2015年2月名校试卷解析分类汇编第二期：H单元　解析几何

H单元解析几何

目录

H单元解析几何.................................................................1

H1直线的倾斜角与斜率、直线的方程.............................................1

H2两直线的位置关系与点到直线的距离...........................................4

H3圆的方程....................................................................4

H4直线与圆、圆与圆的位置关系.................................................6

H5椭圆及其几何性质............................................................9

H6双曲线及其几何性质.........................................................30

H7抛物线及其几何性质.........................................................33

H8直线与圆锥曲线（AB课时作业）............................................48

H9曲线与方程.................................................................76

H10单元综合...................................................................77

H1直线的倾斜角与斜率、直线的方程

【数学（文）卷・2015届安徽省黄山市高三上学期第一次质量检测（201501）word版［10.已

知点A在直线x+2y-l=0上，点B在直线x+2y+3=0上，线段AB的中点为

P（x。，y。），且满足%>x。+2,则为的取值范围为（）

%

A.1--B.(-叫一1]C.(-g•-g]D(一；,0)

【知识点】直线方程H1

【答案】【解析】A

解析:设A(Xi>yi),山^=1<,则yo=kxo,AB中点为P(xo,yo),B(2xo—xi»2yo—yi),

>

,:A,B分另ij在直线x+2yT=0和x+2y+3=0上，..x1+2yi-l=0,2x°-xi+2(2y0-yi)+3=0,

，2x()+4yo+2=O即Xo+2yo+l=O,**"yo=kxo,••・Xo+2kxo+l=O即xo~-----------，

1+2k

XVyo>Xo+2,代入得kxo>x°+2即(k-1)x°>2即(k-1)(——--)>2即又里<0

1+222k+\

----Vk<—>故选A.

25

【思路点拨】设出A点坐标及比=k,由P为AB中点根据中点坐标公式表示出B的坐标，

然后把A和B分别代入到相应的直线方程中联立可得P的横坐标，因为y°>x°+2,把解出的

P横坐标代入即可得到关于k的不等式，求出解集即可.

第H卷(非选择题满分100分)

【【名校精品解析系列】数学卷•2015届江苏省淮安市高三第二次(淮安、宿迁、连云港、

徐州四市第一次)调研测试(201501)word版】17.(本小题满分14分)

在平面直角坐标系xoy中，己知点A(-3,4),B(9,0),C,D分别为线段OA,OB上的动点，

且满足AC=BD.

(1)若AC=4,求直线CD的方程；

(2)证明：△OCD的外接圈恒过定点(异于原点0).

【知识点】圆的一般方程；直线的一般式方程.H1H3

【答案】【解析】⑴x+7y-5=°⑵见解析

解析：⑴因为A(-3,4),所以。A="(-3)2+42=5,......................................................1分

34

又因为AC=4,所以0C=1,所以C(——,一),..........................3分

由3。=4,得。(5,0),...............................................................................................4分

0--

所以直线C。的斜率一'5分

57

所以直线C。的方程为y=-g(x-5),即x+7y-5=0.

・・6分

(2)设C(-3m,4^)(0<加W1),则OC=5m.7分

则AC=04—。。=5—5m，

因为=所以0D=0B-BD=5m+4,

所以。点的坐标为（5加+4,0）8分

又设NOCD的外接圆的方程为V+丁+Dx+Ey+F=0,

斤=0,

贝I］有-9m2+16m2-3mD+4inE+F=0,...............................................................10分

（5/M+4）2+（5m+4）D+F=0.

解之得。=—（5加+4）,尸=0,E=-10加一3,

所以\OCD的外接圆的方程为一+/一（5加+对》一（10m+3）y=0,.............12分

2

整理得X+/-4A--3），-5m（x+2y）=0，

x2+y2-4x-3y=0,x=0,x=2,

令＜一-'所以'（舍）或,

x+2y=Qy=0.b=-l

所以△OCD的外接圆恒过定点为（2,-1）............................................................14分

【思路点拨】（1）根据条件确定C,D的坐标，根据直线的两点式方程即可求直线CD的方

程；（2）根据AC=BD,根据待定系数法表示出C,D的坐标，利用圆的一般式方程，即可

得到结论.

