第二章解析函数

第二章解析函数第一页，共四十三页，2022年，8月28日2.1可导与可微

定义

设单值函数，，满足称f(z)在z点可导，此极限称为f(z)在点z的导数，记作。若在点z的改变量可写为，其中，则称在z点可微，称为w在z点的微分，记作。定义

第二页，共四十三页，2022年，8月28日定理w=f(z)在z点可导，则一定在该点可微，反之亦然，且。函数可导的必要条件——柯西-黎曼方程（C-R条件）若函数f(z)在z=x+iy点可导，以任意方式→0，同样值。第三页，共四十三页，2022年，8月28日特殊路经一：（平行于实轴）函数按虚部实部分开：极限按虚部实部分开：zII

xyI第四页，共四十三页，2022年，8月28日特殊路经二：（平行于虚轴）函数按虚部实部分开：极限按虚部实部分开：分子分母同乘以-i：第五页，共四十三页，2022年，8月28日——C-R条件，必要而非充分条件。则有：第六页，共四十三页，2022年，8月28日定理若u、v的偏导数存在且连续，C-R条件是函数可导的充要条件。证明(1)必要性：由推理过程已证。(2)充分性：∵存在且连续，∴和可微，即第七页，共四十三页，2022年，8月28日∵高阶无穷小量有

∴

（根据C-R条件）第八页，共四十三页，2022年，8月28日∴f(z)可导。第九页，共四十三页，2022年，8月28日导数的几何意义第十页，共四十三页，2022年，8月28日2.2解析函数区域G内每一点都可导的函数称为G内的解析函数。[，处处可导，f(z)为G的解析函数。]定义

解析函数柯西-黎曼方程，u、v不是相互独立的，第十一页，共四十三页，2022年，8月28日

例题解已知，求。涉及到的高数知识：

①，②反函数的导数=(直接函数的导数)-1③∵

第十二页，共四十三页，2022年，8月28日分子提取后

且第十三页，共四十三页，2022年，8月28日又∵C-R方程，∴当，并取积分路经为时，得第十四页，共四十三页，2022年，8月28日代入和有令第十五页，共四十三页，2022年，8月28日已知，求。

例题解方法一：当，并取积分路经为时，得第十六页，共四十三页，2022年，8月28日方法二：将，代入

而

所以

第十七页，共四十三页，2022年，8月28日若符合以下三条之一：①f(z)在z0处无定义；②f(z)在z0处不可导；③f(z)在z0处不解析，则z0是f(z)的奇点。解析函数的实部和虚部的二阶导数一定存在并且连续。（以后证明）定义

定理即满足u，v二维拉普拉斯方程u，v都是调和函数。

第十八页，共四十三页，2022年，8月28日2.3初等函数①幂函数

当时，在复平面C上解析，为奇点；当时，在上（包括∞点）处处解析。②指数函数可知在复平面C上解析，为奇点。周期为第十九页，共四十三页，2022年，8月28日③三角函数

复指数函数，④双曲函数与三角函数是互化的。周期：

导数公式：

由于与在复平面C上解析，故在复平面C上解析，周期为，模可以大于1。实三角函数的各种恒等式对复三角函数仍然成立。第二十页，共四十三页，2022年，8月28日

例题求证：证明第二十一页，共四十三页，2022年，8月28日⑤对数函数（指数函数的反函数）第二十二页，共四十三页，2022年，8月28日2.4多值函数根式函数

令，w2+a是的反函数，故时，

对于z存在两个w与之对应函数的多值性来源于辐角的多值性。第二十三页，共四十三页，2022年，8月28日也就是说，对于自变量z的每一个值，若有两个或两个以上的函数值w与之对应，则称w=f(z)为z的多值函数。在复平面上，若z绕某点z0一周回到原处时，对应的多值函数值不还原，则称z0

为该多值函数的支点。若z绕z0转n周后对应的函数值还原，就称z0为该多值函数的n－1阶支点，支点必为奇点。定义

对于多值函数w=f(z)，若存在z=z0，使在z0

的邻域内当z的辐角改变2p时，w的值并不还原，则z0

为w的支点。支点思考：是和的支点吗？有什么不同？第二十四页，共四十三页，2022年，8月28日是和的支点。qrzxy

z0zplane第二十五页，共四十三页，2022年，8月28日不同之处在于：是的一阶支点，当绕一周时（），，与之对应，当z绕由时，又恢复到。q/2+pw2q/2w1uv

wspace第二十六页，共四十三页，2022年，8月28日是的二阶支点，当绕一周时（），，，与之对应，当z绕由时，又恢复到。

第二十七页，共四十三页，2022年，8月28日类似地，是的n－1阶支点。是的

n－1阶支点。第二十八页，共四十三页，2022年，8月28日

例题解若，规定，求w(2)，w(i)

，w(0)

，w(-i)

。第二十九页，共四十三页，2022年，8月28日第三十页，共四十三页，2022年，8月28日实质=限制z的变化方式限制多值函数的自变量的取值范围后，多值函数被划分为若干个单值函数，其中的每一个单值函数称为多值函数的单值分支。规定辐角的变化范围多值函数单值化定义

定义

多值函数=单值分支1+单值分支2+……+单值分支n，n=∞单值分支连接多值函数的两支点割开平面的线称为割线。割线第三十一页，共四十三页，2022年，8月28日是支点为a和∞的二值函数。其单值分支Ⅰ(的割线上岸)和单值分支Ⅱ(的割线上岸)如图所示。argw=puvo

wspace第三十二页，共四十三页，2022年，8月28日辐角变化范围的规定不唯一，如：和或和

割线的做法多种多样，只要连接分支点，并适当规定割线一侧相关宗量的辐角值。多值函数单值化：优点——等份于单值函数，可以讨论解析性。缺点——支点为奇点，为各个单值分支所共有，支点附近的邻域分属多个单值分支，不能讨论复杂问题。解决办法：规定w在某一点z0的值，明确z的连续变化路线。

第三十三页，共四十三页，2022年，8月28日

例题解1）z沿C1连续变化时，

，规定，讨论z沿C1或C2连续变化到原点时，函数w的值。C1、C2为以z=1为圆心，1为半径的上半圆周和下半圆周。

第三十四页，共四十三页，2022年，8月28日2）z沿C2连续变化时，

理解：

z的路线不受限制，可以从一个单值分支到另一个单值分支。相当于两个z平面相粘接，第一个面的割线下岸（）和第二个面的割线上岸（）相连，同时第一个面的割线上岸（）和第二个割线的下岸（）相连。构成二叶黎曼面。黎曼面定义

使多值函数划分为单值函数的若干叶割破的互相粘合的复平面。

第三十五页，共四十三页，2022年，8月28日

例题解试讨论函数的多值性。

①z

=1

的情况在z

=1的邻域内取，其中则

∵

∴

第三十六页，共四十三页，2022年，8月28日

虚实合并后，

当即z1绕z=1一周时，当即z1绕z

=1两周时，w回复到辐角为j1时的值。可见，z=1是的一阶支点。类似z=1的讨论，可知z=-1也是一阶支点。

②

z

=-1

的情况第三十七页，共四十三页，2022年，8月28日则当时，函数值不变，

可知则

值与辐角无关时，函数值不变，

所以③

z

=0

的情况在z

=0的邻域内取，其中z=0不是的支点。

④

z

=∞

的情况在z

=0的邻域内取，其中z=∞不是的支点。

第三十八页，共四十三页，2022年，8月28日综上所述，有两个一阶支点，其黎曼面如下：割线为