2021年中考数学真题分类汇编：专题30动点综合问题（解析版）

2021年中考数学真题分类汇编：专题30动点综合问题

一、单选题

1.（2021•广西贵港市•中考真题）如图，在AABC中，NA8C=90。，AB=8,8c=12,。为AC边上的一

个动点，连接BD,E为BD上的一个动点,连接AE,CE,当NA3O=NBCE时,线段AE的最小值是（）

【答案】B

【分析】

如图，取8c的中点T，连接AT，ET.首先证明NCEB=90°,求出AT，ET，根据AENA7—£7,

可得结论.

【详解】

解：如图，取8c的中点T，连接AT，ET.

:.ZABD+ZCBD=9Q°,

•.•ZABD=NBCE,

ZCBD+ZBCE=90°,

.•.NCEB=90。，

、：CT=TB=6,

•■•ET=；BC=6,AT=yjAB2+BT2=V82+62=10>

AE>AT-ET

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:.AE>4,

的最小值为4,

故选：B.

【点睛】

本题考查直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是求出AT，ET的长，属于中考常考

题型.

2.（2021•内蒙古中考真题）如图，在中，ZACB=90°,AC=S,BC=6,将边BC沿CN折叠，

使点B落在上的点9处，再将边AC沿CM折叠，使点A落在C8'的延长线上的点4处，两条折痕

与斜边A8分别交于点N、M,则线段4M的长为（）

【答案】B

【分析】

2432

利用勾股定理求出A8=10,利用等积法求出CN=一，从而得AN=W，再证明NNMC=NNCM=45。,

55

进而即可得到答案.

【详解】

解：ZACB=90°,AC=8,BC=6

AB=7AC2+5C2=A/62+82=10>

,；SAABC=—xABx~CN=-xACxBC

22

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♦.•折叠

：.AM=A'M,NBCN=NBtN,ZACM^ZA'CM,

•：ZBCN+ZB'CN+ZACM+ZA'CM=90°,

：.ZB'CN+ZA'CM=45°,

:.NMCN=45°,且CMLAB,

NNMC=ZNCM=45°,

24

:.MN=CN=—,

5

32248

：.A'M^AM=AN-MN=--——=-.

555

故选B

【点睛】

本题考查了翻折变换，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟练运用折叠的性质是本题的关键.

3.（2021•内蒙古中考真题）如图①，在矩形ABCO中，〃为CD边上的一点，点M从点4出发沿折线

AH-"C-CB运动到点〃停止，点N从点A出发沿A6运动到点B停止，它们的运动速度都是lcm/s,

若点M、N同时开始运动，设运动时间为f（s）,AAAW的面积为S（cn?）,已知5与，之间函数图象如图

②所示，则下列结论正确的是（）

②在运动过程中，使得为等腰三角形的点的一共有3个.

③当0＜，W6时，S=正产.

4

④当/=9+6时，AADHSAABM.

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⑤当9<『<9+3/时，S=-3t+9+343.

A.①③④B.①(§X§)C.①②④D.③④⑤

【答案】A

【分析】

由图②可知：当0<£6时，点M、N两点经过6秒时，S最大，此时点M在点”处，点N在点B处并停止

不动：由点M、N两点的运动速度为lcm/s,所以可得A”=AB=6cm,利用四边形A8CD是矩形可知CO=A8=6cm；

当6s二9时;S=96且保持不变，说明点N在8处不动，点M在线段4C上运动，运动时间为(9-6)秒，

可得HC=3cm,即点H为CD的中点；利用以上的信息对每个结论进行分析判断后得出结论.

【详解】

解：由图②可知：点"、N两点经过6秒时，S最大，此时点“在点”处，点N在点B处并停止不动，如

①•.•点M、N两点的运动速度为lcm/s,

.\AH=AB=6cm,

・・•四边形A3CO是矩形，

/.CD=AB=6cm,

当t=6s时，S=9>/3cm2,

二gxABxBC=9百.

：.BC=3yfj.

•.•当区也9时，S=9g且保持不变，

...点N在8处不动，点M在线段“C上运动，运动时间为(9-6)秒,

“C=3cm,即点”为CO的中点.

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：.BH=NCH2+BC2=6.

:.AB=AH=BH=6,

.•.△ABM为等边三角形.

，ZHAB=60°.

•.•点M、N同时开始运动，速度均为lcm/s,

：.AM=AN,

.•.当。〈也6时，4AMN为等边三角形.