【【名校精品解析系列】数学卷•2015届江苏省淮安市高三第二次（淮安、宿迁、连云港、

徐州四市第一次）调研测试（201501）word版】12.己知a,b为正数，且直线tu+by—6=0

与直线2x+3—3）y+5=0互相平行，则2a+3b的最小值为.

【知识点】直线的一般式方程与直线的平行关系.H1

【答案】【解析】25解析：•.・直线+—6=0与直线2x+（。一3）y+5=0互相平行，二

叩-3）-2b=0且5。+120,

23

.'.3a+2b=ab,即一+—=1,又a,b均为正数，

ab

3.八6a6b〜16ac6b

则2a+3A=（2a+3b）+-=4+9+——+—?132.—?一25.

bba\ba

当且仅当。=〃=5时上式等号成立.故答案为：25.

【思路点拨】由两直线平行的条件得到［+*=1,由a+3b=（2a+3b）4t+-展开后利

h

用基本不等式求得最值.

H2两直线的位置关系与点到直线的距离

【【名校精品解析系列】数学卷•2015届江苏省淮安市高三第二次(淮安、宿迁、连云港、

徐州四市第一次)调研测试(201501)word版】9.若实数x,y满足x+y-420,则

2=x2+y2+6x-2y+10的最小值为.

【知识点】点到直线的距离公式.H2

【答案】【解析】18解析：因为Z=X2+/+6X-2y+10=(x+3j+(y-表示的几何意

义是区域的点(x,y)到(-3,1)的距离的平方，所以最小值为(-3,1)到直线x+y-4=0的

距离的平方,=18,故答案为18.

【思路点拨】先找出1=/+/+6%-2y+10=(x+3j+(y-表示的几何意义是区域

的点(X,))到(-3,1)的距离的平方，进而求出其最小值即可。

H3圆的方程

【【名校精品解析系列】数学卷•2015届江苏省淮安市高三第二次(淮安、宿迁、连云港、

徐州四市第一次)调研测试(201501)word版】17.(本小题满分14分)

在平面直角坐标系xOy中，己知点A(—3,4),8(9,0),C,D分别为线段OA,0B上的动点，

且满足AC=BD.

(1)若AC=4,求直线CD的方程；

(2)证明：△OCD的外接圈恒过定点(异于原点。).

【知识点】圆的一般方程；直线的一般式方程.H1H3

【答案】【解析】⑴x+7y-5=0⑵见解析

解析：⑴因为4(—3,4),所以04=J(—3)2+42=5,........................1分

34

又因为AC=4,所以OC=1,所以C(一于不)，..........................3分

由80=4,得。(5,0),.......4分

1

所以直线C。的斜率/jx=7.................................5分

5-N

所以直线CO的方程为y=-；(》—5),即x+7y-5=0...................6分

(2)设C(-3m,4/7?)(0<加W1),则0C—5m•..............................7分

则AC=O4—。C=5-5机，

因为4C=8。，所以。。=。8—8D=5m+4,

所以。点的坐标为(5机+4,0).....................................8分

又设AOC。的外接圆的方程为X2+y2+Dx-^Ey+F=0,

尸=0,

则有<9〃/+16m3-3mD+4mE+F=o,................................10分

(5m+4)'+(5”?+4)。+尸=0.

解之得D=~(5m+4),F=0,E=-10机一3,

所以AOCO的外接圆的方程为x2+y-(5m+4)x—(1Om+3)^—0»......12分

整理得x2+y2-4x-3y-5m(x+2y)二0，

[x2+y2-4x-3y=0,[x=0,[x=2,

令)尸，所以=0,舍)或k—1.

[x+2y=0[y

所以△OCO的外接圆恒过定点为（2,-1）.14分

【思路点拨】（1）根据条件确定C,D的坐标，根据直线的两点式方程即可求直线CD的方

程；（2）根据AC=BD,根据待定系数法表示出C,D的坐标，利用圆的一般式方程，即可

得到结论.

