2021-2022学年山东省德州市高三（上）期末数学试卷

2021-2022学年山东省德州市高三（上）期末数学试卷试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）设全集为R，集合A={x||x|≥1}，B={x|lgx≤0}，则（∁RA）∪B=（）A.（0，1]B.（-1，1]C.（-1，1）D.（-∞，1]2.（单选题，5分）已知复数z满足，其中i为虚数单位，则复数z在复平面内所对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.（单选题，5分）已知向量=（1，x），=（x，9），则x＜0是＜，＞为钝角的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.（单选题，5分）已知函数，则函数f（x）的大致图象为（）A.B.C.D.5.（单选题，5分）若函数f（x）=sinωx-cosωx，ω＞0，x∈R，又f（x1）=2，f（x2）=0，且|x1-x2|的最小值为，则ω的值为（）A.B.C.4D.6.（单选题，5分）已知圆O：x2+y2=9，直线l：ax+by=a+2b（a，b∈R）与两坐标轴交点分别为M，N，当直线l被圆O截得的弦长最小时，|MN|=（）A.B.C.D.7.（单选题，5分）《算数术》是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“困盖”的术：置如其周，令相乘也，叉以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与h，当圆周率π近似取3时，其体积V的近似公式．现有一圆锥，其体积的近似公式，侧面积为其轴截面面积的3倍，母线长为4，则此圆锥的高为（）A.4B.C.D.8.（单选题，5分）设函数f（x）在R上的导函数为f'（x），若f'（x）＞f（x）+1，f（x）+f（a-x）=2，f（a）=5，则不等式f（x）+2ex+1＜0的解集为（）A.（0，2）B.（3，5）C.（-∞，0）D.（0，+∞）9.（多选题，5分）已知，则下列结论正确的是（）A.f（x）的展开式中常数项是15B.f（x）的展开式中各项系数之和是0C.f（x）的展开式中的二项式系数最大值是15D.f（x）的展开式中不含x4的项10.（多选题，5分）定义在区间（-∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{an}，{f（an）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”．下列函数是“保等比数列函数”的为（）A.f（x）=x3B.f（x）=2xC.f（x）=|x|D.f（x）=ln|x|11.（多选题，5分）已知a＞0，b＞0，2a+b=ab，则下列结论正确的是（）A.a+b的最小值为B.a2+b2的最小值为16C.的最大值为D.lga+lgb的最小值为3lg212.（多选题，5分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|AF2|+|BF2|的最大值为5，则下列说法正确的是（）A.椭圆的短轴长为B.当|AF2|+|BF2|最大时，|AF2|=|BF2|C.椭圆离心率为D.△ABF2面积最大值为13.（填空题，5分）某研究机构采访了“一带一路”沿线20国的青年，让他们用一个关键词表达对中国的印象，使用频率前12的关键词为：高铁、移动支付、网购、共享单车、一带一路、无人机、大熊猫、广场舞、中华美食、长城、京剧、美丽乡村．其中使用频率排前四的关键词“高铁、移动支付、网购、共享单车”也成为了他们眼中的“新四大发明”．从这12个关键词中选择3个不同的关键词，且至少包含一个“新四大发明”关键词的选法种数为___（用数字作答）．14.（填空题，5分）写出一个同时满足①②的函数f（x）=___．

①f（x）是偶函数；

②f（x+2）=-f（x）．15.（填空题，5分）设F1、F2为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，以OF2为直径的圆与该双曲线C的一条渐近线交于O，P两点，若∠OPF1=45°，则C的离心率为___．16.（填空题，5分）如图，在四棱锥P-ABCD的平面展开图中，四边形ABCD是矩形，△ABE是等边三角形，AD⊥AH，AD=1，AB=2．则平面展开图中sin∠GCF=___，四棱锥P-ABCD的外接球半径为___．17.（问答题，10分）已知等差数列{an}中，d=4，首项a1＞0，其前四项中删去某一项后（按原来的顺序）恰好是等比数列{bn}的前三项．

（1）求{an}的通项公式；

（2）设{an}中不包含{bn}的项按从小到大的顺序构成新数列{cn}，记{cn}的前n项和为Sn，求S20．18.（问答题，12分）在①；②（a+b）（sinA-sinB）=（b+c）sinC；③=asinB三个条件中任选一个补充在下面横线上，并解决问题．

