平面向量高考试题(含详细答案)

平面向量高考试题精选（一）

选择题（共14小题）

1.（2015•河北）设D为△ABC所在平面内一点，BC=3CD-则（）

A.AD=--1AB+-1ACB-AD^1AB--|AC

C-AD^|AB+|ACD-AD=^AB--^AC

2.（2015•福建）已知标正，I疝I」，IAC|=f若P点是△ABC所在平面内一点,

且江好驾，则而•正的最大值等于（）

|AB||AC|

A.13B.15C.19D.21

3.（2015•四川）设四边形ABCD为平行四边形，I同=6,|标i|=4,若点M、N满足丽=3记,

DN=2NC>则标-M=（）

A.20B.15C.9D.6

_—♦—♦*'■.—♦—♦

4.（2015•安徽）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，K萧足/2。AC=2寸b，

则下列结论正确的是（）

—♦—♦—♦—♦—♦—♦—♦.

A.|b=lB.a±bC.a・MlD.（4讲b）±BC

5.（2015•陕西）对任意向量W、b-下列关系式中不恒成立的是（）

A.|a-U<ldlHB.'-亦|诵-而

C.（a+b）2=la+bl2D.（a+b）•（：-'p=a?-b2

6.（2015•重庆）若非零向量W，下茜足值=2乎g，且±（3「25），则W与4的

夹角为（）

A.—B.—C.卫D.n

424

7.（2015•重庆）已知非零向量a，b满足/XIab且a，（2a+b）则a与b的夹角

为（）

A.-B.-.C.空D.^―

3236

8.（2014•湖南）在平面直角坐标系中，O为原点，A（-1,0）,B（0,丁5），C（3,0）,

♦•，，♦・

动点D满足|CD=1，则I0A+0B+0口的取值范围是（）

A.[4,6]B.1719-1-V1^1]C.[273,2诉D.[b-1,b+1]

9.（2014•桃城区校级模拟）设向量百谷曲足仁|=|山=1，a，b=-^<

a-c,b-c>=60%则启的最大值等于（）

A.2B.5/3C.72D.1

10.（2014•天津）已知菱形ABCD的边长为2,NBAD=120。，点E、F分别在边BC、DC

上，BE=ABC.DF=kDC>若标•屈1='CE«CF=-则入+尸（）

3

A.1B.2C.至D.二

23612

11.（2014•安徽）设』，己为非零向量，市=2百，两组向量五，三，E，三■和元，

可，口均由2个嬴2个例列而就若京•元+石・豆+耳・可+京•城所有可能取值

中的最小值为41m2,则£与E的夹角为（）

A.空B.—C.-D.0

336

12.(2014•四川)平面向量^=(1,2),fc=(4,2),(m€R),且3与W的夹角等

于c与b的夹角，则m=()

A.-2B.-1C.1D.2

13.(2014•新课标I)设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点，则函启

A.ADB.IADC.BCD.1BC

14.（2014•福建）设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平

面内任意一点，则赢+而+优+'55等于（）

A.0MB.2QMC.3QMD.4QM

二.选择题（共8小题）

15.（2013•浙江）设不、=*为单位向量，非零向量5*£*+丫不，x、y€R.若不、「*的

夹角为30。，则单的最大值等于

Ib|

16.（2013•北京）已知点A（1,-1）,B（3,0）,C（2,1）.若平面区域D由所有满足

AP=XAB+klAC（1^2,0<n<D的点P组成，则D的面积为.

17.（2012•湖南）如图，在平行四边形ABCD中，AP_LBD,垂足为P,且AP=3,则

AP-AC=.

18.（2012•北京）己知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点.则正•瓦的值

为.

19.（2011•天津）已知直角梯形ABCD中,ADIIBC,ZADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰

DC上的动点，则|血+3丽|的最小值为.

20.（2010♦浙江）已知平面向量五，-p五#E）满足I/1=1，且五与

E-五的夹角为120。，则|五|的取值范围是.