H4直线与圆、圆与圆的位置关系

【数学理卷•2015届广东省深圳市高三年级第一次调研考试（201501）】12.已知圆C：

F+y2+8x+ay—5=0经过抛物线E：/=4y的焦点，则抛物线E的准线与圆C相交所

得弦长为

【知识点】直线与圆、圆与圆的位置关系H4

【答案】476

【解析】抛物线E：x2=4y的焦点为（0,1），准线为y=-1.（0,1）代入圆C：x2+y2+8x+ay-5=0,

可得1+a-5=0,.*.a=4.*.HC：x2+y2+8x+4y-5=0,即（x+4）2+（y+2）2=25,

圆心到直线的距离为d=1，，抛物线E的准线与圆C相交所得的弦长为2V25-1=476.

【思路点拨】求出抛物线E：x2=4y的焦点为（0,1）,准线为y=-1,确定圆的方程，即可

求出抛物线E的准线与圆C相交所得的弦长.

【【名校精品解析系列】数学（理）卷-2015届山东省泰安市高三上学期期末考试（201501）

word版】14.已知直线JJx-y+2=0及直线JIx-y-10=0截圆C所得的弦长均为8,

则圆C的面积是▲.

【知识点】直线与圆的位置关系H4

【答案】【解析】25万解析：因为已知的两条直线平行且截圆C所得的弦长均为8,所以圆

心到直线的距离d为两直线距离的一半，即"=—匚7==J=3,又因为直线截圆C所得的

2V3+1

弦长为8,所以圆的半径厂=532+42=5,所以圆C的面积是25万.故答案为25万

【思路点拨】根据题意确定圆心在两平行直线的中间，即圆心到直线的距离d为两直线距

离的一半，由两平行直线的距离求得圆心得到直线的距离，进而由勾股定理可得圆的半径.

【【名校精品解析系列】数学（文）卷-2015届山东省泰安市高三上学期期末考试（201501）

word版】14.若椭圆*•+#=1的焦点在X轴上，过点(2,1)作圆/+/=4的切线，切点

分别为A,B,直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上.顶点，则椭圆方程为▲.

【知识点】椭圆方程直线与圆的切线H5H4

221

【答案】【解析】三+2=1.解析：设切点坐标为(〃?,〃)则=一二=-1

2016m-2in

即m2+n2-n-2m=0m2+n2=4***2m+n—4=0,即AB的直线方程为

2x+y—4=0,・・,线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点・・・2。-4=0；0-4=0

V2V2

解得c=2,b=4,所以a2=/+c2=20,所以椭圆方程为土"+二=1.故答案为

2016

【思路点拨】设出切点坐标,利用切点与原点的连线与切线垂直，列出方程得到AB的方程,

将右焦点坐标及上顶点坐标代入AB的方程，求出参数c,b；利用椭圆中三参数的关系求

出a,求出椭圆方程.

【【名校精品解析系列】数学理卷•2015届山东省德州一中高三1月月考(201501)114.已

知直线V3x-y+2=0及直线JJx-y-10=0截圆C所得的弦长均为8,则圆C的面积是

▲.

【知识点】直线与圆、圆与圆的位置关系H4

【答案】25%

【解析】设圆心到直线的距离为d,则2d=|2一(一⑼L=6,又因为弦长为8,根据勾股定理得

7(^)2+i2

r=5,则S=25).

【思路点拨】先求出点到直线的距离，根据勾股定理得r求出面积。

【【名校精品解析系列】数学理卷・2015届四川省绵阳后高三二诊(201501)】6.已知圆

x2+y2-4ax+2by+b2=0(a>0,b>0)x-y-1=0对称，则ab的最大值是

(A)-(B)-(C)-(D)—

2844

【知识点】圆的一般方程.H4

【答案X解析】C解析：由圆/+y2-4狈+2力+/=0仅>0/>0)关于直线x-y-1=0

对称，可得圆心(2a,叫在直线x-y-1=0上，

故有2a+b-1=0,即2a+b=122A/瓦，求得出?51，故出?的最大值为工，

44

故选：c.

【思路点拨】由题意可得圆心(2a,勺在直线x-y-1=0匕故有2a+b-1=0,即2a+b=l,

再利用基本不等式求得a。的最大值.

