2020-2021高中数学第一册学案：第2章 2.2 2.2.4 第2课时均值不等式的应用含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2020-2021学年高中数学新教材人教B版必修第一册学案：第2章2.22.2.4第2课时均值不等式的应用含解析第2课时均值不等式的应用学习目标核心素养1。熟练掌握利用均值不等式求函数的最值问题．(重点)2．会用均值不等式求解实际应用题．（难点)1。通过均值不等式求最值，提升数学运算素养．2．借助均值不等式在实际问题中的应用，培养数学建模素养．（1）某养殖场要用100米的篱笆围成一个矩形的鸡舍,怎样设计才能使鸡舍面积最大?（2）某农场主想用篱笆围成一个10000平方米的矩形农场，怎样设计才能使所用篱笆最省呢？问题实例中两个问题的实质是什么？如何求解？已知x，y都是正数．（1）若x＋y＝S(和为定值），则当x＝y时，积xy取得最大值eq\f(S2，4).（2)若xy＝p（积为定值),则当x＝y时,和x＋y取得最小值2eq\r（p）.上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大．［拓展］在应用均值不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件：一正、二定、三相等,这三个条件缺一不可．一正：各项必须为正数．例如，求代数式x＋eq\f(1，x)的最值时，不能直接用x＋eq\f（1，x）≥2eq\r(x·\f(1，x）)＝2。取特殊值x＝－1,x＋eq\f(1，x)＝－2，可见x＋eq\f（1,x)的最小值不为2，产生错误的原因是这里的x不一定为正数．只有各项为正数时才能利用均值不等式．二定：积或和为定值．积为定值和有最小值；和为定值积有最大值．为了利用均值不等式,有时对给定的代数式要进行适当变形．例如：①当x＞2时,x＋eq\f（1，x－2)＝(x－2）＋eq\f(1,x－2)＋2≥2＋2＝4(当且仅当x＝3时，等号成立).②当0＜x＜eq\f（8,3)时,x(8－3x）＝eq\f（1，3)(3x)(8－3x）≤eq\f(1，3)eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（3x＋8－3x,2)))eq\s\up12(2）＝eq\f(16，3)(当且仅当x＝eq\f(4，3)时，等号成立）。三相等：等号能否取到．例如,eq\r（x2＋2）＋eq\f(1，\r（x2＋2））中，虽然eq\r（x2＋2）与eq\f(1,\r（x2＋2））的积为定值1，但是当eq\r(x2＋2）＝eq\f(1,\r(x2＋2）)时，有x2＝－1不成立．所以eq\r（x2＋2）＋eq\f(1,\r(x2＋2））≥2中等号不成立,即此时不能用均值不等式求最值．另外，在连续使用公式求最值时，取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次等号成立的字母取值存在且一致．1．思考辨析（正确的打“√"，错误的打“×”)（1）两个正数的积为定值,一定存在两数相等时,它们的和有最小值． (）(2)若a>0,b>0且a＋b＝4，则ab≤4。 （)（3）当x>1时，函数y＝x＋eq\f（1,x－1）≥2eq\r(\f（x,x－1））,所以函数y的最小值是2eq\r(\f(x，x－1)). （）[答案]（1)√(2）√（3）×［提示］(1）由a＋b≥2eq\r(ab）可知正确．(2）由ab≤eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（a＋b，2））)eq\s\up12（2)＝4可知正确．(3)eq\r（\f（x,x－1））不是常数，故错误．2．已知a，b∈R，则“ab＞0”是“eq\f（a,b）＋eq\f(b，a）＞2"的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件B[ab＞0时,eq\f（a，b）＞0，eq\f（b,a)＞0，∴eq\f（a,b)＋eq\f（b，a）≥2，当且仅当a＝b时取等号，故充分性不成立．反之，∵eq\f（a，b）＋eq\f(b,a）＞2,∴eq\f(a2＋b2，ab)－2＞0，∴eq\f(（a－b）2，ab）＞0，∴ab＞0，∴“ab＞0”是“eq\f（a，b）＋eq\f(b，a)＞2"的必要不充分条件．］3．（教材P76练习A①改编）若x>0，则x＋eq\f（2,x)的最小值是________．2eq\r(2）[x＋eq\f（2,x）≥2eq\r（x·\f(2，x))＝2eq\r（2），当且仅当x＝eq\r(2)时，等号成立．]4．设x,y∈N＊满足x＋y＝20，则xy的最大值为________．100[∵x，y∈N＊，∴20＝x＋y≥2eq\r（xy），∴xy≤100.］利用均值不等式求最值【例1】（1）已知x<eq\f（5，4），求y＝4x－2＋eq\f（1,4x－5）的最大值；（2)已知0〈x<eq\f(1，2)，求y＝eq\f(1,2）x（1－2x)的最大值．［思路点拨］（1）看到求y＝4x－2＋eq\f(1,4x－5)的最值，想到如何才能出现乘积定值；(2）要求y＝eq\f(1，2)x(1－2x)的最值，需要出现和为定值．[解]（1)∵x<eq\f(5,4），∴5－4x〉0，∴y＝4x－2＋eq\f(1，4x－5）＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－4x＋\f（1,5－4x)）)＋3≤－2＋3＝1，当且仅当5－4x＝eq\f（1,5－4x），即x＝1,x＝eq\f（3,2)(舍去)时，上式等号成立，故当x＝1时，ymax＝1.(2)∵0<x〈eq\f(1，2)，∴1－2x>0,∴y＝eq\f（1,4）×2x（1－2x)≤eq\f（1,4）×eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x＋1－2x,2)))eq\s\up12（2）＝eq\f(1，4)×eq\f(1,4)＝eq\f（1,16)。