初中数学中考复习 第四讲 规律探究（原卷版）

总复习总复习第四讲规律探究性质及简单运用学生姓名年级学科数学教学目标1、能从给出一组具有某种特定关系的数、式、图形中通过观察、分析、推理，探求其中所蕴涵的规律，进而归纳或猜想出共同特征，发现变化的趋势；2、在解答过程中需要经历观察、归纳、猜想、试验、证明等数学活动，以加深学生对相关数学知识的理解，认识数学知识之间的联系。“规律探究类问题”是中考中的一棵常青树，一直受到命题者的青睐。这类试题要求学生有一定的数感与符号感，学生通过观察、分析、比较、概括、推理、判断等探索活动，得到图形或数式内在规律的一般通式。不仅有利于促进数学知识和数学方法的巩固和提高，也有利于自主探索，创新精神的培养。因此规律探究类问题一直成为命题的热点。1、规律探索型问题的特点：基础知识广、形式灵活善变、思维量大、解法多样化2、基本题型：数式规律、图形规律、数形结合规律等。多以填空题和选择题出现，近几年，解答题的规律探究题型开始增多。3、规律探究类问题架构：模块一模块一一阶等差规律探究规律探究——第一次做差为常数题组一规律探究——第一次做差为常数题组一一阶等差规律意思是第一次做差差为常数。主要考察对图形变化的规律观察，从图形变化转化为数字变化，从数字变化中去发掘规律。这部分内容相对简单，可以直接观察图形得出规律，也可以通过套通项公式的方法找出规律，考试中单独考察这部分的概率很小，往往与其它形式一起结合考察。1、规律分析：问题本质：前后的图形相比较，每一幅图形以恒定不变的速度保持图形增加（减少）的个数。2、一阶等差的实质：(1)(1)(2)(3)……通过观察图形可知：后一幅图形比前一幅图形多了一个在每一幅图形中，找出个数，把图形按规律表示如下：由一阶等差的实质可得规律为：。为求出的不变差，的求解可带第一组值求解。3、首差法通项公式（通法）（1）将题目的已知转为一组数据，第一个数记为以此第个数记为（2）对这组数据两两之间做差，差为一个固定常数记为，即后项—前项（3）则该类型的规律为：任意的第项满足：（4）若记不住公式，上述数据转化为坐标点，设通项公式为：，代入前2组数据，通过解一次函数方法，即可得到通项公式；例1如图所示，摆第一个“小屋子”要5枚棋子，摆第二个要11枚棋子，摆第三个要17枚棋子，则摆第30个“小屋子”要枚棋子．【规范答题】法一：通项公式法。有图可得数据做差，，，带入公式，得到：。法二：用一阶等差实质进行分析。根据题意分析可得：第1个图案中棋子的个数5个．第2个图案中棋子的个数个．．每个图形都比前一个图形多用6个．第30个图案中棋子的个数为个．故答案为：179．例2观察下列数：，，，，，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第个数是A． B． C． D．【规范答题】法一：观察分析。，，，，，由上可知，第个数是．故选：．法二：赋值思想。令，A．，A错；B．，B错；C．，C对；D．，D错。1给定一列按规律排列的数：1，，，，，则第个数为A． B． C． D．2已知下列一组数：1，，，，，；用代数式表示第个数，则第个数是A． B． C． D．3按一定规律排列的一列数依次是、1、、、、按此规律，这列数中第100个数是A． B． C． D．4如图是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案，第1个图案中有6根小棒，第2个图案中有11根小棒，，则第个图案中有根小棒．5如图是用棋子摆成的“小屋”，按照这样的方式摆下去，第6个这样的“小屋”需要枚棋子．6用形状和大小相同的黑色棋子按下图所示的方式排列，按照这样的规律，第个图形需要棋子枚．（用含的代数式表示）7如图所示，是一个水平摆放的小正方体木块，图（1）、（2）、（3）是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，至第个叠放的图形中，最下面一层小正方体木块总数应是．8下图是按一定规律排列的一组图形，依照此规律，第个图形中★的个数为．为正整数）9用同样大小的黑色五角星按图所示的方式摆图案，按照这样的规律摆下去，第99个图案需要的黑色五角星个．模块二模块二二阶等差规律探究规律探究——再差为常数题组一规律探究——再差为常数题组一再差为常数涉及二次项，通过观察数据很难观察出通项公式是多少，需要利用一定的数据分析转化。1、再差法通项公式（1）将题目的已知转为一组数据，第一个数记为以此第个记为（2）对数据求差，第一次做差的第一个结果记为，二次差的结果为一个固定常数，记为；（3）则该类型的规律为：任意的第项满足：（4）若记不住公式，可设为：，代入开始的3组数据，即可得到通项公式。