故①正确；

②如图，当点M在AO的垂直平分线上时，△AOM为等腰三角形:

D__________H__________C

~~~1#、：卜一

AN--->B

此时有两个符合条件的点：

当AQ=AM时，为等腰三角形，如图

D______H_________C

K二

AN---»B

当D4=OM时，AAOM为等腰三角形，如图

>H-%c

m

ANAB

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综上所述，在运动过程中，使得ZkAOM为等腰三角形的点M一共有4个.

，②不正确；

③过点M作ME_LA8于点E,如图，

由题意：AM=AN=t,

由①知：ZHAB=60°.

在Rt^AME中，

ME

'：sinZMAE^-----,

AM

：.ME=AM・sin60°=3f,

2

：.S=—ANxME=

2224

...③正确；

④当Z=9+G时，CM=6，如图，

由①知：BC=3+，

:.MB=BC-CM=2-Ji.

'：AB=6,

.*BM2x/3g

..tanZMAB=----=,

AB63

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，ZMAB=30°.

・.・NHA8=60。，

・・・ZDA//=90°-60°=30°.

J/DAH=/BAM.

VZZ>ZB=90o,

・•・AADHsdABM.

・••④正确；

⑤当9Vf<9+3g时，此时点M在边3C上，如图,

止匕时河8=9+3君"，

・・.S=；XA8XM6=；X6X（9+3G-r）=27+9G-3f.

...⑤不正确；

综上，结论正确的有：①③④.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了动点问题的函数图象，主要涉及函数图象上点的坐标的实际意义，三角形的面积，等腰三

角形的判定，等边三角形的判定，相似三角形的判定，特殊角的三角函数值.对于动点问题，依据己知条

件画出符合题意的图形并求得相应线段的长度是解题的关键.

4.（2021•湖南中考真题）如图，点及F在矩形A8CD的对角线BO所在的直线上，BE=DF,则四边形

AECF^（）

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A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形

【答案】A

【分析】

利用三角形全等的性质得，对应边相等及对应角相等，得出一组对边平行且相等，即可判断出形状.

【详解】

解：由题意：

AD//BC,ZADB=NCBD,

/FDA=/EBC,

又AD=BC,BE=DF,

:AADF%CBE（SAS）,

:.AF=EC,

ZAFD=NCEB,：.AFHEC,

•••四边形AECT为平行四边形，

故选：A.

【点睛】

本题考查了矩形的性质，三角形全等的判定定理及性质、平行四边形的判定，解题的关键是：掌握平行四

边形判定定理，利用三角形全等去得出相应条件.

5.（2021•山东枣庄市•中考真题）如图，四边形A8CD是菱形，对角线AC,BO相交于点。，AC=,

BD=6,点P是AC上一动点，点E是AB的中点，则PD+PE的最小值为（）

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a

p

A.373B.673D.6应

【答案】A

【分析】

连接OE，先根据两点之间线段最短可得当点。,RE共线时，&)+/>£取得最小值。E，再根据菱形的

性质、勾股定理可得AB=6,然后根据等边三角形的判定与性质求出。E的长即可得.

【详解】

解：如图，连接OE，

由两点之间线段最短得：当点RRE共线时，P/D+PE取最小值，最小值为DE,

••.四边形4BCD是菱形，AC=6百，BD=6,

AB=AD,OB^-BD=3,OA=-AC=3y/3,AC±BD,

22

:.AB^y/0^+0B2=6'

AB=AD-BD=6,

.•.△ABD是等边三角形，

•••点E是AB的中点，

AE=^AB=3,DE±AB,

DE=yjALf-AE2=招-寸=373>

即PD+PE的最小值为3百，

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故选：A.

【点睛】

本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握菱形的性质是解题关键.

