2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市香坊区风华中学七年级（上）期中数学试卷（五四学制）（含解析）

2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市香坊区风华中学七年级第一学期期中数学试卷（五四学制）一、选择题（每题3分，共计30分）1．下列等式是一元一次方程的是（）A．x2+3x＝6 B．﹣3x＝1 C．y＝﹣2x D．2．图中∠1与∠2是同位角的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．下列等式一定成立的是（）A．若ac2＝bc2，则a＝b B．若a＝b，则ac2＝bc C．若a＝b，则a﹣1＝b﹣1 D．若a＝b，则4．下列去分母正确的是（）A．由，得2x﹣1＝3﹣3x B．由，得2（x﹣2）﹣3x﹣2＝﹣4 C．由，得3y+3＝2y﹣3y+1 D．由，得12x﹣1＝5y+205．如图，下列各组条件中，能得到AB∥CD的是（）A．∠1＝∠3 B．∠2＝∠4 C．∠B＝∠D D．∠1+∠2+∠B＝180°6．如图，∠A＝90°，点B到线段AC的距离指的是下列哪条线段的长度（）A．AB B．BC C．BD D．AD7．如图，∠1＝15°，AO⊥CO，直线BD经过点O，则∠2的度数为（）A．75° B．105° C．100° D．165°8．某车间有28名工人生产螺丝和螺母，每人每天生产1200个螺丝或1800个螺母，现有x个工人生产螺丝，恰好每天生产的螺母和螺丝按2：1配套．为求x，可列方程（）A．1200x＝1800（28﹣x） B．2×1200x＝1800（28﹣x） C．2×1800＝1200（28﹣x） D．1800x＝1200（28﹣x）9．在2012年伦敦奥运会足球赛的前11场比赛中，某队仅负1场，共积22分，按比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，则该队共胜了（）场．A．4 B．5 C．6 D．710．下列命题：①如果两个角相等并且有一个公共顶点，那么它们是对顶角；②两条直线被第三条直线所截，内错角相等；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④垂直于同一直线的两直线平行；⑤直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离．其中真命题有（）个．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个二、填空题（每题3分，共计30分）11．若方程xk﹣1+5k＝0是关于x的一元一次方程，则x＝．12．当x＝时，与的值相等．13．把命题“同角的补角相等”改写成“如果…，那么…”的形式．14．已知：如图，直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，若∠EOC＝72°，则∠BOD＝．15．如图，AB∥CD，∠1＝39°，∠C和∠D互余，则∠B＝．16．某商品标价100元，现在打6折出售仍可获利25%，则这件商品的进价是元．17．如图，将长方形纸片ABCD沿BD所在直线折叠，得到△BC′D，C'D与AB交于点E，若∠1＝25°，则∠2的度数为．18．轮船沿江从A港顺流行驶到B港，比从B港返回A港少用3小时，若船速为26千米/小时，水速为2千米/时，则A港和B港相距千米．19．若∠1和∠2的两边互相平行，且∠1比∠2的3倍少36度，则∠2＝．20．如图，已知AB∥CD，∠PAQ＝2∠BAQ，∠PCD＝3∠QCD，∠P＝75°，则∠AQC＝．三、解答题（共计60分）21．解方程：（1）2x+1＝5x﹣7；（2）；（3）；（4）．22．如图，在网格图中，平移三角形ABC，使点A平移到点D．（1）画出平移后的三角形DEF，使点B平移到点E，点C平移到点F．