Pascal动态规划课件

动态规划---入门篇DynamicprogrammingEZOI多阶段决策过程多阶段决策过程（multistepdecisionprocess）是指这样一类特殊的活动过程，过程可以按时间顺序分解成若干个相互联系的阶段，在每一个阶段都需要做出决策，全部过程的决策是一个决策序列。动态规划（dynamicprogramming）算法是解决多阶段决策过程最优化问题的一种常用方法，难度比较大，技巧性也很强。利用动态规划算法，可以优雅而高效地解决很多贪婪算法或分治算法不能解决的问题。求解问题的两个重要性质最优子结构性质：如果问题的最优解所包含的子问题的解也是最优的，我们就称该问题具有最优子结构性质（即满足最优化原理）。最优子结构性质为动态规划算法解决问题提供了重要线索。子问题重叠性质：在用递归算法自顶向下对问题进行求解时，每次产生的子问题并不总是新问题，有些子问题会被重复计算多次。动态规划算法正是利用了这种子问题的重叠性质，对每一个子问题只计算一次，然后将其计算结果保存在一个表格中，当再次需要计算已经计算过的子问题时，只是在表格中简单地查看一下结果，从而获得较高的解题效率。最短路径问题图中给出了一个地图，地图中每个顶点代表一个城市，两个城市间的连线代表道路，连线上的数值代表道路的长度。现在，想从城市A到达城市E，怎样走路程最短，最短路程的长度是多少?

[题1]最长不下降子序列【问题描述】设有整数序列b1,b2,b3,…,bm，若存在i1<i2<i3<…<in，且bi1<bi2<bi3<…<bin，则称b1,b2,b3,…,bm中有长度为n的不下降序列bi1,bi2,bi3,…,bin。求序列b1,b2,b3,…,bm中所有长度(n)最大不下降子序列输入：整数序列输出：最大长度n[题1]最长不下降子序列【分析】设F(i)为前I个数中的最大不下降序列长度。由题意不难得知，要求F(i)，需要求得F(1)—F(i-1)，然后选择一个最大的F(j)(j<i,bi>bj)，那么前I个数中最大不下降序列便是前j个数中最大不下降序列后添加bi而得。可见此任务满足最优子结构，可以用动态规划解决。通过上面的分析可得状态转移方程如下：

F(i)=max{F(j)+1}(j<i,bj<bi)边界为F(1)=1【部分代码】f[1]:=1;len:=1;{求解最大不下降序列长度}fori:=2tondobeginf[i]:=1;forj:=1toi-1doif(b[i]>b[j])and(f[i]<f[j]+1)thenf[i]:=f[j]+1;iff[i]>lenthenlen:=f[i]{记录最大值}[题2]数塔贪心法。时间上有保证，但得不到最优解。主要原因是贪心法只顾眼前利益，不考虑长远利益。在规定时间内得到正确结果，唯一的方法就是“动态规划”。下面以示意图表示动态规划的过程：所选路径为：9-12-10-18-10注意分析时，有以下几个特点：（1）将问题划分成了4个阶段；（2）每个阶段均得到了“部分”的最优解，得到最优解时，需要进行条件判断；（3）从最下面一层往顶层推导。[题3]棋盘路径问题【题目简介】有一个n*m的棋盘，左下角为（1,1），右上角为（n,m），如下图：

有一颗棋子，初始位置在（1,1），该棋子只能向右走或者向上走，问该棋子从（1,1）到（n,m）一共有几条路径？输入：两个整数n和m输出：一个数，路径总数[题3]棋盘路径问题【题目简介】如果使用枚举的方法，必定有很多路径被重复走过，这样，势必造成程序运行时间的浪费，当n和m的值比较大的时候，程序很可能超时。为了避免程序的重复运行，我们可以通过记录点（1,1）到任意一个点（I,j）的路径总数来解决这个问题。假设F[I,j]是点(1,1)到点(I,j)(1≤i≤n,1≤j≤m)的路径总数，因为棋子在棋盘中只能向右或者向上走，所以棋盘中只能2个点的棋子可以走到点（I,j），即点(I,j-1)和(i-1,j)，这样，我们就可以知道，F[I,j]必定是F[I,j-1]和F[i-1,j]的和，即F[i,j]=F[i-1,j]+F[i,j-1]【例4】街道问题

在一般情况下，如果我们用二维数组H(i，j)和V(i，j)分别表示水平方向和竖直方向的各路段长度，如H(1，2)表示水平方向上路口(1，1)到路口(1，2)的路段长度，V(1，2)表示竖值方向上路口(0，2)到路口(1，2)的路段长度，则有公式：如dpl(i，j)=min{dpl(i-1，j)+v(i，j)，dpl(i，j-1)+h(i，j)}[题5]机器分配【问题描述】总公司拥有高效生产设备M台，准备分给下属的N个公司。各分公司若获得这些设备，可以为国家提供一定的盈利。问：如何分配这M台设备才能使国家得到的盈利最大？求出最大盈利值。其中M≤15，N≤10。分配原则：每个公司有权获得任意数目的设备，但总台数不得超过总设备数M。保存数据的文件名从键盘输入。数据文件格式为：第一行保存两个数，第一个数是设备台数M，第二个数是分公司数N。接下来是一个M*N的矩阵，表明了第I个公司分配J台机器的盈利。[题5]机器分配【分析】这是一个典型的动态规划试题。用机器数来做状态，数组F[I，J]表示前I个公司分配J台机器的最大盈利。则状态转移方程为F[i，j]=Max{F[i-1，k]+Value[i，j-k]}

（0〈=K〈=J〉[题6]0-1背包问题这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。用子问题定义状态：即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是：f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}[题7]完全背包问题【题目】有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无限件可用。第i种物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。[题7]完全背包问题【基本思路】这个问题非常类似于01背包问题，所不同的是每种物品有无限件。也就是从每种物品的角度考虑，与它相关的策略已并非取或不取两种，而是有取0件、取1件、取2件……等很多种。如果仍然按照解01背包时的思路，令f[i][v]表示前i种物品恰放入一个容量为v的背包的最大权值。仍然可以按照每种物品不同的策略写出状态转移方程，像这样：f[i][v]=max{f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]}0<=k*c[i]<=v[题8]拦截导弹【分析】设D(i)为第i枚导弹被拦截之后，这套系统最多还能拦截的导弹数（包含被拦截的第i枚）。我们可以设想，当系统拦截了第k枚导弹xk，而xk又是序列X={x1,x2,…,xn}中的最小值，即第k枚导弹为所有飞来的导弹中高度最低的，则有D(k)=1；当系统拦截了最后一枚导弹xn，那么，系统最多也只能拦截这一枚导弹了，即D(n)=1；其它情况下，也应该有D(i)≥1。根据以上分析，可归纳出问题的动态规划递归方程为：假设系统最多能拦截的导弹数为dmax（即问题的最优值），则