6.（2021•河南中考真题）如图I,矩形ABC。中，点E为BC的中点，点P沿BC从点3运动到点C,设

B,P两点间的距离为x,PA-PE=y，图2是点尸运动时随x变化的关系图象，则8c的长为（）

D.7

【答案】C

【分析】

先利用图2得出当P点位于B点时和当P点位于E点时的情况，得到AB和BE之间的关系以及AE=5,

再利用勾股定理求解即可得到BE的值，最后利用中点定义得到BC的值.

【详解】

解：由图2可知，当P点位于B点时，PA-PE=\，即A5-BE=1，

当尸点位于E点时，PA-PE=5,即A£-0=5,则AE=5,

AB2+BE2^AE2,

：.（BE+\^+BE2=AE2,

即6炉+8£—12=0,

■:BE>0

:.BE=3,

•.•点E为8C的中点，

BC=6,

故选：C.

【点睛】

本题考查了学生对函数图像的理解与应用，涉及到了勾股定理、解一元二次方程、中点的定义等内容，解

决本题的关键是能正确理解题意，能从图像中提取相关信息，能利用勾股定理建立方程等，本题蕴含了数

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形结合的思想方法.

7.（2021•山东中考真题）如图（1）,在平面直角坐标系中，矩形A8CD在第一象限，且3C〃x轴，直线

y=2x+l沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被矩形ABC。截得的线段长为。，直线在犬轴上平移

的距离为》，&、匕间的函数关系图象如图（2）所示，那么矩形ABCO的面积为（）

（1）（2）

A.75B.2逐C.8D.10

【答案】C

【分析】

根据平移的距离匕可以判断出矩形BC边的长，根据。的最大值和平移的距离匕可以求得矩形AB边的长,

从而求得面积

【详解】

如图：根据平移的距离人在4至7的时候线段长度不变，

可知图中防=7—4=3,

根据图像的对称性，AE=CF=i,

.•.3C=B尸+尸。=3+1=4

由图（2）知线段最大值为逐，即=

根据勾股定理AB=yjBE2-AE2=&舟-f=2

矩形ABCD的面积为46x8C=2x4=8

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故答案为：c

【点睛】

本题考查了矩形的面积计算，一次函数图形的实际意义，勾股定理，一次函数的分段函数转折点的意义；

正确的分析函数图像，数形结合解决实际问题是解题的关键.

8.(2021•山东中考真题)如图，在直角坐标系中，点A,B的坐标为4(0,2),8(-1,0),将AA50绕

点。按顺时针旋转得到AAiBi。，若则点4的坐标为()

A.（述，延）B.（城咨CT）,48、

D.（一,一）

55553355

【答案】A

【分析】

先求出AB,04,再作辅助线构造相似三角形，如图所示，得到对应边成比例，求出OC和4C,即可求解.

【详解】

解:如图所示，•••点A,8的坐标分别为A(0,2),B(-1,0),

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：・OB=1,OA=2f

・•・AB=，2+22=5

NA05:90。，

/.N4081=90。，

AOAilOBi,

XVAB±OBi,

：.OA\//AB.

/.Z1=Z2,

过Ai点作AiC_Lx轴，

ZAiCO=ZAOB,

：.△A05s3C0,

.A.OOCA.C

,,商一前一茄’

A1=04=2,

2_OC_\C

：飞二丁F

：.OC=|75,4c

r2754百〕

故选:A.

【点睛】

本题综合考查了勾股定理、旋转的性质、相似三角形的判定和性质等内容，解决本题的关键是理解并掌握

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相关概念，能通过作辅助线构造相似三角形等，本题蕴含了数形结合的思想方法等.

9.（202卜湖南中考真题）如图，矩形纸片438,45=4,8C=8,点M、N分别在矩形的边A。、8C上，

将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P,点。落在G处，连接PC,交MN

于点Q,连接CM.下列结论：①四边形CMPN是菱形；②点尸与点A重合时，MN=5；③APQM的

面积S的取值范围是4WSW5.其中所有正确结论的序号是（）

A.①②③B.①@C.①③D.②③

【答案】C

【分析】

根据矩形的性质与折叠的性质，证明出NPMN=NPNM,PM=PN,通过等量代换，得到PM=CN,则