（2）请直接写出三角形DFE的面积．23．已知如图：∠1＝∠2，∠A＝∠D．求证：∠B＝∠C．（请把以下证明过程补充完整）证明：∵∠1＝∠2（已知）又∵∠1＝∠3（）∴∠2＝∠3（等量代换）∴AE∥FD（同位角相等，两直线平行）∴∠A＝∠（两直线平行，同位角相等）∵∠A＝∠D（已知）∴∠D＝∠BFD（等量代换）∴∥CD（）∴∠B＝∠C．（两直线平行，内错角相等）24．如图，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，∠1+∠2＝180°，求证：∠AGF＝∠ABC．25．元旦前夕，某商场从厂家购进了甲、乙两种商品，甲种商品的每件进价比乙种商品的每件进价少20元．若购进甲种商品7件，乙种商品2件，需要760元．（1）求甲、乙两种商品的每件进价分别是多少元？（2）该商场从厂家购进了甲、乙两种商品共50件，所用资金恰好为4400元．在销售时，甲种商品的每件售价为100元，要使得这50件商品所获利润率为20%，每件乙商品的售价为多少元？26．风华中学利用暑假期间对教室内墙粉刷，现有甲，乙两个工程队都想承包这项工程，已知甲工程队每天能粉刷2个教室，乙工程队每天能粉刷3个教室，若单独粉刷所有教室，甲工程队比乙工程队要多用20天，在粉刷过程中，该学校要付甲工程队每天费用1600元，付乙工程队每天费用2600元．（1）求风华中学一共有多少个教室？（2）若先由甲，乙两个工程队合作一段时间后，甲工程队停工了，乙工程队单独完成剩余部分．且乙工程队的全部工作时间是甲工程队的工作时间的2倍还多16天，求乙工程队共粉刷多少天？（3）经学校研究，制定如下方案：方案一：由甲工程队单独完成；方案二：由乙工程队单独完成；方案三：按（2）的方式完成；请你通过计算帮学校选择一种最省钱的粉刷方案．27．如图，已知：射线AF交CD于E，∠CEF+∠BAF＝180°．（1）求证：AB∥CD．（2）如图2，Y为射线ED上一动点，直接写出∠BAF，∠AFY，∠CYF之间的数量关系．（3）如图3，在（2）的条件下，连接AY，延长FY交射线AB于W，N为线段AW上一动点，若AY平分∠BAF，YN平分∠WYE，∠NWY＝30°时，求2∠AYN+∠FEY的值．

参考答案一、选择题（每题3分，共计30分）1．下列等式是一元一次方程的是（）A．x2+3x＝6 B．﹣3x＝1 C．y＝﹣2x D．【分析】利用一元一次方程的定义：含有一个未知数，且未知数次数为一次的整式方程，判断即可．解：A、x2+3x＝6是一元二次方程，故本选项不符合题意；B、﹣3x＝1是一元一次方程，故本选项符合题意；C、y＝﹣2x是二元一次方程，故本选项不符合题意；D、是分式方程，故本选项不符合题意．故选：B．2．图中∠1与∠2是同位角的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据同位角的特征：两条直线被第三条直线所截形成的角中，两个角都在两条被截直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，由此判断即可．解：第一个图：∠1和∠2是同位角；第二个图：∠1的两边所在的直线没有任何一条和∠2的两边所在的直线公共，∠1和∠2不是同位角；第三个图：∠1和∠2不是同位角；第四个图：∠1和∠2是同位角．∴∠1与∠2是同位角的有2个．故选：B．3．下列等式一定成立的是（）A．若ac2＝bc2，则a＝b B．若a＝b，则ac2＝bc C．若a＝b，则a﹣1＝b﹣1 D．若a＝b，则【分析】根据等式的性质，对每个选项进行分析判断．解：A、如果ac2＝bc2，那么a＝b，这里必须规定c≠0，原变形错误，故这个选项不符合题意；B、如果a＝b，那么ac＝bc，原变形错误，故这个选项不符合题意；C、如果a＝b，那么a﹣1＝b﹣1，原变形正确，故这个选项符合题意；D、如果a＝b，那么＝，这里必须规定c≠0，原变形错误，故这个选项不符合题意．