截长补短法教案

/截长补短法截长补短法是几何证明题中十分重要的方法。通常来证明几条线段的数量关系.截长法:(1)过某一点作长边的垂线（2)在长边上截取一条与某一短边相同的线段,再证剩下的线段与另一短边相等。补短法(1）延长短边.（2)通过旋转等方式使两短边拼合到一起.例题：正方形ABCD中,点Ｅ在CＤ上，点F在BC上,EAF=45。求证：EF＝DＥ＋ＢF变式a:正方形AＢCD中,点E在ＣD延长线上,点Ｆ在BC延长线上，EＡF＝４５。请问现在ＥF、DE、ＢＦ又有什么数量关系？变式b正方形ABCD中，点Ｅ在ＤC延长线上，点F在ＣB延长线上,EAF=45。请问现在EF、ＤE、BＦ又有什么数量关系?变式c正三角形ABC中,E在AB上，F在AC上EDF＝4５.ＤB=DＣ，BDC=１２0.请问现在EF、BＥ、CF又有什么数量关系?变式d正方形ABCD中,点E在CＤ上,点F在ＢC上，EAＤ＝１5，FAB=30。AD＝，求ＡEF的面积练习：在正方形ＡBCＤ中，DE=DF，DGCE,交CA于G，ＧHＡF,交AD于P,交ＣＥ延长线于H，请问三条粗线DＧ，GH，ＣH的数量关系方法一(好想不好证)方法二（好证不好想)(1）解：（简单思路)延长CD到点Ｇ，使得DG=BＦ,连接ＡG。由四边形ABCＤ是正方形得：ADG=ABF＝90，AD=ＡＢ又ＤＧ=BＦ∴ADGABF（ＳAS）∴GAD=FABAG＝AF由四边形ABCＤ是正方形得DAB＝９０=ＤAＦ+FAB＝DAF＋GＡD=ＧAF∴GAE＝GＡF－EAＦ=９0—45=45GAE=ＦAE＝４5又ＡG＝ＡFAE=AE∴EＡＧＥAF（SＡS）EF=GＥ=GＤ＋DＥ＝BF+DＥ变形a解：(简单思路）解：数量关系为：EF=BF-ＤE。理由如下：在BC上截取BG，使得BG=ＤF，连接ＡG。由四边形ABCD是正方形得ＡDE=AＢG＝９0,ＡＤ＝AB又DE=BG∴ADEＡBＧ（SAＳ)∴EAD＝ＧAB，AE=AG由四边形ＡＢCＤ是正方形得DAＢ=90=DAG+GAＢ＝DAＧ+EＡD=GAＥ∴GAF＝GAE-EＡF＝90-45=45GAF＝ＥAF=45又ＡG=ＡEＡF=AF∴EAFGAＦ（SAＳ)EＦ＝GＦ=BF－BG＝BF-DE变形b解：（简单思路)解:数量关系为：EF=ＤＥ－BF．理由如下：在DC上截取DＧ，使得DG=BF,连接ＡG。由四边形AＢCD是正方形得ADG＝ABF=90，AD＝AＢ又ＤG＝BF∴ADＧABF（SAS)∴GＡD=ＦAB,AG=AF由四边形ABＣD是正方形得DAB=９0=DAG＋GAＢ=BAＦ＋GAB=GAF∴ＧAE=GAF—EＡF=90-4５＝4５∴ＧAE＝FAＥ＝４5又ＡG=ＡＦ，AE=AＥ∴EＡGＥAF（ＳAS)EF＝EG=ED-GＤ＝DE—BF变形c解:（简单思路）解:数量关系为：EF＝BE+ＦC。理由如下延长AC到点G,使得CG=ＢＥ，连接DG。由ＡBＣ是正三角形得：ＡBC=ＡＣB=60又∵ＤB＝DC,BDC=12０，∴DBC=DCB=30∴ＤＢＥ=ＡBC+DBＣ=60+３０=90，ACD=ACB＋DＣB=60＋30=90∴GCＤ＝1８0－ACＤ=90∴DBE=ＤCG=９０又∵DB=DC,ＢE=CG,∴DＢEDCG（SAS）∴ＥDB=GＤC，DE=DＧ又DBC=１2０=ＥDB+EDC=GDＣ＋EＤC=EDG∴GDF＝EDＧ—EＤＦ=12０—６0=60∴GＤＦ=EDF＝60又DG=ＤＥDF=ＤF∴GＤFＥＤＦ（SAＳ）EF=GF=CG+FC=BＥ+FC变形ｄ解：(简单思路）延长ＣD到点Ｇ，使得DG＝ＢF，连接AG.过E作EHAG。前面如（1)所证，ADＧABF，ＥAGEAFＧAＤ=FＡB=30,SEAＧ=ＳＥＡF在RtＡDG中，GＡＤ＝30，AＤ=AGＤ=60，ＡG=2设EH=x在Rt