由一组邻边相等的平行四边形是菱形得到结论正确；用勾股定理CN=5,CQ=；AC=2亚,由菱形的性

质对角线互相垂直，再用勾股定理求出MN=2QN=2百；当MN过点。时，最小面积

S=：S菱形c“ps=gx4x4=4,当尸点与A点重合时，S最大为S=；x5x4=5，得出答案・

【详解】

解：①如图1,

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G

图1

；PMPCN,

：.ZPMN=ZMNC,

•折叠，:.功NC=ZPNM,NC=NP

二4PMN=4PNM,

PM=PN,

：.PM=CN,

：.MP//CN,

四边形CNPM为平行四边形，

CN=NP,

...平行四边形CNPM为菱形，

故①正确，符合题意；

②当点P与A重合时，如图2所示

图2

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没BN=x,则？W=MC=8—x,

在Rt/\ABN中，AB2+BN2=AN2，

g|J42+x2=(8-x)2,

解得：x-3>

:.CN=5,AC=JAB2+BC2=4小，

：.CQ=；AC=26，

又•••四边形CNPM为菱形，

:.ACLMN,且MN=2QN,

/.QN=4CN2-CQP=石

MN=2QN=2N/5,

故②错误，不符合题意.

③当MN过点。时，如图3所示：

(M)

图3

此时，CN最短，四边形CMPN的面积最小，则S最小为S=；S菱形c“ps=(x4x4=4,

当尸点与A点重合时，CN最长，四边形CMPN的面积最大，则S最大为S=,x5x4=5,

4

.-.4<S<5,故③正确，符合题意.

故答案为：①③.

【点睛】

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本题主要考查了菱形的判定与性质、折叠问题、勾股定理的综合应用，熟练掌握菱形的判定定理与性质定

理、勾股定理是解决本题的关键.

10.（2021•山东中考真题）如图，AABC是边长为1的等边三角形，。、E为线段4C上两动点，且

NDBE=30°,过点E分别作Ab、8c的平行线相交于点尸，分别交BC、A5于点”、G.现有以下

结论：①5,%=乎；②当点。与点C重合时，FH=g；③AE+CD=6DE;④当A£=C。时，四

边形B/Z尸G为菱形，其中正确结论为（）

A.①②③B.①0④C.①②③④D.②③④

【答案】B

【分析】

过A作A/LBC垂足为/,然后计算AABC的面积即可判定①；先画出图形，然后根据等边三角形的性质和

相似三角形的性质即可判定②；如图将绕B点逆时针旋转60。得到“8M求证但DE；再延长EA

至I」尸使4P=CD=AM证得NP=60。，NP=AP=CD,然后讨论即可判定③；如图1,当AE=C£＞时，根据题意

求得C〃=C£＞、AG=CH,再证明四边形8//FG为平行四边形，最后再说明是否为菱形.

【详解】

解：如图1,过A作A/，8c垂足为/

AABC是边长为1的等边三角形

NBAC=NABC=NC=60。，CI=-BC=-

22

旦

2

S^ABC——AI*BC——x1x---=~—•，故①正确;

2224

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A

图1

如图2,当。与C重合时

VZDB£=30°,AABC是等边三角形

NDBE=NABE=3Q。

J.DE^AE^-AD=-

22

'.,GE//BD

BGDE,

.•----------1

AGAE

1i1

：.BG=-AB=-

22

'：GF//BD,BG//DF

・・."b=8G="!"，故②正确；

2

图2

如图3,将△ACO绕B点逆时针旋转60。得到

AZ1=Z2,Z5=Z6=60°,AN=CD,BD=BN

Z3=30°

AZ2+Z4=Z1+Z4=3O°

・・・Z7VBE=Z3=3O°

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又•：BD=BN,BE=BE

:ANBE乌/XDBE(SAS)

：.NE=DE

延长EA到P使AP=CD=AN

9：ZNAP=180o-60°-60o=60°

•••△ANP为等边三角形

AZP=60°,NP=AP=CD

如果AE+CQ二eOE成立，则PE=6NE濡NNEP=90。,但NNEP不一定为90。，故③不成立;

如图1,当AE=CO时，

■:GE//BC

：.ZAGE=ZABC=60°,ZGEA=ZC=60°

：.ZAGE=ZAEG=60°,

：.AG=AE