故选：C．4．下列去分母正确的是（）A．由，得2x﹣1＝3﹣3x B．由，得2（x﹣2）﹣3x﹣2＝﹣4 C．由，得3y+3＝2y﹣3y+1 D．由，得12x﹣1＝5y+20【分析】根据等式的性质，对每个选项进行分析判断．解：A、等式两边都乘6，得2x﹣6＝3﹣3x，原变形错误，故这个选项不符合题意；B、等式两边都乘4，得2（x﹣2）﹣3x+2＝﹣4，原变形错误，故这个选项不符合题意；C、等式两边都乘6，得3y+3＝2y﹣3y+1，原变形正确，故这个选项符合题意；D、等式两边都乘15，得12x﹣15＝5y+20，原变形错误，故这个选项不符合题意．故选：C．5．如图，下列各组条件中，能得到AB∥CD的是（）A．∠1＝∠3 B．∠2＝∠4 C．∠B＝∠D D．∠1+∠2+∠B＝180°【分析】根据平行线的判定定理求解即可．解：∵∠1＝∠3，∴AD∥BC，故A不符合题意；∵∠2＝∠4，∴AB∥CD，故B符合题意；由∠B＝∠D不能判定AB∥CD，故C不符合题意；∵∠1+∠2+∠B＝180°，∴AD∥BC，故D不符合题意；故选：B．6．如图，∠A＝90°，点B到线段AC的距离指的是下列哪条线段的长度（）A．AB B．BC C．BD D．AD【分析】直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．解：∵∠A＝90°，∴AB⊥AD，∴点B到线段AC的距离指的是线段AB的长度．故选：A．7．如图，∠1＝15°，AO⊥CO，直线BD经过点O，则∠2的度数为（）A．75° B．105° C．100° D．165°【分析】由OC⊥OA，可知∠BOC+∠1＝90°，而∠1＝15°，可求∠BOC，再根据∠2+∠BOC＝180°求∠2．解：∵OC⊥OA，∴∠BOC＝90°﹣∠1＝90°﹣15°＝75°，又∵∠2+∠BOC＝180°，∴∠2＝180°﹣∠BOC＝180°﹣75°＝105°．故选：B．8．某车间有28名工人生产螺丝和螺母，每人每天生产1200个螺丝或1800个螺母，现有x个工人生产螺丝，恰好每天生产的螺母和螺丝按2：1配套．为求x，可列方程（）A．1200x＝1800（28﹣x） B．2×1200x＝1800（28﹣x） C．2×1800＝1200（28﹣x） D．1800x＝1200（28﹣x）【分析】根据生产螺丝和螺母人数间的关系，可得出有（28﹣x）个工人生产螺母，再利用生产螺母的总数是生产螺丝的总数的2倍，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．解：∵该车间有28名工人生产螺丝和螺母，且有x个工人生产螺丝，∴有（28﹣x）个工人生产螺母，又∵每人每天生产1200个螺丝或1800个螺母，且恰好每天生产的螺母和螺丝按2：1配套，∴2×1200x＝1800（28﹣x）．故选：B．9．在2012年伦敦奥运会足球赛的前11场比赛中，某队仅负1场，共积22分，按比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，则该队共胜了（）场．A．4 B．5 C．6 D．7【分析】首先设该队共胜了x场，则平了（11﹣1﹣x）场，根据题意可得等量关系：胜一场的得分×胜场场数+平一场的得分×场数+输场得分＝总分22分，根据等量关系列出方程即可．解：设该队共胜了x场，则平了（11﹣1﹣x）场，由题意得：3x+（11﹣1﹣x）×1+1×0＝22，解得：x＝6，故选：C．10．下列命题：①如果两个角相等并且有一个公共顶点，那么它们是对顶角；②两条直线被第三条直线所截，内错角相等；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④垂直于同一直线的两直线平行；⑤直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离．其中真命题有（）个．