优选教案：人教B版高中数学选择性必修第一册2.6.2 双曲线的几何性质

课程基本信息课题双曲线的几何性质教科书书名：普通高中教科书数学选择性必修第一册（B版）出版社：人民教育出版社出版日期：2020年6月教学目标教学目标：1、能运用双曲线的标准方程讨论双曲线的范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等几何性质，并掌握这些几何性质，理解双曲线的离心率的含义，从几何和代数两个角度来理解双曲线的渐近线；2、进一步理解利用方程研究曲线性质的思想和方法.教学重点：1、双曲线的几何性质及简单应用.2、进一步理解、运用和感悟从代数角度研究几何的思想和方法.教学难点：双曲线的渐近线的发现、认识和从几何代数两个角度理解.教学过程时间教学环节主要师生活动3分钟复习回顾1、回顾椭圆性质的学习过程，回答以下两个问题：问题1：我们是借助什么来研究椭圆的几何性质的？答：借助椭圆的标准方程.问题2：从哪些方面研究了椭圆的几何性质？答：范围、对称性、顶点、离心率等.2、回顾上节课的内容，回答问题：问题3：双曲线的标准方程是什么？答：焦点在x轴上的双曲线的标准方程是：x2a焦点在y轴上的双曲线的标准方程：y28分钟新课利用双曲线的标准方程研究双曲线的几何性质1、双曲线的标准方程为：x（1）如何从方程①得到范围？由方程可得：x2a2这样可知双曲线位于两直线x=-外侧.如图所示：（2）如何从方程①得到对称性？如果x,y是方程①的解，那么显然x,-y、-x,y（3）如何由方程①得顶点令y=0，可得x而令x=0与x轴有两交点A1-a与y轴无交点.A1-a，0、记B10，-等轴双曲线：实轴长等于虚轴长（4）渐近线观察双曲线上一点Px当x增大时，y也增大根据对称性，先考虑第一象限情况：将方程①改写成：y=bax2-当x>a从图形看，双曲线始终在直线y=而且，当x越来越大时：b这样P点越来越接近直线y=因此，从几何直观看，双曲线在第一象限随着x的增加，越来越接近直线y=bax但又始终不相交.根据对称性，在其他几个象限也是这样的，双曲线在四个方向上换个角度来看上述情形，仍以第一象限为例，计算P点到直线y=bax（即bx-ay=0）的距离dd==当x→+∞时，d→0，所以在第一象限内，随着x的增大点P会越来越接近直线y=直线y=ba问题4：如何才能把双曲线的图像画得比较好点？先画出矩形和渐近线，再来画双曲线.5、离心率同椭圆一样，定义双曲线的半焦距与半实轴之比为离心率，即：e问题5：e的范围是什么？答：e问题6：e逐渐增大时，双曲线会怎么变化？答：开口越来越大.先通过3个具体例子比较来看：x然后分析渐近线的斜率的绝对值：ke越趋近于1，则k越小，双曲线的渐近线所夹的双曲线区域越狭窄;e越来越大时，则k越大，双曲线的渐近线所夹的双曲线区域越开阔.2、双曲线的标准方程为：y请大家类比椭圆写出方程②，即焦点在y轴上的双曲线的几何性质：（1）范围：y≤-（2）对称性：对称轴：x轴和y轴对称中心：原点（3）顶点坐标：A实轴：线段A1A虚轴：线段BB（4）渐近线方程：x（5）离心率：ee6分钟例题例求下列方程表示的双曲线的实轴长、焦点坐标、离心率及渐近线方程.1解：（1）由方程可知，焦点在x轴上，且a2所以c所以实轴长2a=6离心率：e渐近线方程为：y（2）将双曲线方程化成标准方程形式：y可知焦点在y轴上，且a2所以c2=a所以实轴长2a=6离心率：e渐近线方程为：y2分钟课堂小结1、利用双曲线的标准方程来研究双曲线的几何性质，再次体会用代数方程研究曲线性质的思想和方法；2、双曲线的几何性质和椭圆类似，注意它们的不同，尤其要重视对渐近线的认识，要从几何和代数两个角度加以理解；3