【【名校精品解析系列】数学文卷・2015届河北省保定市高三上学期期末考试(201501)word

版】15、已知圆C:x2-2ax+y2=。仅＞0)与直线/：*—0y+3=O

相切，则。=

【知识点】直线与圆位置关系H4

【答案】【解析】3

解析：因为圆的方程为(x—ay+y2=a2,则有与目=。，解得a=3.

【思路点拨】可利用圆心到直线的距离等于圆的半径得到关于a的方程，求解即可.

【【名校精品解析系列】数学文卷9015届山东省莱芜市莱芜一中高三1月自主考试(201501)】

6.过点P(3,l)作圆C:(x-2y+y2=l的两条切线，切点分别为A、B,则直线AB的方程

为

A.x+y-3=0B.x—y—3=0C.2x—y—3=0D.2x+y-3=0

【知识点】圆的切线方程.H4

【答案】【解析】A解析：圆(x-2j+y2=l的圆心为c(2,0),半径为1,

以(3,1)、C(2,0)为直径的圆的方程为(x-2.5)2+(y-0.5)2=0.5,

将两圆的方程相减可得公共弦AB的方程x+y-3=0,故选：A.

【思路点拨】求出以(3,1)、C(2,0)为直径的圆的方程，将两圆的方程相减可得公共

弦AB的方程.

【【名校精品解析系列】数学文卷・2015届四川省绵阳市高三二诊(201501)】15.已知圆M：

—+(y-I)'1，圆N:x2+(y+l)2=],直线//分别过圆心M,N,且4与圆M相交于

A,B,/2/,与圆N相交于C,D,P是椭圆一+乙=1上的任意一动点，则PA2PBPCPD的

34

最小值为___________

【知识点】平面向量数量积的运算；圆与圆锥曲线的综合.H4F3

【答案】【解析】6解析：PA-7B=（PM+MA）-（PM+MB）

=丽2+~PM（MB+MA）+忘•赢;丽?-1,

同理：~PC~PD=~PN2P在椭圆上，所叫四+网=2a=4,

■■>>.■...，，・2*2

・・・PA・PB+PCPD=PM+PN-2

2PMP7V

=（|PW|+|PA?|）-2|PM|.|W|-2=14-2|PM|•\PN\>14-（IHI）2=6

故答案为：6

【思路点拨】PA=PM+MA,乖二而一忌，并且IMA|=1,所以便可得至UpA・PB=PM"-1，

t..0---------*-------2►2

同理可得到PC,PD=PN-L所以PAPB+PCPD=PM+PN-2.=

2+PAf

(|PM|+|p?v|)-2\PM\-\PN\-2=14-2\PM\■|P/V|>14-ll)2=6

H5椭圆及其几何性质

【数学（理）卷-2015届安徽省黄山市高三上学期第一次质量检测（201501）word版［20.（本

小题满分13分）

22万

如图，已知椭圆C：0+4=1（。>6〉0）的离心率0=1—,右短轴的端点为A,M（1,

b2a22

0）为线段OA的中点.

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点M任作一条直线与椭圆C相交于两点P,Q,试问在X轴上是否存在定点N,

使得/PNM=NQNM?若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由.

7(

第20显图

【知识点】椭圆的标准方程直线与椭圆的位置关系H5118

22

【答案】【解析】(1)工+匕=1;(2)满足条件的点N存在，坐标为(4,0)

48

22

解析：(1)山题意得力=2,。=20,所以椭圆C的方程为一+幺=1；

48

(2)若存在满足条件的点N,坐标为(t,0),其中t为常数，由题意直线PQ的斜率不为0,直

x=my+1

线PQ的方程可设为：x=my+l(mCR),设P(X1,yJ,Q(X2，%)，联立<//，消去x

lT+T-

得：(l+2m\y+4w>'-6=0,y,+y=-,，月-

''2l+2m21+2〃广

kPN=-^—,kQN=^-,由/PNM=NQNM知：kPN+kQN=0,即」^+」一=0,

X1—tX-y—tX|_t%2-t

即一一=----立一，展开整理得：2加)，必+(1-。(弘+%)=0，即

myx+1-/my2+1-

一一也方一刨匕?=(),即m(t-4)=0,又m不恒为0,.・.t=4,故满足条件的点N存在,

1+2犷1+2"

坐标为(4,0).