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【分析】利用对顶角的定义、平行线的性质及判定方法、点到直线的距离的定义等知识分别判断后即可确定正确的选项．解：①如果两个角相等并且有一个公共顶点，那么它们是对顶角，错误，是假命题，不符合题意；②两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原命题错误，是假命题，不符合题意；④平面内垂直于同一直线的两直线平行，故原命题错误，是假命题，不符合题意；⑤直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，正确，是真命题，符合题意，故选：B．二、填空题（每题3分，共计30分）11．若方程xk﹣1+5k＝0是关于x的一元一次方程，则x＝﹣10．【分析】根据一元一次方程的定义，得到关于k的一元一次方程，解之，代入原方程，解之即可．解：根据题意得：k﹣1＝1，解得：k＝2，把k＝2代入原方程得：x+10＝0，解得：x＝﹣10，故答案为：﹣10．12．当x＝﹣3时，与的值相等．【分析】根据题意列出关于x的方程，求出x的值即可．解：由题意得，＝，去分母得，4（x﹣3）＝3（x﹣5），去括号得，4x﹣12＝3x﹣15，移项得，4x﹣3x＝﹣15+12，合并同类项得，x＝﹣3．故答案为：﹣3．13．把命题“同角的补角相等”改写成“如果…，那么…”的形式如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等．【分析】“同角的补角相等”的条件是：两个角是同一个角的补角，结论是：这两个角相等．据此即可写成所要求的形式．解：“同角的补角相等”的条件是：两个角是同一个角的补角，结论是：这两个角相等．则将命题“同角的补角相等”改写成“如果…那么…”形式为：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等．故答案是：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等．14．已知：如图，直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，若∠EOC＝72°，则∠BOD＝36°．【分析】由角平分线的定义求出∠AOC＝36°，再由对顶角相等即可得出∠BOD的度数．解：∵OA平分∠EOC，∠EOC＝72°，∴∠AOC＝∠EOC＝36°，∴∠BOD＝∠AOC＝36°；故答案为：36°．15．如图，AB∥CD，∠1＝39°，∠C和∠D互余，则∠B＝129°．【分析】先根据平行线的性质求得∠D度数，再根据∠C和∠D互余，求得∠C的度数，最后根据平行线的性质求得∠B即可．解：∵AB∥CD，∠1＝39°，∴∠D＝∠1＝39°，又∵∠C和∠D互余，∴∠C＝51°，∴∠B＝180°﹣∠C＝129°．故答案为：129°16．某商品标价100元，现在打6折出售仍可获利25%，则这件商品的进价是48元．【分析】设这件商品的进价为x元，根据“利润＝标价×折扣﹣进价”即可列出关于x的一元一次方程，解方程即可得出结论．解：设这件商品的进价为x元，根据题意得：100×60%﹣x＝25%x，解得x＝48．答：这件商品的进价为48元．故答案为：48．17．如图，将长方形纸片ABCD沿BD所在直线折叠，得到△BC′D，C'D与AB交于点E，若∠1＝25°，则∠2的度数为40°．【分析】根据矩形的性质可得CD∥AB，∠1+∠CBD＝90°，可求解∠CBD的度数，由平行线的性质可求解∠ABD的度数，结合折叠的性质可得∠2+∠ABD＝∠CBD，进而可求解．解：在矩形ABCD中，∠C＝90°，AB∥CD，∴∠1+∠CBD＝90°，∠ABD＝∠1，∵∠1＝25°，∴∠CBD＝65°，∠ABD＝25°，由折叠可知：∠2+∠ABD＝∠CBD，∴∠2＝∠CBD﹣∠ABD＝65°﹣25°＝40°．故答案为：40°．18．