式的推导过程．（数学抽象）2．灵活运用诱导公式进行三角函数式的化简、求值和证明．（数学运算）3．通过积极参与,逐步培养学生抽象概括能力、逻辑推理能力及分析问题、解决问题的能力．（逻辑推理）【学法解读】本节在学习中借助单位圆推导出角π±α，－α，eq\f(π，2)±α的终边与角α的终边的关系,由三角函数的定义推导出诱导公式，学生应观察、分析公式的特点，便于记忆应用．第1课时诱导公式(一)必备知识·探新知基础知识知识点1诱导公式二eq\x(\a\al(sinπ＋α＝－sinα，cosπ＋α＝－cosα，tanπ＋α＝tanα)）思考1：角π＋α的终边与角α的终边有什么关系？角π＋α的终边与单位圆的交点P1(cos(π＋α），sin(π＋α)）与点P（cosα，sinα)有怎样的关系？提示：角π＋α的终边与角α的终边关于原点对称(如图)；P1与P也关于原点对称．知识点2诱导公式三eq\x（\a\al(sin－α＝－sinα，,cos－α＝cosα，,tan－α＝－tanα））思考2：角－α的终边与角α的终边有什么关系？角－α的终边与单位圆的交点P2（cos（－α),sin（－α)）与点P(cosα,sinα)有怎样的关系？提示：角－α的终边与角α的终边关于x轴对称（如图），P2与P也关于x轴对称．知识点3诱导公式四eq\x(\a\al(sinπ－α＝sinα,cosπ－α＝－cosα，tanπ－α＝－tanα）)思考3:角π－α的终边与角α的终边有什么关系?角π－α的终边与单位圆的交点P3(cos（π－α)，sin（π－α)）与点P(cosα，sinα）有怎样的关系？提示：角π－α的终边与角α的终边关于y轴对称(如图)，P3与P也关于y轴对称．基础自测1．下列说法中,正确的个数是(B）①存在角α,使sin（π＋α)＝sinα，cos(π－α)＝cosα.②当α是第三象限角时，tan（－α）＝tanα.③tan(α－π)＝tanα.④若α，β满足α＋β＝π，则sinα＝sinβ且tanα＝tanβ.A．1 B．2C．3 D．4［解析]由诱导公式易知①③正确，②④错误,故选B．2．已知x∈R，则下列等式恒成立的是（B)A．sin（－x）＝sinx B．sin(π－x)＝sinxC．sin(π＋x）＝sinx D．sin(2π－x)＝sinx［解析]因为sin(－x）＝－sinx，故A不成立；因为sin(π－x）＝sinx,故B成立；因为sin（π＋x）＝－sinx，故C不成立;因为sin(2π－x）＝－sinx，故D不成立．3．cos150°＝（B）A．eq\f（\r（3),2) B．－eq\f（\r（3)，2)C．eq\f(1,2) D．－eq\f（1，2）[解析]cos150°＝cos(180°－30°)＝－cos30°＝－eq\f（\r（3)，2).4．计算sin（－eq\f（π，3)）的值为(C)A．－eq\f(1，2) B．eq\f(1,2)C．－eq\f（\r(3），2) D．eq\f（\r(3），2）[解析］sin（－eq\f(π，3）)＝－sineq\f(π,3）＝－eq\f（\r（3)，2)，故选C．5．tan690°的值为（A)A．－eq\f（\r（3)，3） B．eq\f（\r（3）,3）C．－eq\r(3) D．eq\r(3)［解析］tan690°＝tan(720°－30°)＝tan(－30°)＝－eq\f（\r(3)，3），故选A．关键能力·攻重难题型探究题型一给角求值问题例1求下列各三角函数值：（1）sineq\f(16,3）π;(2）cos(－765°）；（3）tan(－750°）．［分析］用诱导公式将负角化为正角，进而再转化为锐角三角函数求值．［解析］(1）sineq\f(16π，3）＝sin(4π＋eq\f（4π,3））＝sineq\f(4π,3)＝sin（π＋eq\f(π,3））＝－sineq\f(π，3）＝－eq\f（\r(3），2）.（2)cos(－765°)＝cos765°＝cos(2×360°＋45°)＝cos45°＝eq\f(\r（2）,2）.(3）tan(－750°)＝－tan750°＝－tan（2×360°＋30°）＝－tan30°＝－eq\f(\r（3），3）.［归纳提升］利用诱导公式求任意角三角函数的步骤:（1)“负化正”——用公式一或三来转化．(2)“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角．(3)“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角．