问题：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足____．

（1）求角A；

（2）若A的角平分线AD长为1，且b+c=6，求sinBsinC的值．19.（问答题，12分）已知抛物线C的顶点是坐标原点O，对称轴为x轴，焦点为F，抛物线上点A的横坐标为1，且．

（1）求抛物线C的方程；

（2）过抛物线C的焦点作与x轴不垂直的直线l交抛物线C于两点M，N，直线x=1分别交直线OM，ON于点A和点B，求证：以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点．20.（问答题，12分）环保生活，低碳出行，新能源电动汽车正成为人们购车的热门选择．某型号电动汽车，在一段平坦的国道进行测试，国道限速80km/h（不含80km/h），经多次测试得到，该汽车每小时耗电量M（单位：Wh）与速度v（单位km/h）的下列数据：v102060M162530009000为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下两种函数模型供选择：M（v）=v3+bv2+cv，M（v）=800+a．

（1）当0≤v＜80时，请选出符合表格所列数据实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；

（2）现有一辆同型号汽车从A地驶到B地，前一段是160km的国道，后一段是100km的高速路．若已知高速路上该汽车每小时耗电量N（单位：Wh）与速度的关系是：N（v）=2v2-10v+200（80≤v≤120），则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？（假设在两段路上分别匀速行驶）21.（问答题，12分）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC=4，CC1=2，点Q为BC的中点，平面AQC1⊥平面BCC1B1．

（1）证明：AQ⊥平面BB1C1C；

（2）若直线AC与平面AQC1所成角的大小为30°，求锐二面角Q-AC1-C的大小．22.（问答题，12分）已知函数．

（1）若f（x）在x=2处的切线斜率为，求实数a的值；

（2）当时，判断f（x）的极值点个数；

（3）对任意，有f（x）≤1，求a的取值范围．

2021-2022学年山东省德州市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）设全集为R，集合A={x||x|≥1}，B={x|lgx≤0}，则（∁RA）∪B=（）A.（0，1]B.（-1，1]C.（-1，1）D.（-∞，1]【正确答案】：B【解析】：可求出集合A，B，然后进行补集和并集的运算即可．

【解答】：解：∵A={x|x≤-1或x≥1}，B={x|0＜x≤1}，

∴∁RA=（-1，1），（∁RA）∪B=（-1，1]．

故选：B．

【点评】：本题考查了绝对值不等式的解法，对数函数的定义域和单调性，并集和补集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.（单选题，5分）已知复数z满足，其中i为虚数单位，则复数z在复平面内所对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【正确答案】：A【解析】：由已知化简出复数z的关系式，由此即可求解．

【解答】：解：因为复数z满足，

则|2-i|=z（1-i），所以z===，

则复数z在复平面内所对应的点为（），在第一象限，

故选：A．

【点评】：本题考查了复数的运算性质，涉及到复数对应点所在象限问题，属于基础题．3.（单选题，5分）已知向量=（1，x），=（x，9），则x＜0是＜，＞为钝角的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：B【解析】：根据题意，由数量积的性质分析＜，＞为钝角时x的取值范围，由此结合充分必要条件的定义分析可得答案．

【解答】：解：根据题意，向量=（1，x），=（x，9），若＜，＞为钝角，则•＜0且与不共线，

则有，解可得x＜0且x≠-3，

故当x＜0时，＜，＞不一定是钝角，反之若＜，＞为钝角，必有x＜0，

故x＜0是＜，＞为钝角的必要不充分条件，

故选：B．

【点评】：本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角的分析，属于基础题．4.（单选题，5分）已知函数，则函数f（x）的大致图象为（）A.B.C.D.【正确答案】：D【解析】：先确定该函数的奇偶性，再代入特殊值，即可解出．

【解答】：解：由题意知函数f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），

且f（-x）=ln（）+=ln+=-[ln（）-]=-f（x），

所以函数f（x）为奇函数，图像关于原点对称，

当x=时，f（）=ln（）-10＜0，

故选：D．

【点评】：本题考查了函数的性质与图象，学生的数学运算能力，属于基础题．5.（单选题，5分）若函数f（x）=sinωx-cosωx，ω＞0，x∈R，又f（x1）=2，f（x2）=0，且|x1-x2|的最小值为，则ω的值为（）A.B.C.4D.【正确答案】：A【解析】：直接利用三角函数的关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质求出结果．