【思路点拨】一般遇到直线与圆锥曲线位置关系问题，通常联立方程，结合韦达定理寻求系

数关系进行解答.

【数学(文)卷-2015届安徽省黄山市高三上学期第一次质量检测(201501)word版】14.已

22

知圆(x-2)2+/=1经过椭圆5+[=1(a>b>0)的一个顶点和一个焦点，则此椭

a"h

圆的离心率e-___.

【知识点】椭圆的几何性质H5

【答案】【解析】-

3

c1

解析：因为圆（X—2）2+y2=i与X轴的交点坐标为（1,0）、（3,0）,所以c=l,a=3,e=-=—.

a3

【思路点拨】由椭圆的标准方程可知椭圆的焦点在x轴，即可得到a,c值，利用公式求离心

率即可.

【【名校精品解析系列】数学（理）卷-2015届山东省泰安市高三上学期期末考试（201501）

word版】20.（本小题满分13分）

22万

已知椭圆・+方=1（。〉人＞0）的两个焦点为可、鸟，离心率为半，直线/与椭圆相交

于A、！3两点，且满足|4周+|4居|=4&,/^.（加=一；,0为坐标原点.

（I）求椭圆的方程；

（II）求丽•丽的最值.

【知识点】椭圆方程直线与圆锥曲线H5H8

22

【答案】（I）—+^-=1；（II）272.

84

【解析】解析：（I）由椭圆的离心率为丝，可得：a=6c

2

又2a=|AK|+|A6|=4近

a=2V2,/.c=2,b=2

22

所以椭圆方程为：—+^-=1;

84

（II）设直线AB的方程为〉=履+，％,设4（斗,弘）,3（々,%）

y=kx+m

联立f

—+—=1

[84

□J得：（1+2k~+2〃?~-8=0

二（4加一4（1+2公）（2m2-8）二8（8公一加2+4）〉0

-Akm2m2-8

x1+x2=—,x1.x2=-

叽1.州为]_

,・,八k0八.八k082/■>'•・

a2x,x22

1m2-4

/.yy=—x,x—---------

1}22212]+2%2

、2-Sk2

又%乃=("i+m)(依2+m)-k2xx+k〃?(1]+x)+/n2=-m------—

}221+2k

2222

4"1=即1W,-(m-4)=m-Sk,:.4/+2=m

1+2火21+2/'>

2m2-8m2-4

OA.OB=x,x+yy=2-高

2x21+2二1+2/2

所以-2=2-4w51砺<2

当k=0（此时团2=2满足上式），即直线AB平行于X轴时,丽.而最小值为-2,

K_l

当斜率不存在时，有玉=%2，/=%上3水。6=—■—=

斗

X]x222

所以

将点A坐标代入椭圆方程，可得：乂2=2

所以0A08=xxx2+yxy2=y；=2

所以）.砺最大值为2,

综上所述：而最小值为-2,最大值为2.

【思路点拨】由离心率为注，可得：a=y[ic，由椭圆的定义可得4=28，即可求得;

2

2m2-8,,,b2

只需与椭圆方程联立可得玉+无2=三患，斗々--------,FHk.k—,可得

1+2/nOAnORBa22

-=-1即1〃「一4

y.y,=一一x,x.=---------再由直线可得

xx21212

x222i+2k

m2-Sk2

yy=(攵%+m)(反2+m)=k2xx+km(^x+x)+m2,列的等式解得

}2]2]21+2公

2m2-8〃，-4_24

4k2+2=m2因为OA.OB=x,x+yy

2t21+2/一1+242―~l+2k2

-2=2-4＜04,05＜2＞当斜率不存在时，0AVB=2.所以可得其范围.