21.（2010•天津）如图，在△ABC中，AD±AB,前而，IAD|=1.则

AC'AD=

C

RD

22.(2009•天津)若等边△ABC的边长为2«,平面内一点M满足加=」而+2以，则

63

MA-MB=.

三.选择题(共2小题)

23.(2012・上海)定义向量而=(a,b)的"相伴函数"为f(x)=asinx+bcosx,函数f(x)

=asinx+bcosx的"相伴向量"为而=(a,b)(其中O为坐标原点).记平面内所有向量的“相

伴函数"构成的集合为S.

(1)设g(x)=3sin(x+—)+4sinx,求证：g(x)GS；

2

(2)已知h(x)=cos(x+a)+2cosx,且h(x)6S,求其“相伴向量”的模;

(3)已知M(a,b)(bxO)为圆C：(x-2)2+y2=i上一点，向量祈的"相伴函数"f(x)

在x=xo处取得最大值.当点M在圆C上运动时，求tan2xo的取值范围.

2C

24.(2007•四川)设6、F2分别是椭圆工+丫区1的左、右焦点.

4丫

(I)若P是第一象限内该椭圆上的一点，且呵•呵=-弓，求点P的作标；

(口)设过定点M(0,2)的直线1与椭圆交于不同的两点A、B,且NAOB为锐角(其中

O为坐标原点)，求直线1的斜率k的取值范围.

平面向量高考试题精选（一）

参考答案与试题解析

一.选择题（共14小题）

1.（2015•河北）设D为△ABC所在平面内一点，BC=3CD.贝！I（）

A.AD=-^AB+^ACB-AD=^AB--1AC

C-AD^AB+|ACD-AD=^AB--1AC

解：由已知得到如图

SiAD=AB+BD=AB+^BC=^(AC-AB)=-《标+1记

JJJJ

故选：A.

2.（2015•福建）已知屈J_正，|屈|二，|AC|=t＞若P点是△ABC所在平面内一点,

国尚崎,则丽•玩的最大值等于（

)

A.13B.15C.19D.21

解：由题意建立如图所示的坐标系,

可得A(0,0),B(10),C(0,t),

.・.研A：十A=B*+4=A二C,•-.…p(1I'A4)，

IABI|AC|

PB=(工-1,-4),PO(-bt-4),

t

PB-PC=-1)-4(t-4)=17-(l+4t),

tt

由基本不等式可得<+4t22A.4t=4,

17-(l+4t)<17-4=13,

t

当且仅当工4t即t=1时取等号,

t2

・•・丽•庆的最大值为13,

3.（2015•四川）设四边形ABCD为平行四边形，|AB=6,IADI=4,若点M、N满足而=3元,

DN=2NC，则（）

A.20B.15C.9D.6

解：••,四边形ABCD为平行四边形，点M、N满足丽=3元，DN=2NC.

二.根据图形可得：Aii=AB+-|BC=AE-H|AD-

AN=AE+^DC=AE+1AB-

NM=AN-处|，

AM<AN-讪)=AK2-AN-AH

222

AM=AB4^•AT+-^ADJ

AM'AN=|AB2宿+|AE•AD)

IABI=6,而=4,

•••AM.而，冠--AAE?=12-3=9

316

故选：C

-♦*.♦.—♦—♦

4.（2015•安徽）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b?商足汾2。AC=2寸b，

则下列结论正确的是（）

A.|bl=lB.a±bC.a-b=lD.（4^b）±BC

解：因为已知三角形ABC的等边三角形，a，甘荫足屈=2&AC=2^-b,又菽=■正+前，

所以a《AB，b=BC>

所以|b|=2,a*bplx2xcosl200=-1,

4a*b=4xlx2xcosl20°=-4,铲=4,所以—兀+铲=。,即（4a+b）•b=0,即

（4a+b）-B^0'所以（4a+b）1BC;

故选D.