轮船沿江从A港顺流行驶到B港，比从B港返回A港少用3小时，若船速为26千米/小时，水速为2千米/时，则A港和B港相距504千米．【分析】轮船航行问题中的基本关系为：（1）船的顺水速度＝船的静水速度+水流速度；（2）船的逆水速度＝船的静水速度一水流速度．若设A港和B港相距x千米，则从A港顺流行驶到B港所用时间为小时，从B港返回A港用小时，根据题意列方程求解．解：设A港和B港相距x千米．根据题意，得，解之得x＝504．故填504．19．若∠1和∠2的两边互相平行，且∠1比∠2的3倍少36度，则∠2＝18°或54°．【分析】由∠1和∠2的两边互相平行，可得此两角互补或相等，然后设∠2的度数为x，分别从两角相等或互补去分析，由∠1比∠2的3倍少36度列方程求解即可求得答案．解：∵∠1和∠2的两边互相平行，∴∠1和∠2互补或相等，设∠2的度数为x，则∠1＝3x﹣36°，①当∠1和∠2相等时，则x＝3x﹣36°，解得：x＝18°，②当∠1和∠2互补时，则x+3x﹣36°＝180°，解得：x＝54°，综上，∠2＝18°或54°，故答案为：18°或54°．20．如图，已知AB∥CD，∠PAQ＝2∠BAQ，∠PCD＝3∠QCD，∠P＝75°，则∠AQC＝95°．【分析】先根据平行线的性质求出∠APC+∠PAB+∠PCD＝360°，由∠APC＝75°求出∠PAB+∠PCD＝285°，根据∠PAQ＝2∠BAQ可得∠PAB＝3∠BAQ，由∠PCD＝3∠QCD可得∠BAQ+∠QCD＝95°，最后证∠AQC＝∠BAQ+∠QCD即可得出答案．解：过点P作PE∥AB，过点Q作QF∥AB，如图：∵AB∥CD，QF∥AB，∴AB∥QF∥CD，∴∠BAQ＝∠AQF，∠QCD＝∠CQF，∴∠BAQ+∠QCD＝∠AQF+∠CQF，即∠BAQ+∠QCD＝∠AQC，∵AB∥CD，PE∥AB，∴AB∥PE∥CD，∴∠APE+∠PAB＝180°，∠CPE+∠PCD＝180°，∴∠APE+∠CPE+∠PAB+∠PCD＝360°，即∠APC+∠PAB+∠PCD＝360°，∵∠APC＝75°，∴∠PAB+∠PCD＝285°，∵∠PAQ＝2∠BAQ，∴∠PAB＝3∠BAQ，∵∠PCD＝3∠QCD，∴3∠BAQ+3∠QCD＝285°，∴∠BAQ+∠QCD＝95°，∴∠AQC＝95°．故答案为：95°．三、解答题（共计60分）21．解方程：（1）2x+1＝5x﹣7；（2）；（3）；（4）．【分析】（1）先移项，再合并同类项，把x的系数化为1即可；（2）先去括号，再移项，合并同类项即可；（3）、（4）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，把x的系数化为1即．解：（1）移项得，2x﹣5x＝﹣7﹣1，合并同类项得，﹣3x＝﹣8，x的系数化为1得，x＝；（2）去括号得，x+＝﹣，移项得，x﹣x＝﹣﹣，合并同类项得，x＝﹣1；（3）去分母得，2（x+1）＝6﹣3（x﹣1），去括号得，2x+2＝6﹣3x+3，移项得，2x+3x＝6+3﹣2，合并同类项得，5x＝7，系数化为1得，x＝；（4）去分母得，3（x﹣1）+18x＝﹣2（2x﹣1），去括号得，3x﹣3+18x＝﹣4x+2，移项得，3x+18x+4x＝2+3，合并同类项得，25x＝5，系数化为1得，x＝．22．如图，在网格图中，平移三角形ABC，使点A平移到点D．（1）画出平移后的三角形DEF，使点B平移到点E，点C平移到点F．（2）请直接写出三角形DFE的面积．【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点D，E，F即可；（2）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可．解：（1）如图，△DEF即为所求；（2）△DEF的面积＝4×4﹣×2×4﹣×2×3﹣×1×4＝7．23．已知如图：∠1＝∠2，∠A＝∠D．求证：∠B＝∠C．