【解答】：解：函数f（x）=sinωx-cosωx=2sin（ωx-），

由于f（x1）=2，f（x2）=0，且|x1-x2|的最小值为=，

整理得：T=，

所以ω=；

故选：A．

【点评】：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．6.（单选题，5分）已知圆O：x2+y2=9，直线l：ax+by=a+2b（a，b∈R）与两坐标轴交点分别为M，N，当直线l被圆O截得的弦长最小时，|MN|=（）A.B.C.D.【正确答案】：C【解析】：根据已知条件，先求出直线l的定点P，再结合圆的性质可知，当直线l⊥OP时，直线l被圆O截得的弦长最小，即可求解．

【解答】：解：∵直线l：ax+by=a+2b，即a（x-1）+b（y-2）=0，

∴直线恒过定点P（1，2），

又∵圆O：x2+y2=9，

∴由圆的性质可知，当直线l⊥OP时，直线l被圆O截得的弦长最小，

∵kOP=2，，kOP•kl=-1，

∴，

∵直线l：ax+by=a+2b（a，b∈R），令x=0，则y=，

∴，

令y=0，则x=1+，即N（5，0），

∴．

故选：C．

【点评】：本题主要考查直线与圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题．7.（单选题，5分）《算数术》是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“困盖”的术：置如其周，令相乘也，叉以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与h，当圆周率π近似取3时，其体积V的近似公式．现有一圆锥，其体积的近似公式，侧面积为其轴截面面积的3倍，母线长为4，则此圆锥的高为（）A.4B.C.D.【正确答案】：B【解析】：先由圆锥的体积公式，结合V≈，求出，再由侧面积为其轴截面面积的3倍，能求出结果．

【解答】：解：设圆锥的底面半径为r，则圆锥的体积为V=，

∵V≈=，

∴，

解得，

圆锥的侧面积为=4πr，

轴截面面积为=rh，

∴4πr=3rh，

∴h=≈=．

故选：B．

【点评】：本题以数学文化为载体考查圆锥的体积的求法，考查圆锥底面周长、圆周率、侧面积、轴截面面积等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．8.（单选题，5分）设函数f（x）在R上的导函数为f'（x），若f'（x）＞f（x）+1，f（x）+f（a-x）=2，f（a）=5，则不等式f（x）+2ex+1＜0的解集为（）A.（0，2）B.（3，5）C.（-∞，0）D.（0，+∞）【正确答案】：C【解析】：令g（x）=，求导得g（x）在R上单调递增；由f（x）+f（a-x）=2，f（a）=5，可求得g（0）=-2，然后将不等式f（x）+2ex+1＜0等价转化为g（x）＜g（0），利用g（x）的单调性脱“g”即可求解．

【解答】：解：令g（x）=，

∵f′（x）＞f（x）+1，

∴g′（x）=＞0，

∴g（x）在R上单调递增①．

∵f（x）+f（a-x）=2，且f（a）=5，

∴f（0）=2-f（a）=-3，∴g（0）==-2，

∴不等式f（x）+2ex+1＜0⇔f（x）+1＜-2ex⇔＜-2，

即g（x）＜g（0），由①得x＜0，

故不等式f（x）+2ex+1＜0的解集为（-∞，0）．

故选：C．

【点评】：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查等价转化思想及构造法，考查逻辑思维能力与运算求解能力，属于中档题．9.（多选题，5分）已知，则下列结论正确的是（）A.f（x）的展开式中常数项是15B.f（x）的展开式中各项系数之和是0C.f（x）的展开式中的二项式系数最大值是15D.f（x）的展开式中不含x4的项【正确答案】：ABD【解析】：求出展开式的通项公式，分别进行判断即可．