例3将半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，……，依次规律，第6个图形有个小圆．【规范答题】法一：通项公式法。有图可得数据12346101624第二次做差得常数，第一次做差的第一个数带入公式计算，得到：。法一：二次函数法。设：，代入、、得：，解方程组，得，所以，10如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，第一个图形需要3个黑色棋子，第二个图形需要8个黑色棋子，，按照这样的规律摆下去，第是正整数）个图形需要黑色棋子的个数是（用含的代数式表示）．11观察下列砌钢管的横截面图，则第个图的钢管数是（用含的式子表示）12如图是由火柴棒搭成的几何图案，则第个图案中有根火柴棒。（用含的代数式表示）13将正整数按照图示方式排列，请写出“2020”在第行左起第个数．14按照如图所示的方法排列黑色小正方形地砖，则第14个图案中黑色小正方形地砖的块数是．15当等于1，2，时，由白色小正方形和黑色小正方形组成的图形分别如图所示，则第个图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数总和等于．（用表示，是正整数）模块三模块三商比法规律探究规律探究——作商为常数题组一规律探究——作商为常数题组一通过作商得到一个固定的值，则可以套通项公式求出规律。这部分内容亦可以通过观察题目所给的数据分析得到正确答案，运用观察法分析问题时需注意每一项符号之间的变化规律。1、商比法规律探究（1）将题目的已知转为一组数据，第一个数记为以此第个记为 （2）对这组数据两两之间做比，比为一个固定常数，记为；（3）则该类型的规律为：任意的第项满足：例4按一定规律排列的单项式：，，，，，，，第个单项式是A． B． C． D．【规范答题】法一：观察分析。，，，，，，，．故选：．法一：套公式。可得数据12345做比得常数，带入公式计算，得到：。因为与等价，所以选法三：赋值思想。例5如图，在△中，，，，在上，于，且，过作于，过作于，过作于，过作于则有，若在线段的右侧，则的最大值为．【规范答题】在△中，，，，由的直角三角形的性质可知，，，，由题意，可得的最大值为5，故答案为5．16按一定规律排列的单项式：x3，﹣x5，x7，﹣x9，x11，……，第n个单项式是（）A．（﹣1）n﹣1x2n﹣1B．（﹣1）nx2n﹣1 C．（﹣1）n﹣1x2n+1 D．（﹣1）nx2n+117如图，在中，，点，分别是，边的中点，点，分别是，的中点，点，分别是，的中点，按这样的规律下去，的长为为正整数）．18如图所示，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中与之间的关系是模块四模块四周期性规律探究规律探究——周期性循环题组一规律探究——周期性循环题组一周期性变化规律是中学阶段的中点内容，该部分又主要涉及两类：图形的周期性变化及数字周期重复出现。周期类型的关键是找准余数，用余数对照第一个周期内的变化。题目求的量设为，周期记为，周期数为,余数记为。则该类型的规律为：例6在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点伴随点．已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，，这样依次得到点，，，，，．若点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为；若点的坐标为，对于任意的正整数，点均在轴上方，则，应满足的条件为．【规范答题】的坐标为，，，，，，依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，余2，点的坐标与的坐标相同，为；点的坐标为，，，，，，依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，对于任意的正整数，点均在轴上方，，，解得，．故答案为：，；且．例7如图，在平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转到△的位置，点、分别落在点、处，点在轴上，再将△绕点顺时针旋转到△的位置，点在轴上，将△绕点顺时针旋转到△的位置，点在轴上，依次进行下去．若点，，则点的横坐标为．