同理：CH二CD

：.AG=CH

■:BG〃FH,GF〃BH

・•・四边形BHFG是平行四边形

,:BG=BH

・・・四边形8”FG为菱形，故④正确.

故选民

【点睛】

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本题主要考查了等边三角形的性质、旋转变换、全等三角形的判定和性质以及菱形的判定等知识点，灵活

运用相关知识成为解答本题的关键.

11.（2021•甘肃中考真题）如图1,在AABC中，45=5。,3。_1_4。于点。（4）>3。）.动点M从A

点出发，沿折线AB—方向运动，运动到点C停止.设点M的运动路程为的面积为与x

的函数图象如图2,则AC的长为（）

A.3B.6C.8D.9

【答案】B

【分析】

从图象可知，AB=8C=，点仞运动到点B位置时，-43的面积达到最大值尸3,结合等腰三

角形的“三线合一'’的性质、三角形的面积公式和勾股定理可求得AC的长.

【详解】

解：根据函数图象可知，点M的运动路程x=AB+BC=2/5,点M运动到点B的位置时，640。的

面积y达到最大值3,即648。的面积为3.

VAB=BC,BDLAC,

：.AB=BC=后,AC=2AD,-ADQBD=3.

2

AAD2+BD-=AB'=（V13）2=13,2AD2BD=.

AD2+2AETJBD+BD2=+=，即：（AD+BP）2=25,

AD2-2AD2BD+BD2=-=，即：（AD-BD）2=1.

•/AD>BD,

/.AD+BD=5,AD—BD=1.

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两式相加，得，2A£）=6.

：.AC^2AD=6.

故选：B

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、等式的性质与恒等变形、函数图象等知识点，从函数图象中获

取相应的信息，利用勾股定理和三角形的面积公式，进行等式的恒等变形是解题的关键.

12.（2021•四川中考真题）如图，在AABC中，ZACB^90°,4c=BC=4,点。是BC边的中点，

点尸是AC边上一个动点，连接PD,以PD为边在PD的下方作等边三角形尸。。，连接CQ.则CQ的

最小值是（）

A.—B.1C.J2D.-

22

【答案】B

【分析】

以C。为边作等边三角形CDE,连接E。，由题意易得NPOC=NQOE,PD=QD,进而可得

则有/PC£>=/QED=90。，然后可得点。是在QE所在直线上运动，所以C0的最小值为CQ_LQE时，最后

问题可求解.

【详解】

解：以CD为边作等边三角形CDE,连接EQ,如图所示：

第21页共80页

VAPOQ是等边三角形，

ZCED=ZPDQ=ZCDE=60°,PD=QD,CD=ED,

♦.•NC£>Q是公共角，

二NPDC=/QDE,

:APCD之AQED（SAS）,

VZACB=90°,AC=3C=4,点。是边的中点，

AZPCD=ZQED=90°,CD=DE=CE=；BC=2,

；•点Q是在QE所在直线上运动，

.•.当CQLQE时，CQ取的最小值，

ZQEC=90°-ZCED=30°,

二CQ=^CE=1;

故选B.

【点睛】

本题主要考查等边三角形的性质、含30。直角三角形的性质及最短路径问题，熟练掌握等边三角形的性质、

含30。直角三角形的性质及最短路径问题是解题的关键.

13.（2021•四川中考真题）如图，已知点P是菱形A8CO的对角线AC延长线上一点，过点尸分别作A。、

。。延长线的垂线，垂足分别为点E、F.若NABC=120°,AB=2,则产后一尸£的值为（）

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ADE

35

A.-B.Vr3C.2D.-

22

【答案】B

【分析】

根据菱形的基性质，得到NR1E=3O。，，利用勾股理求出AC=26，则+PC,尸合;AP=Jj+；

PC,由/尸CF=N£>CA=30。，得至lJPF=Lpc,最后算出结果.

2

【详解】

解：：四边形4BC。是菱形且NA8C=120。，AB=2,

：.AB=BC^CD=DA^2,ZBAD=60°,ACYBD,

：.ZCAE=30°,

,：AC1.BD,ZCAE=30°,AD=2,

：.AC=2位手=2#),

：.AP=2y[3+PC,

在直角AAE尸中，

VZPAE=30°,AP=26+PC，

：.PE=—AP=J3+—PC,

22

在直角△尸FC中，

NPC尸=30。，

:.PF=LPC,

2

:.PE-PF=6+gpC-』PC=6,