【解答】：解：展开式的通项公式为Tk+1=C（x2）6-k（-）k=（-1）kCx12-3k，

由12-3k=0得k=4，则常数项为T5==15，故A正确，

令x=1得各项系数和为0，故B正确，

展开式共有7项，则二项式系数最大的为第四项，二项式系数为=20，故C正确，

由12-3k=4得3k=8，k=不是整数，故f（x）的展开式中不含x4的项，故D正确．

故选：ABD．

【点评】：本题主要考查二项式定理的应用，求出展开式的通项公式利用通项公式分别进行判断是解决本题的关键，是中档题．10.（多选题，5分）定义在区间（-∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{an}，{f（an）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”．下列函数是“保等比数列函数”的为（）A.f（x）=x3B.f（x）=2xC.f（x）=|x|D.f（x）=ln|x|【正确答案】：AC【解析】：根据题意，依次分析4个函数是不是“保等比数列函数”，综合可得答案．

【解答】：解：根据题意，依次分析4个函数：

对于A：f（x）=x3，若{an}等比，设其公比为q，

则f（an）=（an）3，则有=，数列{f（an）}仍是等比数列，则{an}是“保等比数列函数”；

对于B：f（x）=2x，若{an}等比，设其公比为q，

则f（an）=2，则有==2，数列{f（an）}不是等比数列，则{an}不是“保等比数列函数”；

C：f（x）=|x|，若{an}等比，设其公比为q，

则f（an）=|an|，则有==|q|，数列{f（an）}仍是等比数列，则{an}是“保等比数列函数”；

D：f（x）=ln|x|，若{an}等比，设其公比为q，

则f（an）=ln|an|，则有=，数列{f（an）}不是等比数列，则{an}不是“保等比数列函数”；

其中是“保等比数列函数”的有AC，

故选：AC．

【点评】：本题考查等比数列的判断，涉及函数与数列的关系，属于基础题．11.（多选题，5分）已知a＞0，b＞0，2a+b=ab，则下列结论正确的是（）A.a+b的最小值为B.a2+b2的最小值为16C.的最大值为D.lga+lgb的最小值为3lg2【正确答案】：ACD【解析】：由已知结合基本不等式及相关结论分别检验各选项即可判断．

【解答】：解：因为a＞0，b＞0，2a+b=ab，即，

所以a+b=（a+b）（）=3+，当且仅当且，即a=1+，b=2+时取等号，

此时a+b取得最小值3+2，A正确；

因为ab=2a+b=（2a+b）（）=4+=8，当且仅当且2a+b=ab，即a=2，b=4时取等号，此时ab取最小值8，

所以Lga=+lgb=lgab取得最小值lg8=3lg2，D正确；

因为a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时取等号），ab≥8（当且仅当a=2，b=4时取等号），

所以a2+b2＞16，B错误；

（）2=1+2=2，当且仅当=，即a=2，b=4时取等号，此时取得最大值，C正确．

故选：ACD．

【点评】：本题主要考查了基本不等式及相关结论在求解最值中的应用，属于中档题．12.（多选题，5分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|AF2|+|BF2|的最大值为5，则下列说法正确的是（）A.椭圆的短轴长为B.当|AF2|+|BF2|最大时，|AF2|=|BF2|C.椭圆离心率为D.△ABF2面积最大值为【正确答案】：BC【解析】：根据椭圆的定义得到|AF2|+|BF2|+|AB|=4a=8⇒|AF2|+|BF2|=8-|AB|，进而判断当AB⊥x轴时，|AB|最小，此时8-|AB|最大，求出b，c，即可判断A，B，C．设直线AB并代入椭圆方程并化简，根据根与系数的关系求出三角形的面积，然后求出其最大值，最后判断D即可．

