第6章平面向量及其应用章节复习总结讲义-2022学年人教A版高中数学必修第二册Word

第六章总结：平面向量及其应用学习目标第六章总结：平面向量及其应用学习目标1、了解平面向量的概念2、掌握平面向量的运算、基本定理及坐标表示3、理解平面向量的应用探索新知探索新知一、向量的实际背景与概念

定义我们把既大小又有方向的量叫做向量

二、向量的几何表示

（1）向量的几何表示：向量可以用一条有向线段表示，具有方向的线段叫做有向线段，包含3个要素：起点、方向、长度，A为起点，B为终点的有向线段记作.（2）向量的字母表示：向量可以用字母a,b,c…表示.（3）向量的大小：向量的大小称为向量的长度，（或称模），记作，长度为0的向量叫做零向量，记作0，长度等于1的单位长度的向量，叫做单位向量.

三、相等向量与共线向量

（1）方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.

（2）长度相等且方向相同的向量叫做相等向量向量a与b平行，记作a四、向量的加法运算

1.定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法2.向量加法的方法：向量加法的三角法则已知非零向量，在平面内任取一点A，做=，=，则向量叫做与的和，记作，即,这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则三角形法则的使用条件：一个向量的终点为另一个向量的起点

平行四边形法则以同一O为起点的两个已知向量，，以，为邻边做OACB，则以O为起点的向量，（OC是OACB的对角线）就是向量与的和，我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则

规定：对于零向量与任意向量，我们规定+=+=

平行四边形法则的适用条件：两个向量起点相同五、向量的减法运算定义：向量加上的相反向量，叫做与的差，即，求两个向量差的运算叫做向量的减法.相反向量：我们规定，与向量,长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作﹣由于方向反转两次仍回到原来的方向，因此和﹣互为相反量，于是-（-）=.由两个向量和的定义易知即任意向量与其相反向量的和是零向量几何意义：已知向量，，在平面内任取一点O，作，，则，即可以表示为从的终点指向向量的终点的向量六、向量的数乘运算向量数乘的运算律根据实数与向量的积的定义，可以验证下面的运算律时成立的.设，为实数，那么

特别的，我们有

向量的加、减数乘运算统称为向量的线性运算.向量线性运算的结果仍是向量.

对于任意向量，以任意实数，，，恒有

七、向量的数量积

1.向量的夹角已知两个非零向量,,O是平面上的任意一点，作=,=,则∠AOB=叫做向量与的夹角.

显然，当时，与同向；当时，与反向.

如果与的夹角是，我们说与垂直，记作

2.向量数量积的定义已知两个非零向量与，他们的夹角为，我们把数量叫做向量与的数量积，记作

即；=

规定；零向量与任一向量的数量积为0.八、平面向量基本定理及坐标表示

1、平面向量基本定理

平面向量基本定理如果，是同一平面内的两个不共线向量，对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数使，=.

若，不共线，我们把（，）叫做表示这一平面内使用向量的出一个基底.2、余弦定理、正弦定理

余弦定理：三角形中任何一方的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，概念辨析即；

,

余弦定理得推论；

cosA=，cosB=,cosC=

正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即；

正弦定理的变形：

1.

2.

概念辨析思考思考11.已知向量a=(1,cosθ)，b=(（1）若a⊥b，求cos2（2）若|a+b|=6，求【答案】（1）解：因为a=(1,cosθ)，b=(sinθ,-3)，a⊥因为0<θ<π2，所以θ=（2）解：因为a=(1,cosθ)，b=(因为|a+b|=6，所以(1+sin因为sin2θ+cos2【考点】平行向量与共线向量，二倍角的正弦公式【解析】（1）利用a⊥b可求tanθ，从而可得θ，然后可求cos2θ；（2）利用|a+b|=思考思考22.如图,点C是点B关于点A的对称点,点D是线段OB的一个靠近点B的三等分点,设AB=（1）用向量a与b表示向量OC,（2）若OE=45OA,【答案】（1）解：∵AB=a,∴OC=CD=（2）解：∵OE∴CE∴CE与CD平行,又∵CE与CD有共同点C,∴C，D，E三点共线.【考点】向量的加法及其几何意义，向量的减法及其几何意义，向量的共线定理思考3【解析】（1）根据题意，利用向量的加法与减法的几何意义，得出OC=OA+AC，CD=CB+BD，即可用a、b表示；（2）由OE=4思考33.已知向量a=(2,-1),b=(1,（Ⅰ）若a⊥(a+b)（Ⅱ）若a+2b=(4,-7)，求向量a与【答案】解：（Ⅰ）因为a=(2,-1),b=(1,x)，所以由a⊥(a+b)即6+1-x=0，解得x=7，即所以|b|=（Ⅱ）依题意a+2b可得x=-3，即b=(1,-3)所以cos<a因为<a,所以a与b的夹角大小是π4【考点】平面向量的坐标运算，平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【解析】（Ⅰ）首先求出向量的坐标a+b=(3,-1+x)，再由向量垂直的坐标公式计算出x的值，由此得到b=(1,7)再由向量模的定义代入数值计算出结果即可。

（Ⅱ）思考思考44.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知c(sin（1）记AC边上的高为h，求bh；（2）若c=5，a=1，求b【答案】（1）解：c(sinA由正弦定理可得：sinC(化为：2sinC∴2csin∵h=c∴bh（2）解：由（1）有2sinCsin∴2asinC=b由余弦定理可得：c2=∴5=1+b2可得cosC=∴sin2C化为：b4-解得b2=2或解得b=2【考点】正弦定理，余弦定理【解析】（1）c（sinA-cosA）=a（cosC-sinC），利用正弦定理可得：sinC（sinA-cosA）=sinA（cosC-sinC），化简再利用正弦定理即可得出；

（2）由（1）可得：2csinA=b，可得2sinCsinA=sinB，sinC=b2a=b2，1.下列向量中不是单位向量的是（

）A.

(1,0)

B.

(1,1)

C.

(cosα,2.如图所示，已知在△ABC中，D是边AB上的中点，则CD=（

A.

BC-

B.

-BC

C.

-BC

D.

BC+3.已知a>0，b>0，向量m=(a+2b,-9)，n=(8,ab)，若A.

9

B.

8

C.

54

4.在△ABC中，A=120°，BC=6，则△ABCA.

12

B.

1

C.

332参考答案1.【答案】B【解析】A.