【【名校精品解析系列】数学（文）卷-2015届山东省泰安市高三上学期期末考试（201501）

word版】20.（本小题满分13分）

22万

已知椭圆・+方=1（。〉人＞0）的两个焦点为可、鸟，离心率为半，直线/与椭圆相交

于A、B两点，且满足|AK|+|A居|=4&,/^4水狈=一；,0为坐标原点.

（I）求椭圆的方程；

（II）证明：八。48的面积为定值.

【知识点】椭圆方程直线与圆锥曲线H5118

丫22

【答案】（I）1+、=1；（n）2vL

【解析】解析：（I）由椭圆的离心率为交，可得：a=Oc

2

又2a=H6|+|AK|=4近

a—2y/2,.'.c—2,b—2

r22

所以椭圆方程为：土+乙v=1；

84

（II）设直线AB的方程为》=履+加，设4（苞,M），8（%2，%）

y=kx+tn

联立〈

I84

可得：（l+2Z:2）x2+4kmx+2m2-8=0

=（4.）2-4（1+2左2）（2•一8）=8（8必一加2+4）＞O

-4km2m~-8

,,kk叽1.州为]_

・八0八.八082/■>'•・

a2x,x22

1m2-4

/.yy=—x,x—-------

}1222121+2A:2

22

、m-Sk

又%乃=("i+m)(依2+m)-k2xx+k〃?(1]+x)+/n2=----—

}221+2k

2222

4"1=即1W,-(m-4)=m-Sk,:.4/+2=m

1+2火21+2/'>

设原点到直线AB的距离为d,

m

则SOAB—|.|x—x1-\\

(2Jl+公

2

+x2)-4^%2

\m\64k216("-4

2m2m2

=2“r-m2+4=20

因为当直线斜率不存在时，由A(2,、0,阿2,-匈,d=2

SA0B=；x2x2V2=2V2

即。48的面积为定值

【思路点拨】由离心率为手，可得：a=6c，由椭圆的定义可得a=2及，即可求得;

2/n2-8,,,

只需与椭圆方程联立可得玉+々=^~~,,xvx2—,可得

------,FHknA.knR2

l+2k2°A°Ba2

-=-1即1m2-4

y,%=一中2=--------再由直线可得

xx21212

{222i+2k

m2-Sk2

y,y=(kX[+m)(fcc+m)=k.~xx+km^x+x)+m~-,列的等式解得

22y2}21+2公

4k2+2=＞，再山面积公式列的等式，即可得.

【【名校精品解析系列】数学（文）卷・2015届山东省泰安市高三上学期期末考试（201501）

产V2

word版】14.若椭圆・•+》=1的焦点在x轴上，过点（2,1）作圆/+/=4的切线，切点

分别为A,B,直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程为▲.

【知识点】椭圆方程直线与圆的切线H5H4

【答案】【解析】二+匕=1.解析：设切点坐标为（〃?,〃）则2s-二=-1

2016m-2m

即m2+n2—n-2m=0m2+n2=4•'>2m+〃—4=0,即AB的直线方程为

2x+y-4=0,・・•线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点・・・2c—4=0；6-4=0

22

解得c=2,b=4,所以/=/+C.2=20,所以椭圆方程为土+匕=1.故答案为

2016

【思路点拨】设出切点坐标，利用切点与原点的连线与切线垂直，列出方程得到AB的方程,

将右焦点坐标及上顶点坐标代入AB的方程，求出参数c,b;利用椭圆中三参数的关系求

出a,求出椭圆方程.