故选：B.

【点睛】

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本题主要考查了菱形的基本性质、勾股定理的应用以及在直角三角形中，30。角所对的直角边等于斜边的一

半，关键会在直角三角形中应用30。.

14.(2021•江苏南通市•中考真题)如图，四边形ABCO中，AB//DC,DE±AB,CF±AB,垂足分别

为E,F,且A£=EE=FB=5cm,DE=12cm.动点尸，。均以lcm/s的速度同时从点A出发，其中

点尸沿折线AD-。C-CB运动到点8停止，点。沿A3运动到点5停止，设运动时间为f(s),AAPQ的

面积为y(cm?),则y与r对应关系的图象大致是()

【分析】

分四段考虑，①点尸在AO上运动，②点尸在。C上运动，且点。还未到端点8,③点尸在OC上运动,

且点。到达端点B,④点P在BC上运动，分别求出y与f的函数表达式，继而可得出函数图象.

【详解】

第24页共80页

解：在Rt^ADE中AD=7AE2+DE2=13（c/«）>

在/?/△CFB中,BC--JBF2+CF2=13（的），

AB=AE+EF+FB=15（cm）,

①点P在A。上运动，AP=t,AQ=t,BP0<r<13.

如图，过点P作PGLAB于点G,

sinA=---=----,则PG=­/(0<f<13),

DAPA13

16,

此时y=]AQxPG=£产13),图象是一段经过原点且开口向上的抛物线;

②点尸在。C上运动，且点。还未到端点8,即13<，<15,

此时产;AQx£>E=6f(13</<15),图象是一段线段；

③点P在。C上运动，且点。到达端点8,即15W/W18,

④点尸在BC上运动，PB=3l-t,即18</W31,

第25页共80页

如图，过点P作尸于点H,

sinB=—=—,则PH=U(31—f),

BCPB13v7

此时产LA3xPH=-22f+UZ2(18<fW31),图象是一段线段;

■21313

综上，只有D选项符合题意，

故选：D.

【点睛】

本题考查了动点问题的函数图象，解答本题的关键是分段讨论y与t的函数关系式，

15.（2021•广西中考真题）图（1）,在中，NA=90°,点P从点A出发，沿三角形的边以1cm/

秒的速度逆时针运动一周，图（2）是点P运动时，线段”的长度y（cm）随运动时间x（秒）变化的

关系图象，则图（2）中P点的坐标是（）

A.（13,4.5）B.（13,4.8）C.(13,5)D.(13,5.5)

【答案】C

【分析】

由图象及题意易得AB=8cm,A8+8C=18cm,则有BC=10cm,当413s时，点尸为BC的中点，进而根据直

角三角形斜边中线定理可求解.

【详解】

第26页共80页

解：由题意及图象可得：

当点P在线段4B上时，则有AP=lxx=_xcm,AP的长不断增大，当到达点B时，AP为最大，所以此时

AP=AB=8cm；

当点P在线段2c上时，由图象可知线段4s的长度y先随运动时间X的增大而减小，再随运动时间X的增

大而增大,当到达点C时,则有AB+8C=18cm,即BC=10cm,由图象可知当时间为13s时,则BP=13-8=5cm,

此时点P为8c的中点，如图所示：

•••44=90°,

AP=—BC=5cm，

2

.♦•P点的坐标是（13,5）；

故选C.

【点睛】

本题主要考查勾股定理、直角三角形斜边中线定理及函数图象，解题的关键是根据函数图象得到相关信息，

然后进行求解即可.

16.（湖南省郴州市2021年中考数学试卷）如图，在边长为4的菱形ABCD中，NA=60°.点P从点A出

发，沿路线AfBfCf0运动.设P点经过的路程为x,以点A,D,P为顶点的三角形的面积为丫，

则下列图象能反映与x的函数关系的是（）

第27页共80页

【答案】A

【分析】

过点B作BELAD于点E,由题意易得AB=AD=BC=4,BE=2JL当点P从点A运动到点B时,“CP

的面积逐渐增大，当点P在线段BC上时，AAOP的面积保持不变，当点P在C。上时，△ACP的面积逐渐

减小，由此可排除选项.

【详解】

解：过点8作BEL4D于点E,如图所示：

•.•边长为4的菱形ABCD中，ZA=60°,

/•AB=AD=BC=4,

ZABE=30°,

・・・AE=2,

BE=2百,

当点尸从点A运动到点B时，AAOP的面积逐渐增大，点P与点B重合时，AAOP的面积最大，最大为

S.ADP=3ADBE=46

当点P在线段8c上时，AAO尸的面积保持不变；

第28页共80页

当点尸在8上时，AAOP的面积逐渐减小，最小值为0；