∴当且仅当2x＝1－2xeq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(0〈x<\f（1，2）)）,即x＝eq\f(1,4）时，ymax＝eq\f（1，16)。，利用均值不等式求最值的关键是获得满足均值不等式成立条件，即“一正、二定、三相等”．解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形"等方法创设应用均值不等式的条件．具体可归纳为三句话:若不正，用其相反数,改变不等号方向；若不定，应凑出定和或定积；若不等,一般用后面第三章函数的单调性解决．eq\a\vs4\al([跟进训练］)1．(1）已知x>0，求函数y＝eq\f（x2＋5x＋4，x）的最小值；（2）已知0<x<eq\f(1,3)，求函数y＝x(1－3x)的最大值．[解](1)∵y＝eq\f(x2＋5x＋4，x)＝x＋eq\f（4，x)＋5≥2eq\r(4)＋5＝9，当且仅当x＝eq\f(4,x)，即x＝2时等号成立．故y＝eq\f（x2＋5x＋4,x）(x〉0)的最小值为9.(2）法一：∵0<x<eq\f（1,3)，∴1－3x>0。∴y＝x（1－3x）＝eq\f(1,3)·3x(1－3x)≤eq\f(1,3）eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1(\f(3x＋（1－3x）,2)））eq\s\up12(2）＝eq\f（1，12）,当且仅当3x＝1－3x,即x＝eq\f(1，6）时，等号成立．∴当x＝eq\f（1，6)时,函数取得最大值eq\f（1,12）。法二：∵0<x〈eq\f(1，3）,∴eq\f(1,3)－x>0.∴y＝x（1－3x)＝3·xeq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1，3）－x)）≤3·eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（x＋\f(1,3)－x,2)）)eq\s\up12(2）＝eq\f（1，12),当且仅当x＝eq\f(1,3）－x,即x＝eq\f（1,6)时，等号成立．∴当x＝eq\f（1，6)时,函数取得最大值eq\f(1，12）.利用均值不等式求条件最值【例2】已知x＞0,y＞0，且满足eq\f（8,x）＋eq\f（1，y)＝1。求x＋2y的最小值．［解］∵x＞0，y＞0,eq\f(8，x)＋eq\f(1,y)＝1，∴x＋2y＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（8，x)＋\f（1,y)))(x＋2y）＝10＋eq\f（x，y）＋eq\f(16y,x)≥10＋2eq\r（\f（x，y)·\f(16y,x））＝18，当且仅当eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(\f（8,x）＋\f(1，y)＝1，，\f(x，y）＝\f(16y，x)，)）即eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（x＝12,，y＝3））时，等号成立,故当x＝12，y＝3时，（x＋2y）min＝18.若把“eq\f(8,x）＋eq\f（1，y）＝1”改为“x＋2y＝1”，其他条件不变，求eq\f（8,x)＋eq\f(1,y）的最小值．［解］∵x，y∈R＋，且x＋2y＝1，∴eq\f(8,x)＋eq\f（1，y)＝（x＋2y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(8,x)＋\f(1,y)））＝8＋eq\f(16y,x)＋eq\f（x，y）＋2＝10＋eq\f（16y,x)＋eq\f（x，y）≥10＋2eq\r(16)＝18.当且仅当eq\f（16y，x）＝eq\f(x，y）时取等号，结合x＋2y＝1,得x＝eq\f(2，3），y＝eq\f（1，6)，∴当x＝eq\f(2,3)，y＝eq\f（1，6)时,eq\f（8,x)＋eq\f(1,y）取到最小值18.常数代换法求最值的方法步骤常数代换法适用于求解条件最值问题．应用此种方法求解最值的基本步骤为:（1）根据已知条件或其变形确定定值(常数）。(2）把确定的定值（常数）变形为1。(3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式．(4)利用均值不等式求最值．eq\a\vs4\al（［跟进训练］）2．已知a＞0,b＞0，a＋2b＝1，求eq\f（1，a）＋eq\f(1,b）的最小值．[解]法一：eq\f(1,a)＋eq\f（1,b)＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1，a)＋\f(1,b））)·1＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1，a）＋\f(1,b)))·（a＋2b）＝1＋eq\f（2b，a)＋eq\f（a,b)＋2＝3＋eq\f(2b,a）＋eq\f(a,b）≥3＋2eq\r(\f（2b，a）·\f（a，b））＝3＋2eq\r(2），当且仅当eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（\f（2b,a)＝\f(a，b），,a＋2b＝1,)）即eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(a＝\r（2)－1，,b＝1－\f(\r(2)，2)）)时等号成立．∴eq\f(1，a）＋eq\f（1,b）的最小值为3＋2eq\r（2）.