5.（2015・陕西）对任意向量』、b-下列关系式中不恒成立的是（）

A.Ia-W<ldiuB.'-亦|诵-湎

C.（a+b）2=1a+bl2D.（a+b）•（；-"p=a?-b2

解：选项A正确，la-H=ldlUlcos<a<b>l-

X|cos<a，E>|sl,•正方西恒成立；

选项B错误，由三角形的三边关系和向量的几何意义可得I；-司洲力-IUI：

选项C正确，由向量数量积的运算可得（Z+E）2=|a+U2；

选项D正确，由向量数量积的运算可得（a+b）•-p=a2-b2.

故选：B

6.（2015•重庆）若非零向量W，E满足|1警H，且（a-k>）-L（33^2b）>则a与b的

夹角为（）

A.—B.-C.空D.n

424

解：(a-b)-L(33^-2b)»

•e-(a一l>)•(3"2b)=0，

即3a之-2b?-a*LFO,

即a*tr=3a2-

cos<a，b>=返

iTTibT吗2盗

即<a，b>=->

4

故选：A

7.(2015•重庆)已知非零向量@,b满足1小=41J，且a，(2a+b)则a与b的夹角

为()

A.—B.—c..22LD.

3236

解：由已知非零向量a，b满足且a，(2a+b"设两个非零向量a，b的

夹角为0.

所以a“2a+b)=°,即2a2+|a||b|cos0=。，所以cos6=-J，峭0,可,所以0=2；；

故选C.

8.(2014•湖南)在平面直角坐标系中，。为原点，A(-1,0),B(0,V3)>C(3,0),

动点D满足|而=1,则|赢+无+而的取值范围是()

A.[4,6]B.[V19-l>A/1^1]C.[273,277]D.[仟1,77+1]

]解：•.・动点D满足|而=1,C(3,0),

二可设D(3+cosO,sin0)(0G[O,2n)).

又A(-1,0),B(0,y/3),

•••OA+OB+OD=(2+cos6,遥+sin8).

I0A+0B+OD^(2+COS6)2+(V3+sin6)M^cos6+2V3sin6-

V8+2V7sin(e+$)'(其中sin巾嗡巾第

,/-l<sin(0+4))<1,

(V7T)2=8-2V7<8+2V?sin(9+4))<8+277-(4+1)2-

・,.I赢+黄丽的取值范围是W7-l，V7+11.

故选：D.

9.（2014・桃城区校级模拟）设向量之，百,足|二|二后|=1，a，b=-^<

c,b-c>：=60O）则前的最大值等于（）

A.2B.盯C.&D.1

解：：信|=|b|=1-

・•.Z,E的夹角为120。，

设0A=a,0B=b,0C=c®lJcA=a-c;CB=b-c

如图所示

则NAOB=120°；ZACB=60°

ZAOB+ZACB=180°

A,O,B,C四点共圆

..—♦―*一

,AB=b.a

.—•2-•2—»—•—•2

1-AB=b_2a»b+a=3

AB=V3

由三角形的正弦定理得外接圆的直径2R=一绊—=2

sinZACB

当OC为直径时，模最大，最大为2

故选A

10.（2014•天津）已知菱形ABCD的边长为2,NBAD=120。，点E、F分别在边BC、DC

上，BE=ABC-DF=kDC-若标•屈=1，CE«CF=---则入+尸（）

3

A.1B.c.也D.J-

23612

解：由题意可得若标・正=（AB+BE）•（AD+DF）=AB-AB-DF+BE-AD+BE-DF

HABF-2+4口+4入+入p<2x2xcosl20°

=4入+4口-2入口-2=1,

4入+4日-2人“=3①.

CE«CF=-EC*(-FC)=EC-FC=(1-X)BC«(1-n)DC=(1-A)AD*(1-k)AB

=(1-A)(1-(i)x2x2xcos120°=(1-X-u+人口)(-2)=--.

3

即-入-n+Xn=-2②.

3

由①②求得入+尸2

故答案为:互

11.(2014•安徽)设之，己为非零向量，市=2;，两组向量三，石，京和元，,，

W，刁均由2个获2个百非列而成，若京・亍/可可+可可+总・重所有可能取值

中的最小值为41m2,则W与E的夹角为()

A.22LB.--C.—D.0

336

解：由题意，设£与芯的夹角为a,

分类讨论可得

①京•元+三•五+石•号V方寸京a*a^b«b+b«510|£，不满足

(2)T[,y7+7^,^+x^,y^+'x^*y^=a*寸a,9b寸匕b=5|£+4|H2cosa,不满足；

③f♦元+司*五+同・可+京•第=4a»b=8|]cosa=4旧2,满足题意，此时cosa=-1

・•.W与E的夹角为二.