【规范答题】，，，，的横坐标为：12，且，的横坐标为：，，点的横坐标为：．故答案为：12084．19如图，在平面直角坐标系内，边长为4的等边的顶点与原点重合，将绕顶点顺时针旋转的，将四边形看作一个基本图形，将此基本图形不断复制并平移，则的坐标为．20如图，在直角坐标系中，已知点的坐标为，将线段按照逆时针方向旋转，再将其长度伸长为的2倍，得到线段；又将线段按照逆时针方向旋转，长度伸长为的2倍，得到线段；如此下去，得到线段，，，为正整数），则点的坐标为．21如图，动点从出发，沿所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹后的路径与长方形的边的夹角为，第1次碰到长方形边上的点的坐标为，则第3次碰到长方形边上的点的坐标为，第2015次碰到长方形边上的点的坐标为．22如图，在直角坐标系中，已知点，，对连续作旋转变换，依次得到三角形①、②、③、④，则三角形②直角顶点的坐标为．⑩的直角顶点的坐标为．23如图，中，，，，且边在直线上，将绕点顺时针旋转到位置①可得到点，此时；将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得到点，此时；将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，可得到点，此时；，按此规律继续旋转，直至得到点为止，则．模块五模块五推理型规律探究规律探究——推理型规律探究题组一规律探究——推理型规律探究题组一推理型规律探究中，对恒等式的规律探究以及证明往往比较容易，这部分规范性很重要；而针对反比例函数中的推理规律数形结合思想很重要，而且这部分内容综合性较强，需对函数知识点、坐标系的知识点、三角形的知识点熟练掌握。1、恒等式推理（1）这部分内容对规律发掘不是很难，可以利用前面的一阶等差和二阶等差综合分析。（2）这部分内容往往需要证明发现的恒等式。在证明中主要要体现：“左边=……=右边”的主线2、反比例函数推理（1）这部分内容实则是考察坐标系中的知识点，对反比例函数，抓住一个原则：只要有点落在反比例函数上，就需要表示点的坐标，一般先设成未知数，在列方程求解。（2）常用的知识点：①三角板中的勾股比例，这部分内容，考试时要能迅速通过成倍放大或缩小得出三边的边长。（也可以通过三角函数求出其它边长，但是对选择填空而言，用三角函数就是在浪费时间）②一次函数的快速求法：，代表直线的纵截距，看直线与轴相交的点的纵坐标。③的几何意义与面积模型的几何意义①过双曲线上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为定值.②过双曲线(≠0)上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为.例9观察下列各个等式的规律：第一个等式：，第二个等式：，第三个等式………请用上述等式反映出的规律解决下列问题：（1）直接写出第四个等式；（2）猜想第个等式（用的代数式表示），并证明你猜想的等式是正确的．【规范答题】（1）由题目中式子的变化规律可得，第四个等式是：；（2）猜想第个等式是：，证明：左边==右边，第个等式是：．例10如图，点，，点，，，点，在函数的图象上，△，△，△，，△都是等腰直角三角形，斜边、、，，都在轴上是大于或等于2的正整数），则点的坐标是；点的坐标是（用含的式子表示）．【规范答题】过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，△是等腰直角三角形，，设点的坐标为，，将点代入，可得，故点的坐标为，则，设点的坐标为，将点代入，可得故点的坐标为，，则，，设点的坐标为，，将点，代入，可得，故点的坐标为，，综上可得：的坐标为，的坐标为，，的坐标为，，总结规律可得：坐标为：，．24观察下列等式：；；；（1）猜想并写出第个等式；（2）说明你写出的等式成立的理由．25观察下列式子：（1）根据上述规律，请猜想，若为正整数，则（2）证明你猜想的结论．26如图，已知等边，顶点在双曲线上，点的坐标为．过作交双曲线于点，过作交轴于点，得到第二个等边；过作交双曲线于点，过作交轴于点，得到第三个等边；以此类推，，则点的坐标为，点的坐标为，27如图，已知△、△、△、均为等腰直角三角形，直角顶点、、、在函数图象上，点、、、在轴的正半轴上，则点的横坐标为．模块六模块六列项求和型规律探究规律探究——列项求和型题组一规律探究——列项求和型题组一列项型规律特征很明显，只要属于列项型规律，往往与之伴随的会有求和。所以要抓住列项的核心目标是可以对复杂代数式进行化