人教数学A版选修《空间向量的数乘运算》课时活页训练

1．已知空间四边形ABCD的对角线为AC、BD，设G是CD的中点，则eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))等于()\o(AG,\s\up6(→))\o(CG,\s\up6(→))\o(BC,\s\up6(→))\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))解析：选A.如图：eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BG,\s\up6(→))＝eq\o(AG,\s\up6(→)).2．下列命题中正确的是()A．在△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0B．若p＝xa＋yb，且a，b不共线，则p与a、b共面C．向量a，b，c共面即它们所在的直线共面D．若a∥b，则存在惟一的实数λ，使a＝λb成立解析：选B.注意0与0的区别．3．已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，eq\o(OM,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))，则实数x的值为()A．1B．0C．3\f(1,3)解析：选D.∵eq\o(OM,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))，且M、A、B、C四点共面，∴x＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)＝1，x＝eq\f(1,3).故选D.4．已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内的一点P，且eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，则点P与△ABC的位置关系是()A．P在△ABC内部B．P在△ABC外部C．P在AB边上或其延长线上D．P在AC边上解析：选D.由eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，得eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，即eq\o(PA,\s\up6(→))＋(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→)))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，即eq\o(PC,\s\up6(→))＝－2eq\o(PA,\s\up6(→))，故eq\o(PC,\s\up6(→))与eq\o(PA,\s\up6(→))共线且反向，故选D.5．给出以下命题：①用分别在两条异面直线上的两条有向线段表示两个向量，则这两个向量一定不共面；②已知空间四边形ABCD，则由四条线段AB、BC、CD、DA分别确定的四个向量之和为零向量；③若存在实数x、y使得eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，则O、P、A、B四点共面；④若三个向量共面，则这三个向量的起点和终点一定共面．其中正确命题的序号是________．答案：③6．ABCD­A1B1C1D1为平行六面体，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，E、F分别是AD1、BD的中点，则eq\o(EF,\s\up6(→))＝________.解析：eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(D1A1,\s\up6(→))＋eq\o(A1A,\s\up6(→)))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(－b－c)＋a＋eq\f(1,2)(－a＋b)＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)c.答案：eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)c7．已知A、B、P三点共线，O为空间不与A、B、P共线的任意一点，eq\o(OP,\s\up6(→))＝αeq\o(OA,\s\up6(→))＋βeq\o(OB,\s\up6(→))，求实数α＋β的值．解：因为A、B、P三点共线，所以存在实数t，使eq\o(OP,\s\up6(→))＝(1－t)eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(OB,\s\up6(→))成立，令α＝1－t，β＝t，则有α＋β＝1－t＋t＝1.8．已知A，B，M三点不共线，对于平面ABM外任意一点O，分别满足下列条件时，点P是否与点A，B，M一定共面？(1)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→))＝3eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))；(2)eq\o(OP,\s\up6(→))＝4eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→)).解：(1)原式可变形为eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→)))＋(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→)))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))，即eq\o(MP,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))，由向量共面的充要条件知：点P与点A，B，M一定共面．(2)原式可变形为eq\o(OP,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))＋(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＋(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→)))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(MA,\s\up6(→))，由向量共面的充要条件的推论得：点P与点A，B，M共面的充要条件可写成eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋xeq\o(BA,\s\up6(→))＋yeq\o(MA,\s\up6(→))的形式，而此题推不出这一形式，故点P与点A，B，M不共面．设e1，e2是平面上不共线的向量，已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝2e1＋ke2，eq\o(CB,\s\up6(→))＝e1＋3e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝2e1