.•.综上可得只有A选项符合题意；

故选A.

【点睛】

本题主要考查函数图象及菱形的性质、勾股定理，熟练掌握函数图象及菱形的性质、勾股定理是解题的关

键.

17.（2021•新疆中考真题）如图，在矩形45co中，AB=8cm,AO=6cm.点P从点A出发，以2cm/s

的速度在矩形的边上沿运动，当点尸与点O重合时停止运动.设运动的时间为t（单位：

s）,的面积为S（单位：cm?）,则S随，变化的函数图象大致为（）

|Scm2f&cm2AScm2

14Scm?.

【答案】D

【分析】

分点P在48上运动,0WV4；点尸在上运动,4〈注7；点P在CO上运动,7〈注11,分别计算即可

【详解】

当点P在AB上运动时,S=；xAZ）xAP=gx6x2f=6t,

0</<4；

当点P在BC上运动时,S=1xAOx£）C=2x6x8=24,

4</<7；

22

点P在CD上运动,S=gx4£）xA尸=gx6x（22-2f）=

66-6/,7</<11,

第29页共80页

故选D

【点睛】

本题考查了矩形中的动点面积函数图像问题，正确进行分类，清楚函数图像的性质是解题的关键.

18.（2021•山东中考真题）如图，四边形A3C。中，已知A8〃C。，AB与CD之间的距离为4,40=5,

CD=3,ZABC=45°,点P,。同时由4点出发，分别沿边48,折线AOC5向终点8方向移动，在移动

过程中始终保持PQLA5,已知点P的移动速度为每秒1个单位长度，设点P的移动时间为x秒，3Q

的面积为山则能反映y与x之间函数关系的图象是（）

【答案】B

【分析】

依次分析当0WtW3、3<t<6,6<f410三种情况下的三角形面积表达式，再根据其对应图像进行判断即

可确定正确选项.

【详解】

解：如图所示，分别过点。、点C向AB作垂线，垂足分别为点E、点尸，

已知AB〃CD,AB与CD之间的距离为4,

:.DE=CF=4,

•••点P，Q同时由A点出发，分别沿边AB,折线AOC8向终点8方向移动，在移动过程中始终保持PQJ_

AB,

:.PQ〃DE〃CF,

'：AD=5,

AE=\lAD2-DE2=3，

.•.当()WfW3时，尸点在AE之间，此时，AP=t,

..AP_PQ

'~AE~~DE'

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4

/.pQ=~^

：.S.=-AP-PQ^-x-t=~t2,

.APpOo2233

2

因此，当0。<3时、其对应的图像为y=不2(04Y3),故排除C和D；

VCD=3,

：.EF=CD=3,

.•.当3<rW6时，P点位于EF上，止匕时，。点位于。C上，其位置如图中的P。I,则S.MQ,=gX4x/=21,

因此当3</W6时，对应图像为y=2/(3</W6),即为一条线段；

•?NA8C=45。，

：.BF=CF=4,

AAB=3+3+4=10,

・••当6v”10时,P点位于FB上,其位置如图中的P2Q2,此时，尸28=10",

同理可得，Q2P2二尸25=10-/,

SAPC=-x(10—=—产+5，，

△八仁丫22'/2

因此当6<Y10时，对应图像为y=-3*+5/(6</<10),其为开口向下的抛物线的6<Y10的一段图像;

故选：B.

【点睛】

本题考查了平行线分线段成比例的推论、勾股定理、平行线的性质、三角形的面积公式、二次函数的图像

等内容，解决本题的关键是牢记相关概念与公式，能分情况讨论等，本题蕴含了数形结合与分类讨论的思

想方法等.

第31页共80页

二、填空题

19.（2021•内蒙古中考真题）如图，已知正方形ABC。的边长为6,点尸是正方形内一点，连接CE。77,

且=点£是AO边上一动点，连接EB,EF,则£8+防长度的最小值为.

【答案】3V13-3

【分析】

根据正方形的性质得到/4DC=90。，推出NDFC=90。，点F在以。C为直径的半圆上移动，，如图，设C。

的中点为0,作正方形ABCO关于直线AO对称的正方形APGD,则点B的对应点是P,连接P。交AO于

E,交半圆。于凡则线段FP的长即为BE+FE的长度最小值，根据勾股定理即可得到结论.

【详解】

解：：四边形ABCD是正方形，

二ZADC=90°,

二ZADF+ZCDF=90°,

,:ZADF=ZDCF,

：.ZDCF+ZCDF=90°,

：.ZDFC=90°,

...点尸在以DC为直径的半圆上移动，

如图，设。的中点为。，作正方形ABCQ关于直线AD对称的正方形APGZ）,则点B的对应点是P,

连接尸。交AO于E,交半圆。于F,则线段口的长即为BE+FE的长度最小值，0F=3,