3

故选：B.

12.(2014•四川)平面向量U(1,2),b=(4,2),c=m^+-b(mGR),且M与W的夹角等

于当b的夹角，则m=()

A.-2B.-1C.1D.2

解：♦.・向量F（i,2）,b=（4,2）,

crrnar^b^（m+4,2m+2）,

又•••3与w的夹角等于3与己的夹角，

c.a=c-b

IcHIaIIcHIb|

.c-ac-b

一百面

,irri~4+2（2nri2）=4（m+4）+2（2/2）

VB2V5

解得m=2,

故选：D

13.（2014•新课标I）设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点，则函•同=

（）

A.ADB.JADC.BCD.F

【解答】解：:D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,

........-1.・，.

EB+FO（EF+FB）+（FE+EC）=FB+EC=上（AB+AC）=AD，

故选：A

14.（2014•福建）设M为平行四边形ABCD对角线的交点，0为平行四边形ABCD所在平

面内任意一点，则赢+通+江+而等于（）

A.0MB.20MC.30MD.40M

解：:。为任意一点，不妨把A点看成0点，则水+而+无+而=1+蒜+菽+75,

•••M是平行四边形ABCD的对角线的交点，.,・o+AB+AC+AD=2AC=40M

故选：D.

选择题(共8小题)

15.(2013♦浙江)设%；、£为单位向量，非零向量E=xg；+yZ；,x、yeR.若看；、言的

夹角为30。，则」式的最大值等于2.

Ib|一

解：.•.T、『为单位向量，T和T的夹角等于30。，.•.？・W=lxlxcos3(r=返.

c]c2仁[c2c।c2g

■,非零向量赢fy£，•••藤后SP说不奇=庐扃彳，

|x[周一]*2=11YI12=

।b।7x2+V3xy+y2VX2+V3xy+y21+«・?+(?)?J+1

故当星，斗取得最大值为2,

X2|b|

故答案为2.

16.(2013•北京)已知点A(1,-1),B(3,0),C(2,1).若平面区域D由所有满足

AP=XAB+HAC(1<A<2,0<n<l)的点P组成，则D的面积为3

解：设P的坐标为(x,y),则

AB=(2,1),A5=(1，2),AP=(X-1,y+1),-.1AP=XAB+|IAC，

)211

1

『7=2入+W,解之得,曾一望

y+l=入+2N心-£x号也

l<|x-^y~l<2

oJ

1<A<2,0印41,.•.点P坐标满足不等式组，

。4

O

作出不等式组对应的平面区域，得到如图的平行四边形CDEF及其内部

其中C(4,2),D(6,3),E(5,1),F(3,0)

'''ICF|=7(4-3)2+(2-0)

点E(5,1)到直线CF：2x-y-6=0的距离为d=12乂5/二6|=

V55

.­•平行四边形CDEF的面积为S=|CF|xd=V5x2&3,即动点P构成的平面区域D的面积为

5

3

17.（2012•湖南）如图，在平行四边形ABCD中，AP_LBD,垂足为P,且AP=3,则AP・AC=

【解答】解：设AC与BD交于点O,则AC=2AO

/AP±BD,AP=3,

在RtAAPO中，AOcosZOAP=AP=3

/.IAQcosZOAP=2|A0lxcosZOAP=2|API=6,

由向量的数量积的定义可知，AP-A^IAPIAOcosZPAO=3x6=18

18.（2012♦北京）己知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点.则正•连的值

为1.

【解答】解：因为口后,。为口£加=|而|«|DA|cos<DE-DA^DA2"1-

故答案为：1

D

19.(2011•天津)己知直角梯形ABCD中，ADIIBC,ZADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰

DC上的动点，则I市+3痛I的最小值为5.