【解答】：解：由题意，可得a=2，

根据椭圆的定义，可知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a=8

⇒|AF2|+|BF2|=8-|AB|，则8-|AB|的最大值为5，

根据椭圆的性质，可知当AB⊥x轴时，|AB|最小，此时8-|AB|最大，如图：

将x=-c代入椭圆方程，得，

则．

所以短轴长为，A错误；此时|AF2|=|BF2|，B正确；，C正确；

对D，设A（x1，y1），B（x2，y2），

lAB：x=ty-1，代入椭圆方程，得，

则，所以，

记，

于是，

因为函数在[1，+∞）上是增函数，

所以函数在[1，+∞）上是减函数．

所以当u=1，即t=0时，△ABF2面积最大值为3，故D错误．

故选：BC．

【点评】：本题主要考查椭圆的几何性质，椭圆中的最值与范围问题，椭圆离心率的求解等知识，属于中等题．13.（填空题，5分）某研究机构采访了“一带一路”沿线20国的青年，让他们用一个关键词表达对中国的印象，使用频率前12的关键词为：高铁、移动支付、网购、共享单车、一带一路、无人机、大熊猫、广场舞、中华美食、长城、京剧、美丽乡村．其中使用频率排前四的关键词“高铁、移动支付、网购、共享单车”也成为了他们眼中的“新四大发明”．从这12个关键词中选择3个不同的关键词，且至少包含一个“新四大发明”关键词的选法种数为___（用数字作答）．【正确答案】：[1]164【解析】：根据题意，用间接法分析：先计算“从12个关键词中选择3个不同的关键词”的选法，排除其中“不包含“新四大发明”关键词”的选法，即可得答案．

【解答】：解：根据题意，从12个关键词中选择3个不同的关键词，有=220种选法，

其中不包含“新四大发明”关键词的选法有=56种，

则至少包含一个“新四大发明”关键词的选法有220-56=164种，

故答案为：164．

【点评】：本题考查排列组合的应用，注意用间接法分析，属于基础题．14.（填空题，5分）写出一个同时满足①②的函数f（x）=___．

①f（x）是偶函数；

②f（x+2）=-f（x）．【正确答案】：[1]cosx（答案不唯一）【解析】：根据题意，可得函数的周期，结合三角函数的性质分析可得答案．

【解答】：解：根据题意，若f（x+2）=-f（x），变形可得f（x+4）=-f（x+2）=f（x），

即函数是周期为4的周期函数，

即要求函数为偶函数，且周期为4，可以考虑三角函数的变形，

则要求的函数可以为：f（x）=cosx，

故答案为：cosx（答案不唯一）．

【点评】：本题考查函数的奇偶性和周期性，注意三角函数的性质，属于基础题．15.（填空题，5分）设F1、F2为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，以OF2为直径的圆与该双曲线C的一条渐近线交于O，P两点，若∠OPF1=45°，则C的离心率为___．【正确答案】：[1]【解析】：过点P作PA⊥PF2，垂足为A，由直径所对的圆周角为直角，结合三角形相似，解得P的坐标，运用两点的距离公式和余弦定理，可得a，c的关系式，由离心率公式可得所求值．

【解答】：解：∵以OF2为直径的圆与该双曲线C的一条渐近线交于O，P两点，

∴∠OPF2=90°，∴|OP|=a，|PF2|=b，|OF2|=c，

过点P作PA⊥PF2，垂足为A，

∴△OAP∽△OPF2，∴OP2=OA•OF，

∴|OA|=，|PA|=，∴P（，），

∴|PF1|==，

在△OPF1中，由余弦定理，可得c2=a2+3a2+c2-2a•cos45°，

∴4a2=a•，

∴5a2=c2，∴a=c，

∴e==．

故答案为：．

【点评】：本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率的求法，属于中档题．16.（填空题，5分）如图，在四棱锥P-ABCD的平面展开图中，四边形ABCD是矩形，△ABE是等边三角形，AD⊥AH，AD=1，AB=2．则平面展开图中sin∠GCF=___，四棱锥P-ABCD的外接球半径为___．【正确答案】：[1];[2]【解析】：由题意可得，而，然后利用三角恒等变换公式可求得sin∠GCF的值；

连接AC，BD交于点M，四棱锥P-ABCD的外接球球心为O，由已知条件可得平面ABCD⊥平面ABP，取AB的中点H，连接PH，则PH⊥平面ABCD，设△ABP的外接圆圆心为N，连接OM，ON，从而可得四边形OMHN是矩形，连接OD，利用勾股定理可求得结果．

