锐角三角函数（1） 教学设计

锐角三角函数（1）教学目标知识技能经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正切的意义和与现实生活的联系．数学思考能够用tanA表示直角三角形中两直角边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，能够用正切进行简单的计算．问题解决1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系；2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，了解数学与生活的密切联系．情感态度体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题，提高解决实际问题的能力．教学重点理解tanA的数学含义．教学难点理解正切的意义，并用它来表示两边的比．教学活动教学步骤师生活动设计意图回顾你们还记得一般三角形的三边不等关系和直角三角形中的勾股定理吗？在一个直角三角形中，当知道一直角边和一个锐角时，你能求出另一个直角边吗？若能，请说说你的看法．学生回忆并回答旧知，为本课的学习提供迁移或类比方法.活动一：创设情境导入新课【课堂引入】千年古寺青檀寺中有一座报国塔，如图，小明很想知道古塔的高度，但小明没有足够长的尺子，怎么办呢？于是聪明的小明想了这样一个办法：小明站在塔前A处仰望塔顶，测得仰角∠1的大小，再沿塔的方向前进50米到B处，又测得仰角∠2的大小，根据这些他就求出了塔的高度．你知道他是怎么做的吗？创设新颖的问题情境，使学生对所学内容——正切有初步的了解．激发学生的求知欲望，调动学生的积极性，培养学生的数学建模能力.活动二：实践探究交流新知问题1：在图1－1中，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？你有几种判断方法？梯子AB比梯子EF更陡.方法一：从图中很容易发现∠ABC＞∠EFD，所以梯子AB比梯子EF陡.方法二：因为AC＝ED，所以只要比较BC，FD的长度即可判断哪个梯子陡．因为BC＜FD，所以梯子AB比梯子EF陡．(比较梯子的底部到墙角的距离来判断)结论：在问题1的图形中，梯子的垂直高度，即AC和ED是相等的，而梯子底部到墙角的水平宽度BC和FD不一样长，由此想到梯子的垂直高度与水平宽度的比值越大，梯子应该越陡.问题2：在图1－2中，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？图1－2通过观察图1－2直观判断梯子的倾斜程度(即哪一个更陡)就比较困难了，你能不能从问题1中得到什么启示呢？(鼓励同学们分组合作交流，达成共识)可以让学生独立思考，尽情地发表自己的看法，培养学生独立思考并积极发表自身意见的习惯，而后教师根据学生的想法给予点评.活动二：实践探究交流新知活动内容——正切的定义如图1－3，若小明因身高原因不能顺利测量梯子顶端到墙脚的距离B1C1，进而无法刻画梯子的倾斜程度，他该怎么办？你有什么锦囊妙计？小明认为，通过测量B2C2及AC2，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度；小亮则认为只能通过测量B1C1及AC1，算出它们的比，来说明梯子的倾斜程度．你同意谁的看法呢？(1)直角三角形AB1C1和直角三角形AB2C2有什么关系？(2)eq\f(B1C1,AC1)和eq\f(B2C2,AC2)有什么关系？(3)如果改变B2在梯子上的位置呢？由此你能得出什么结论？结论：由相似三角形的对应边成比例，得eq\f(B1C1,B2C2)＝eq\f(AC1,AC2)，即eq\f(B1C1,AC1)＝eq\f(B2C2,AC2).如果改变B2在梯子上的位置，总可以得到Rt△AB2C2∽Rt△AB1C1，仍能得到eq\f(B1C1,AC1)＝eq\f(B2C2,AC2)，因此，无论B2在梯子的什么位置(除点A外)，eq\f(B1C1,AC1)＝eq\f(B2C2,AC2)总成立.正切的定义：如图1－4，在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA＝eq\f(∠A的对边,∠A的邻边).注意：1.tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”.2.tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A的对边与邻边的比.3.tanA不表示“tan”乘“A”.4.初中阶段，正切是在直角三角形中定义的，∠A是一个锐角.思考：我们讨论的梯子的倾斜程度与tanA有关系吗?梯子越陡，tanA的值越大；反过来，tanA的值越大，梯子越陡.活动内容——坡度的定义生活中，常用一个锐角的正切表示梯子的倾斜程度．正切在日常生活中的应用很广泛，例如建筑、工程技术等；正切也经常用来描述山坡的坡度、堤坝的坡度.如图1－6，有一山坡在水平方向上每前进100m，就升高60m，那么山坡的坡度(即坡角α的正切——tanα)就是tanα＝eq\f(60,100)＝eq\f(3,5).这里要注意区分坡度和坡角．坡面的铅直高度与水平宽度的比(即坡角的正切)称为坡度(或坡比)．坡度越大，坡面就越陡.经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正切的意义和与现实生活的联系，主要是为了突出概念的形成过程，帮助学生理解概念．通过让学生参与、动手操作让学生学会“由特殊到一般”、数形结合及函数的思想方法，提高分析问题和解决问题的能力.由实际生活中的斜坡问题，引出坡度的定义，学生较易接受，同时进一步让学生体会数学与现实生活的联系.活动三：开放训练体现应用【应用举例】例1图1-5表示甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡?例2Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝4，BC＝2，则tanB＝________.通过例题训练学生对于坡度、正切定义的理解与掌握，既有基本应用，又有反思讨论，螺旋式上升.【当堂训练】1.课本P4随堂练习2.课本P4习题1.1中1、2【拓展提升】1、在△ABC中，∠C＝90°，BC＝12cm，AB＝20cm，求tanA和tanB的值.2、在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，若D是AC边中点，则tan∠DBC的值为________．3、如图，某人从山脚下的点A走了130m后到达山顶的点B，已知点B到山