法二：eq\f（1,a）＋eq\f(1，b)＝eq\f(a＋2b，a)＋eq\f（a＋2b,b)＝1＋eq\f(2b,a)＋eq\f（a,b）＋2＝3＋eq\f(2b，a)＋eq\f(a,b）≥3＋2eq\r(2），当且仅当eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（\f（2b，a)＝\f(a,b)，，a＋2b＝1，））即eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（a＝\r(2）－1，,b＝1－\f（\r(2）,2))）时等号成立，∴eq\f（1,a）＋eq\f（1,b）的最小值为3＋2eq\r（2）.利用均值不等式解决实际问题【例3】（教材P74例3改编）如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．现有36m长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，［解］设每间虎笼长xm,宽ym，则由条件知，4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18。设每间虎笼面积为S，则S＝xy.法一：由于2x＋3y≥2eq\r(2x·3y）＝2eq\r（6xy)，所以2eq\r(6xy)≤18，得xy≤eq\f（27，2),即Smax＝eq\f（27,2)，当且仅当2x＝3y时，等号成立．由eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（2x＋3y＝18，,2x＝3y，)）解得eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(x＝4.5,，y＝3.）)故每间虎笼长为4.5m,宽为3m时，可使每间虎笼面积最大．法二：由2x＋3y＝18，得x＝9－eq\f（3，2)y。∵x>0，∴0〈y<6，S＝xy＝yeq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（9－\f(3，2)y））＝eq\f(3，2）y(6－y)。∵0〈y<6,∴6－y〉0。∴S≤eq\f(3，2）eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1(\f(（6－y）＋y，2)））eq\s\up12(2)＝eq\f（27，2）。当且仅当6－y＝y,即y＝3时，等号成立，此时x＝4。5。故每间虎笼长为4。5m,宽为3m时，可使每间虎笼面积最大．用均值不等式解决实际问题的步骤（1)理解题意，设好变量;（2）建立相应的关系式,把实际问题转化、抽象为最大值或最小值问题；（3）在自变量范围内,求出最大值或最小值；(4)结合实际意义求出正确的答案，回答实际问题．eq\a\vs4\al（［跟进训练］)3．某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2000平方米的楼房．经测算,如果将楼房建为x（x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x（单位：元)。为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注:平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用,平均购地费用＝eq\f（购地总费用,建筑总面积)）［解］设将楼房建为x层，则每平方米的平均购地费用为eq\f(2160×104，2000x）＝eq\f(10800,x)。∴每平方米的平均综合费用y＝560＋48x＋eq\f（10800,x)＝560＋48eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(x＋\f(225,x）)）.当x＋eq\f（225,x）取最小值时，y有最小值．∵x>0,∴x＋eq\f(225，x）≥2eq\r（x·\f(225，x））＝30.当且仅当x＝eq\f(225,x)，即x＝15时，上式等号成立．∴当x＝15时，y有最小值2000元．因此该楼房建为15层时，每平方米的平均综合费用最少．知识：1．利用均值不等式求最值(1）利用均值不等式求最值要把握下列三个条件:①“一正”—-各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到．这三个条件缺一不可．（2）利用均值不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用均值不等式的条件．（3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用均值不等式求最值,但由于其中的等号取不到，所以运用均值不等式得到的结果往往是错误的．2．不等式的应用题大都与函数相关联，在求最值时，均值不等式是经常使用的工具,但若对自变量有限制，一定要注意等号能否取到．方法:利用均值不等式求最值时，得出定值常用的方法有：配凑法、分离因式法、“1”的代换法等．1．若实数a，b满足eq\f（1,a）＋eq\f(2,b)＝eq\r（ab)，则ab的最小值为(）A．eq\r（2） B．2C．2eq\r(2） D．4C[由题意知a＞0，b＞0，则eq\f(1，a)＋eq\f（2,b)≥2eq\r（\f(2，ab）)＝eq\f（2\r(2),\r(ab)),当且仅当eq\f（1,a)＝eq\f（2,b），即b＝2a时，因为eq\f(1,a）＋eq\f（2,b）＝eq\r（ab），所以eq\r(ab)≥eq\f(2\r（2），\r(ab)),即ab≥2eq\r(2)，所以ab的最小值为2eq\r(2)，故选C。］2．若正实数a,b满足a＋b＝2，则ab的最大值为（)A．1B．2eq\r（2)C．2D．4A[由均值不等式得，ab≤eq\b\lc\(\rc\）(\a