(4）“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值．【对点练习】❶求下列三角函数值:(1）sin960°；(2)cos（－eq\f（43π,6))．[解析］（1）sin960°＝sin(960°－720°)＝sin240°＝sin(180°＋60°）＝－sin60°＝－eq\f(\r(3）,2）.（2)cos(－eq\f(43π，6))＝coseq\f（43π，6）＝cos(eq\f(7π，6)＋6π）＝coseq\f(7π，6）＝cos（eq\f(π,6）＋π)＝－coseq\f(π，6）＝－eq\f（\r（3),2）。题型二给值求值问题例2（1)已知cos(eq\f(π,6）－α）＝eq\f(\r（3)，3）,求cos（eq\f（5π,6）＋α）－sin2(α－eq\f(π,6））的值；（2)已知cos(α－75°）＝－eq\f（1,3），且α为第四象限角，求sin（105°＋α)的值．[分析]1.eq\f(π，6）－α与eq\f(5π，6)＋α、α－eq\f（π，6)存在什么关系？用eq\f(π,6)－α表示其他角．2．α－75°与105°＋α之间存在什么关系？用α－75°表示105°＋α.［解析](1)∵cos(eq\f(5π，6）＋α）＝cos[π－（eq\f（π，6）－α）］＝－cos（eq\f（π,6）－α）＝－eq\f(\r（3）,3)，sin2（α－eq\f(π，6）)＝sin2［－（eq\f（π,6）－α）］＝1－cos2(eq\f(π，6)－α）＝1－(eq\f（\r(3）,3））2＝eq\f（2,3)，∴cos（eq\f(5π,6）＋α)－sin2（α－eq\f(π,6))＝－eq\f（\r(3），3)－eq\f(2，3)＝－eq\f(2＋\r(3)，3)。（2)∵cos（α－75°）＝－eq\f(1，3）<0,且α为第四象限角，∴α－75°是第三象限，∴sin（α－75°）＝－eq\r(1－cos2α－75°）＝－eq\r(1－－\f(1，3）2)＝－eq\f（2\r(2），3）,∴sin（105°＋α)＝sin［180°＋(α－75°）］＝－sin（α－75°)＝eq\f(2\r(2),3)。[归纳提升］解决给值求值问题的策略(1)解决给值求值问题，首先要仔细观察条件式与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．(2）可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．【对点练习】❷已知sin(eq\f(π,3）－α）＝eq\f（1，2），求cos2（α－eq\f（π，3))·sin(eq\f（2π,3）＋α)的值．[解析]cos2（α－eq\f（π,3）)·sin（eq\f（2π，3)＋α)＝cos2［－(eq\f(π，3)－α）］·sin［π－(eq\f(π,3)－α)]＝［1－sin2(eq\f（π,3）－α)］·sin(eq\f(π，3）－α）＝eq\f(3，4)×eq\f(1，2）＝eq\f（3，8）。题型三三角函数式的化简问题例3化简：（1）sin（－α）cos(－α－π)tan（2π＋α)；（2）eq\f（sin2α＋πcosπ＋α,tanπ－αcos3－α－πtan－α－2π）.［分析]先观察角的特点,选用恰当的诱导公式化简，然后依据同角关系式求解．［解析]（1）原式＝(－sinα）·cos（π＋α）·tanα＝－sinα·(－cosα)·eq\f（sinα,cosα）＝sin2α。(2）原式＝eq\f（－sinα2·－cosα，－tanα·－cosα3·－tanα）＝eq\f（－sin2αcosα，－tan2α·cos3α）＝1。[归纳提升]利用诱导公式一～四化简应注意的问题:（1）利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的．（2）化简时函数名不发生改变,但一定要注意函数的符号有没有改变．(3）同时有切(正切)与弦(正弦、余弦）的式子化简，一般采用切化弦,有时也将弦化切．【对点练习】❸化简：(1）eq\f(cosπ＋αcos3π－αtanπ＋α，sinπ＋αcos－α－π)；（2)eq\f（sin540°＋α·cos－α，tanα－180°).［解析]（1)原式＝eq\f(－cosαcosπ－αtanα，－sinαcosπ＋α)＝eq\f（－cosα－cosαtanα，－sinα－cosα)＝eq\f（cosα,sinα）·eq\f（