【解答】：解：因为在四棱锥P-ABCD的平面展开图中，四边形ABCD是矩形，△ABE是等边三角形，AD⊥AH，AD=1，AB=2，

所以，

所以==-cos2∠DCG=，

如图，连接AC，BD交于点M，

设四棱锥P-ABCD的外接球球心为O，

在四棱锥P-ABCD中，AD⊥AP，AD⊥AB，AP∩AB=A，

所以AD⊥平面ABP，

因为AD⊂平面ABCD，

所以平面ABCD⊥平面ABP，

取AB的中点H，连接PH，

因为△PAB为等边三角形，所以PH⊥AB，

因为平面ABCD∩平面ABP=AB，PH⊂平面ABP，

所以PH⊥平面ABCD，

设△ABP的外接圆圆心为N，连接OM，ON，

则OM⊥平面ABCD，ON⊥平面ABP，

则OM||PH，可证得ON||MN，

所以四边形OMHN是矩形，连接OD，

由于△PAB为等边三角形，

所以，

设四棱锥P-ABCD的外接球半径为R，

则，

解得，

故答案为：．

【点评】：本题考查了几何体的外接球问题，属于难题．17.（问答题，10分）已知等差数列{an}中，d=4，首项a1＞0，其前四项中删去某一项后（按原来的顺序）恰好是等比数列{bn}的前三项．

（1）求{an}的通项公式；

（2）设{an}中不包含{bn}的项按从小到大的顺序构成新数列{cn}，记{cn}的前n项和为Sn，求S20．【正确答案】：

【解析】：（1）根据题意求出a1=4，从而求出通项公式；

（2）先求出{an}的前25项和，再减去前25项中含有数列{bn}中的项的和，求出答案．

【解答】：解：（1）等差数列{an}中，a1＞0，d=4，

其前四项a1，a1+4，a1+8，a1+12中删去某一项后（按原来的顺序）恰好是等比数列{bn}的前三项，

根据题意，当删去数列{an}中第三项a1+8时，

满足，

解得a1=4；

删去a1时，满足，此方程无解，不满足题意，

同理可证，删除a1+4与a1+12时，均不满足题意；

故a1=4；

所以an=4+4（n-1）=4n．

（2）已知等差数列{an}中，an=4n，

数列{bn}中的项为：4，8，16，32，64，128，256，…，

所以a25=100．

故数列{an}的前25项和为，

数列{an}的前25项中含有数列{bn}中的项的和为4+8+16+32+64=124，

所以S20=1300-124=1176．

【点评】：本题考查了等差数列等比数列的综合以及数列的求和，属于中档题．18.（问答题，12分）在①；②（a+b）（sinA-sinB）=（b+c）sinC；③=asinB三个条件中任选一个补充在下面横线上，并解决问题．

问题：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足____．

（1）求角A；

（2）若A的角平分线AD长为1，且b+c=6，求sinBsinC的值．【正确答案】：

【解析】：（1）若选①，利用正弦定理，三角函数恒等变换化简已知等式可得sinA=sin（A-），可得A=A-，（舍去）或A+A-=π，进而可求A的值；

若选②，利用正弦定理化简已知等式可得b2+c2-a2=-bc，利用余弦定理可求cosA=-，结合范围A∈（0，π），可求A的值；

若选③，利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求sin=，结合范围A∈（0，π），可求A的值．

（2）由题意S△ABD+S△ACD=S△ABC，利用三角形的面积公式可求得bc=b+c=6，进而由余弦定理解得a=，利用正弦定理即可求解得sinBsinC的值．

【解答】：解：（1）若选①，因为，所以sinAsinB=sinBsin（A-），

因为sinB≠0，所以sinA=sin（A-），

所以A=A-，（舍去）或A+A-=π，

可得A=．

若选②，因为（a+b）（sinA-sinB）=（b+c）sinC，

所以（a+b）（a-b）=（b+c）c，整理可得b2+c2-a2=-bc，

可得cosA==-，

又A∈（0，π），

所以A=．

若选③，因为=asinB，可得sinBsin=sinAsinB，

因为sinB≠0，可得sin=sinA，即cos=2sincos，

因为cos≠0，可得sin=，

又A∈（0，π），

所以A=．

（2）由S△ABD+S△ACD=S△ABC，可得（b+c）=bc，可得bc=b+c=6，

由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA=（b+c）2-bc=36-6=30，解得a=，

由正弦定理，可得sinBsinC===，所以sinBsinC的值为．

【点评】：本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19.（问答题，12分）已知抛物线C的顶点是坐标原点O，对称轴为x轴，焦点为F，抛物线上点A的横坐标为1，且．