解：如图，以直线DA,DC分别为x,y轴建立平面直角坐标系，

则A(2,0),B(1,a),C(0,a),D(0,0)

设P(0,b)(0<b<a)

则五=(2，-b),PBF(1,a-b),

PA+3PB=⑸3a-4b)

IPA+3PB1=^25+(3a-4b)2-5-

故答案为5.

20.（2010•浙江）已知平面向量五，百（五井五，五户百）满足IE1=1，且五与

E-五的夹角为120%则「值的取值范围是（0,空与.

3

解：令用ABFCI、AO6，如下图所示：

则由BC=E-五，

又「五与E-五的夹角为120°,

/.ZABC=60°

又由AC=|T|=1

由正弦定理।।B!得:

sinCsin60

库季田竽

21.（2010•天津）如图，在^ABC中，AD±AB,前力^而，I讪1=1，则正'AD=_V3_.

【解答】解:AC-AD=|ACI-®IcosZDAC.

|AD|=1，

AC-AD=|AC|,|标Icos/DAC二|ACl-cosZDAC.

ZBAC=y+ZDAC>

cosZDAC=sinZBAC,

AC-AD=|AC1-lADlcosZDAC=|AC|・cos/DAC=|ACIsinZBAC.

在^ABC中，由正弦定理得1^1：=_匝J_变形得|AC|sinNBAC=|BC|sinB,

sinBsinZBAC

正•标=I菽I・I丽|cos/DAC=IAC|,cos/DAC:|ACIsinZBAC.

=|BC|sinB=|BC|.MLV3，

故答案为遮.

22.（2009•天津）若等边△ABC的边长为2«,平面内一点M满足而=工而+2日，则

63

忌语-2.

解：以C点为原点，以AC所在直线为x轴建立直角坐标系，可得

C（0,0）,A（2V3.0），B（V3.3）,

CB=（V3-3）1CA=（273，0）,

,行寺H以=（挈》

M挈》

MA=（哼，-之）'MB=（-日‘微）’

MA'MBF（立，-1）•（-近,至）=-2.

2222

故答案为：-2.

三.选择题（共2小题）

23.（2012•上海）定义向量旅（a,b）的"相伴函数"为f（x）=asinx+bcosx,函数f（x）

=asinx+bcosx的"相伴向量"为而=(a,b)(其中O为坐标原点).记平面内所有向量的“相

伴函数"构成的集合为S.

(1)设g(x)=3sin(x+—)+4sinx,求证：g(x)GS；

2

(2)已知h(x)=cos(x+a)+2cosx,且h(x)GS,求其"相伴向量”的模;

(3)已知M(a,b)(bM)为圆C：(x-2)2+y2=i上一点，向量赢的〃相伴函数〃f(x)

在x=xo处取得最大值.当点M在圆C上运动时，求tan2xo的取值范围.

【解答】解：(1)g(x)=3sin(x+—)+4sinx=4sinx+3cosx,

2

其‘相伴向量'5=(4,3),g(x)GS.

(2)h(x)=cos(x+a)+2cosx

=(cosxcosa-sinxsina)+2cosx

=-sinasinx+(cosa+2)cosx

函数h(x)的'相伴向量'0M=(~sina,cosa+2).

则(一sina)2+(cosCL+2)*.5+4cosa.

(3)成的‘相伴函数'f(x)=asinx+bcosx=^a2+2sin(x+巾),

其中cos4>=—==2=,sin<|>=—==^=.

当x+4)=2kjr+ZLkWZ时，f(x)取到最大值，故xo=2kn+工-巾，keZ.

22

TT"

tanxo=tan(2kn+——-4))=cot(b=-2,

2b

2X

2tanXQT2

tan2xo=---------------——:

1-tan2X2_b__a'

Q1-(中

bab

也为直线OM的斜率，由几何意义知：生,0）U（0,

aa3

me[-近，0)U(0,

令m=­则tan2xo=--------)

ID—-3

当-义Ism<0时，函数tan2xo=■―Jr单调递减，,O<tan2xo<V3；

3