VZG=90°,PG=OG=AB=6,

二0G=9,

。叫y]PG2+OG2=A/62+92=3万，

AFP=3713-3,

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J.BE+FE的长度最小值为3旧-3,

故答案为：3厉-3.

【点睛】

本题考查了轴对称-最短路线问题，正方形的性质，勾股定理以及圆的基本性质.凡是涉及最短距离的问题，

一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点.

20.（2021•辽宁中考真题）如图，将正方形纸片ABCD沿PQ折叠，使点C的对称点E落在边A8上，点

。的对称点为点F,EF交AD于点G,连接CG交PQ于点"，连接CE.下列四个结论中：①

△PBESAQFG；②S△.=%CBE+S四边形CDQH；③EC平分NBEG；@EG2-CH2=GQGD,正确

的是（填序号即可）.

第33页共80页

【答案】①③④.

【分析】

①用有两个角对应相等的两个三角形相似进行判定即可；

②过点C作CM_LEG于M,通过证明进而说明aCMG四△CQG,可得

SAC£G=SA8EC+SAC0G>SABEC+S四边舷CDQH;

③由折叠可得:NGEC=NOCE,由AB〃C。可得/BEC=/£»CE,结论③成立；

④连接MH,HE,由△BEC空△A/EC,ACMG乌/XCOG可知：/BCE=NMCE,/MCG=/DCG,则N

ECG=NECM+NGCM=L/BCD,由于ECJ_HP,则NC”尸=45。，由折叠可得:NE”P=NC〃P=45。，利用勾

2

股定理可得E^E^GH2,由CMLEG,EHLCG,得到NEMC=N£”C=90。，所以E,M,H,C四点共

圆，通过易证AGHQsAGDH,则得G"二GQ-G£>,从而说明④成立.

【详解】

解：①;四边形A8CO是正方形，

；・NA=NB=N5CO=NO=90。由折叠可知：

ZGEP=ZBCD=90°,ZF=ZD=90

・・・/BEP+NAEG=90。,

VZA=90°

・•・ZAEG+ZAGE=90°,

・・・/BEP=/AGE,

•・•NFGQ=NAGE,

：.ZBEP=ZFGQf

•/ZB=ZF=90,

第34页共80页

•••△PBJQFG,

故①说法正确，符合题意；

②过点。作。用，七6于M,

由折叠可得:NGEC=NDCE,

*：AB//CD,

：.ZBEC=ZDCE,ZBEC=ZGEC,

在ABEC和△"£<?中，

VNB=NEMC=90。,NBEC=NGEC,CE=CE

：./\BEC^/\MEC(AAS)

♦・CB=CMiSABEC^S&MBC,

VCG=CG,

・・・RtLCMG^Rt^CDG(HL),

••S△CMG~S△CDG，

：・SACEG=SABELSACD6>S&BEC+S四边形CDQH

・••②说法不正确，不符合题意；

③由折叠可得:NGEC=NQCE,

■:AB//CD,

：.ZBEC=ZDCE,

：.ZBEC=ZGEC,即EC平分NBEG

・・・③说法正确，符合题意；

④连接Q",MH,如图：

〈△BEC咨AMEC,ACMG^ACDG,

第35页共80页

:・/BCE=NMCE,NMCG=/DCG,

：.ZECG=ZECM+ZGCM=-ZBCD=45°,

2

•；EC上HP,

：.NCHP=45。,

：.GHQ=NCHP=45。,

由折叠可得:NEHP=ZCHP=45°,

：.EH±CG

：.EG2

由折叠可知:E/仁CH

:・EG-CH1=G%

VCM1EG,EHLCG,

：.ZEMC=ZEHC=90°,

：.E,M,H,C四点共圆，

・・・NHMC=/HEC=45。,

在ACM”和AC。“中，

VCM=CD,NMCG=NDCG,CH=CH

：.△CMHgLCDHBAS)

：./CDH=/CMH=45°,

•?ZCDA=90°,

・・・NGDH=45。

'：/GHQ=NCHP=45。,

：.ZGHQ=ZGDH=45°f

•?ZHGQ=ZDGH9

:•△GHQSXGDH,

.GQGH

••一)

GHGD

：.GH^GQ-GD

GEr-C^GQGD

故④说法正确，符合题意；

笫36页共80页

综上可得，正确的结论有:①③④

故答案为：①③④.

【点睛】

本题主要考查了正方形的性质、翻折问题、勾股定理、三角形全等的判定与性质、三角形的相似的判定与

性质.翻折问题是全等变换，由翻折得到对应角相等，对应边相等是解题的关键.

21.（2021•江苏中考真题）如图，在中，NB4c=90°,AB=2亚,AC=6,点E在线段AC