（1）求抛物线C的方程；

（2）过抛物线C的焦点作与x轴不垂直的直线l交抛物线C于两点M，N，直线x=1分别交直线OM，ON于点A和点B，求证：以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点．【正确答案】：

【解析】：（1）由可得p的方程，解方程求得p的值，从而得到抛物线方程；

（2）设出直线l的方程并与抛物线方程联立，解得A，B坐标，从而可得以AB为直角的圆的方程，进而可得该圆所过的定点．

【解答】：解：（1）由题意可设抛物线方程为，

由可得，

即，

解得p=2，

所以抛物线方程为：y2=4x．

（2）证明：设直线，

由联立得ky2-4y-4k=0，

则y1y2=-4，

直线OM的方程为，与x=1联立可得，

同理可得，

以AB为直径的圆方程为，

令y=0，则，

即（x-1）2=4，

解得x=-1或x=3，

即以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点（-1，0）和（3，0）．

【点评】：本题考查了抛物线的方程，圆锥曲线的综合，属于中档题．20.（问答题，12分）环保生活，低碳出行，新能源电动汽车正成为人们购车的热门选择．某型号电动汽车，在一段平坦的国道进行测试，国道限速80km/h（不含80km/h），经多次测试得到，该汽车每小时耗电量M（单位：Wh）与速度v（单位km/h）的下列数据：v102060M162530009000为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下两种函数模型供选择：M（v）=v3+bv2+cv，M（v）=800+a．

（1）当0≤v＜80时，请选出符合表格所列数据实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；

（2）现有一辆同型号汽车从A地驶到B地，前一段是160km的国道，后一段是100km的高速路．若已知高速路上该汽车每小时耗电量N（单位：Wh）与速度的关系是：N（v）=2v2-10v+200（80≤v≤120），则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？（假设在两段路上分别匀速行驶）【正确答案】：

【解析】：（1）利用题中的条件可以判断出速度越大耗电量越高，即可作出判断，再根据题中的条件列出等式，即可解出；

（2）分别计算出两段的最小消耗电能，即可解出．

【解答】：解：（1）函数M（v）=800（）v+a为减函数，这与M（10）＜M（20）相矛盾，

故选M（v）=，

由题意可得，

解得，

当0≤v＜80时，M（v）=；

（2）国道路段长为160km，所用时间为h，

所耗电量f（v）==4v2-320v+28800=4（v-40）2+22400Wh，

高速公路长为100km，所用时间为，

所耗电量为g（v）==200×，

∴g′（v）=200（1-），

∴当v＞10时，g′（v）＞0，

所以g（v）在[80，120]上单调递增，

所以g（v）min=g（80）=200×=15250Wh，

故当这辆车在国道上行驶速度为40km/h，

在高速公路上行驶速度为80km/h时，该车从A地到B地的总耗电量最少，

最少为22400+15250=37650Wh．

【点评】：本题考查了函数模型的实际应用，学生的数学运算能力，属于基础题．21.（问答题，12分）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC=4，CC1=2，点Q为BC的中点，平面AQC1⊥平面BCC1B1．

（1）证明：AQ⊥平面BB1C1C；

（2）若直线AC与平面AQC1所成角的大小为30°，求锐二面角Q-AC1-C的大小．【正确答案】：

【解析】：（1）根据面面垂直性质可得CD⊥平面AQC1，再根据线面垂直性质可得CD⊥AQ，再结合直棱柱性质即可证明AQ⊥平面BCC1B1．

（2）先通过线面角证明AB⊥AC，再通过建立空间直角坐标系，将锐二面角Q-AC1-C表示转化为求向量的夹角，即向量法求二面角．

【解答】：（1）证明：取QC1中点D，连接CD，因为CC1⊥CQ，CC1=CQ=2，所以CD⊥QC1，

又平面AQC1⊥平面BCC1B1．平面AQC1∩平面BCC1B1=QC1，所以CD⊥平面AQC1，

因为AQ⊂平面AQC1，所以CD⊥AQ，

又因为AQ⊥CC