（请把以下证明过程补充完整）证明：∵∠1＝∠2（已知）又∵∠1＝∠3（对顶角相等）∴∠2＝∠3（等量代换）∴AE∥FD（同位角相等，两直线平行）∴∠A＝∠BFD（两直线平行，同位角相等）∵∠A＝∠D（已知）∴∠D＝∠BFD（等量代换）∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）∴∠B＝∠C．（两直线平行，内错角相等）【分析】根据平行线的判定和性质解答即可．【解答】证明：∵∠1＝∠2（已知），又∵∠1＝∠3（对顶角相等），∴∠2＝∠3（等量代换），∴AE∥FD（同位角相等，两直线平行），∴∠A＝∠BFD（两直线平行，同位角相等），∵∠A＝∠D（已知），∴∠D＝∠BFD（等量代换），∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），∴∠B＝∠C．（两直线平行，内错角相等）；故答案为：对顶角相等；BFD；AB；内错角相等，两直线平行．24．如图，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，∠1+∠2＝180°，求证：∠AGF＝∠ABC．【分析】根据垂线的定义结合平行线的判定定理可得出BF∥DE，由平行线的性质可得出∠2+∠3＝180°，结合∠1+∠2＝180°可得出∠1＝∠3，从而得出GF∥BC，根据平行线的性质即可得出∠AGF＝∠ABC，此题得解．【解答】证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠AFB＝∠AED＝90°，∴BF∥DE，∴∠2+∠3＝180°，又∵∠1+∠2＝180°，∴∠1＝∠3，∴GF∥BC，∴∠AGF＝∠ABC．25．元旦前夕，某商场从厂家购进了甲、乙两种商品，甲种商品的每件进价比乙种商品的每件进价少20元．若购进甲种商品7件，乙种商品2件，需要760元．（1）求甲、乙两种商品的每件进价分别是多少元？（2）该商场从厂家购进了甲、乙两种商品共50件，所用资金恰好为4400元．在销售时，甲种商品的每件售价为100元，要使得这50件商品所获利润率为20%，每件乙商品的售价为多少元？【分析】（1）根据甲种商品的每件进价比乙种商品的每件进价少20元，若购进甲种商品7件，乙种商品2件，需要760元，可以列出相应的方程，然后求解即可；（2）根据该商场从厂家购进了甲、乙两种商品共50件，所用资金恰好为4400元和（1）中的结果，可以求得甲、乙各购进多少件，再根据在销售时，甲种商品的每件售价为100元，要使得这50件商品所获利润率为20%，可以列出相应的方程，然后求解即可．解：（1）设乙种商品每件进价为x元，则甲种商品每件进价为（x﹣20）元，由题意可得，7（x﹣20）+2x＝760，解得x＝100，∴x﹣20＝80，答：甲、乙两种商品的每件进价分别是80元，100元；（2）设购进甲种商品a件，乙种商品（50﹣a）件，每件乙商品的售价为b元，由题意可得，80a+100（50﹣a）＝4400，解得a＝30，则（100﹣80）×30+（b﹣100）×（50﹣30）＝4400×20%，解得b＝114，答：每件乙商品的售价为114元．26．风华中学利用暑假期间对教室内墙粉刷，现有甲，乙两个工程队都想承包这项工程，已知甲工程队每天能粉刷2个教室，乙工程队每天能粉刷3个教室，若单独粉刷所有教室，甲工程队比乙工程队要多用20天，在粉刷过程中，该学校要付甲工程队每天费用1600元，付乙工程队每天费用2600元．（1）求风华中学一共有多少个教室？（2）若先由甲，乙两个工程队合作一段时间后，甲工程队停工了，乙工程队单独完成剩余部分．且乙工程队的全部工作时间是甲工程队的工作时间的2倍还多16天，求乙工程队共粉刷多少天？（3）经学校研究，制定如下方案：方案一：由甲工程队单独完成；方案二：由乙工程队单独完成；方案三：按（2）的方式完成；请你通过计算帮学校选择一种最省钱的粉刷方案．【分析】（1）设乙工程队要刷x天，根据题意房间数量列出方程，再解即可；（2）设