【【名校精品解析系列】数学理卷・2015届重庆一中高三一诊模拟考试（201501）word版】

M—.—1

2

21.（本题满分12分）已知椭圆C中心为坐标原点，焦点在y轴上，过点I,

百

离心率为2。

（1）求椭圆C的方程。

（2）若为椭圆c上的动点，且（其中。为坐标原点）。求证：直线AB与定

圆相切。并求该圆的方程与AOAB面积的最小值。

【知识点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质.H5H8

士+工2一］

【答案】【解析】（1）4（2）-

5

解析：（1）椭圆方程：4（4分）

（2）可山&工办设A（|Mcosa,|〃|sina）,《|。即。初+3］。昨皿a+

B|0B|sina,\0B\COSa）

K|Jo

22

sina21cosa.21

--------+cosa=-----------------+sina=------7

将A,B代入椭圆方程后可得：4\°A\4网

1,1\OAf+\OBf\ABf

2

两式相加可得"例网24=|OA|M四白。川

I。*。却,

.・AB边上的高为网=\5

224

x4~y=一

，AB与定圆5相切

11=542&

同时：时\OBf~4~\OA\\OB\^二制网、

^B=||^||^|当且仅当时取等。（12分）

【思路点拨】（1）先设出椭圆方程，然后利用已知条件联立组成方程组即可；（2）先由

—>—>

。4工°3,再将A,B代入椭圆方程，两式相加可判断出AB与定圆相切，再求出面积的最

小值即可。

【【名校精品解析系列】数学理卷"015届河北省保定市高三上学期期末考试（201501）word

丫2

版】15、直线/过椭圆C:]+y2=l的左焦点尸，且与椭圆。交于P,。两点，M为弦PQ

的中点，。为原点，若AF70。是以线段。尸为底边的等腰三角形，则直线/的斜率为

【知识点】椭圆的几何性质H5

【答案】【解析】土注

2

解析：因为"M。是以线段。F为底边的等腰三角形，所以直线0M与直线1的斜率互为相

反数，则有左・（—6=——,解得k=±2—.

V122

b2

【思路点拨】一般遇到椭圆的弦AB的中点M的问题时，可应用结论3/次=-一进行转

CT

化求解.

【【名校精品解析系列】数学理卷2015届山东省莱芜市莱芜一中高三1月自主考试（201501）】

21.（本小题满分14分）

已知椭圆。：靛+会=1（“〉沙〉0）的离心率6=5,点A为椭圆上•点，

4底=60。，且=6

（I）求椭圆c的方程；

（2）设动直线/：履+机与椭圆C有且只有一个公共点P,且与直线x=4相交于点Q.问：

在X轴上是否存在定点M,使得以PQ为直径的圆恒过定点M?若存在，求出点M的坐标；

若不存在，说明理由.

【知识点】椭圆的标准方程；直线与椭圆的综合问题.H5H8

匕2=1

【答案】【解析】（1）43；（2）存在定点符合题意.

解析：（1）由・一五可得，①

63=中&|典|一的=3得|4］愿上4…分

在火马中山余弦定理有，1取『刊~1『一斗卒1国蜀一剑=府，又

141♦14卜2■，可得」一』=3②,.............................4分

联立①②得，1=4—=1二y=3

三匕1

所以椭圆方程为43................................6分

Ij=ftr-t-m

|岂£=i

⑵设点FR，由143,得

■+#+8lb—+储-12=0...............................8分

4="%*——.*一口）=0,化简得金一一+3=%所以

3

*一诉=一二"二

10分

所以

由产=♦，得假设存在点M,坐标为则一■

12分

因为以用为直径的圆恒过点"，所以s%=",即

一蚂♦'一♦乌#3=。〜-❸在♦士4,3=。

・■■，所以有■«对任意的工.

都成立，

片-4=。

｛=丐"=°,解得耳=】，故存在定点*43符合题意.…14分

【思路点拨】（1）先山离心率e=-得到a,c的关系式，再结合余弦定理得到一一，=?,

2

联立解方程组可求得椭圆的标准方程；（2）把宜线与椭圆方程联立后转化为关于x的•元

二次方程，结合根与系数的关系同时结合SB=°进行判断即可。

【【名校精品解析系列】数学理卷-2015届山东省德州一中高三1月月考（201501）】20.（本

小题满分13分）

22万

已知椭圆二+二=1（。＞匕〉0）的两个焦点为片、F,,离心率为直线/与椭圆相交

a"b2

于A、8两点，且满足|4用+|人段=40,右71*。8=-3,。为坐标原点.

（I）求椭圆的方程；

（II）求方•历的最值.

【知识点】椭圆及其儿何性质H5

x22——

【答案】（1）一+乙v=1（II）。小。8最大值为2,最小值为-2

84

【解析】⑴由椭圆的离心率为手可得：（=*，即a=8C,又2a=kK|+|A用=4及

2