2022-2023学年河北省保定市安国实验中学高三数学理期末试题含解析

2022-2023学年河北省保定市安国实验中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知某篮球运动员2013年度参加了25场比赛，若从中抽取5场，用茎叶图统计该运动员5场中的得分如图所示，则该样本的方差为A.4

B.

C.10

D.16参考答案：C略2.已知直线平面，直线平面，下面四个结论：①若，则；②若，则；③若则；④若，则，其中正确的是（）A．①②④ B．③④ C．②③ D．①④参考答案：：D．解：由直线平面，直线平面，知：在①中，若，则由线面垂直的性质定理得，故①正确；在②中，若，则与平行或异面，故②错误；在③中，若，则与不一定垂直，故③错误；在④中，若，则由线面平行的判定定理得，故④正确．故选：D．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．3.设，则的大小关系是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A略4.已知抛物线上的点M到其焦点F的距离比点M到y轴的距离大，则抛物线的标准方程为（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】由抛物线的定义转化，列出方程求出p，即可得到抛物线方程．【详解】由抛物线y2＝2px（p＞0）上的点M到其焦点F的距离比点M到y轴的距离大，根据抛物线的定义可得，，所以抛物线的标准方程为：y2＝2x．故选：B．【点睛】本题考查了抛物线的简单性质的应用，抛物线方程的求法，属于基础题．5.设，则函数的零点位于区间--------------（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B6.曲线与直线及所围成的封闭图形的面积为（

）A．.

B．

C．

D．参考答案：D7.函数y=sin（ωx+）在x=2处取得最大值，则正数ω的最小值为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】三角函数的最值．【分析】由条件利用正弦函数的最值，求得正数ω的最小值．【解答】解：∵函数y=sin（ωx+）在x=2处取得最大值，故2ω+=2kπ+，k∈Z，故正数ω的最小正值为，故选：D．8.下列函数中，在区间上为增函数的是（

）A． B． C． D．参考答案：C9.设，，，则()A．

B．

C．

D．参考答案：D10.已知m，n是两条不同直线，是两个不同平面，给出四个命题：

①若，则

②若，则③若，则

④若，则其中正确的命题是A．①②

B．②③

C．①④

D．②④参考答案：二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设，满足条件则点构成的平面区域面积等于__________.参考答案：2略12.如图，在ABC中，AB=AC，以BC为直径的半圆O与边AB相交于点D，切线DEAC，垂足为点E，则_______．

参考答案：略13.下列四个命题：①?x∈（0，+∞），；

②?x∈（0，+∞），log2x＜log3x；③?x∈（0，+∞），；④?x∈（0，），．其中正确命题的序号是．参考答案：①②④【考点】特称命题；全称命题．【专题】函数的性质及应用；简易逻辑．【分析】特称命题，取特殊值进行验证其正确性；全称命题的正确性必须严格证明．【解答】解：对于①，x=1时，命题成立；对于②，x=时，log2x=﹣1，log3x=﹣log32，命题成立；对于③，函数与互为反函数，交于直线y=x上一点，∴?x∈（0，+∞），不成立；④?x∈（0，），函数＜1，＞1，∴?x∈（0，），成立．故答案为：①②④．【点评】本题考查命题真假的判断，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．14.把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有_______种.参考答案：3615.从数列中，顺次取出第2项、第4项、第8项、…、第项、…，按原来的顺序组成一个新数列，则的通项 ，前5项和等于________________参考答案：；

16.设f﹣1（x）为的反函数，则f﹣1（1）=

．参考答案：1【考点】4R：反函数．【分析】根据反函数的性质，原函数的值域是反函数的定义域即可求解【解答】解：的反函数，其反函数f﹣1（x），反函数的性质，反函数的定义域是原函数的值域，即．可得：x=1，∴f﹣1（x）=1．故答案为1．17.已知单位向量的夹角为，若，如图，则叫做向量的坐标，记作，有以下命题：①已知，则；②若，则；③若，则；④若，，且三点共线，则。

上述命题中正确的有．（将你认为正确的都写上）参考答案：②④略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分13分）已知函数．（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；（2）将函数的图像上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的，把所得到的图像再向左平移个单位，得到的函数的图像，求函数在区间上的最小值．参考答案：解：（1）因为

=,

…………

4分

函数f（x）的最小正周期为=．

………5分

由，，

………7分

得f（x）的单调递增区间为

，．

………

9分（2）根据条件得=，当时，，

所以当x=时，．

…………13分19.（本小题满分12分）已知函数（1）若x[0,],求f(x)的值域；（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若f(C)=1，且b2=ac，求sinA的值。参考答案：略20.（本小题满分12分）已知函数的图象经过点，且相邻两条对称轴的距离为.（1）求函数的解析式及其在上的单调递增区间；（2）在分别是A,B,C的对边，若，，求的值.参考答案：（1）[﹣+kπ，+kπ]；（2）

【知识点】余弦定理；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性C3C4C8（1）把（0，）代入解析式得：sinφ=，∵0＜φ＜，∴φ=，∵相邻两条对称轴间的距离为，∴函数的周期为π，即ω=2，∴函数f（x）的解析式为f（x）=sin（2x+），令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，得到﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，则f（x）的单调递增区间为[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z；（2）由第一问得：f（）=sin（A+），代入得：sin（A+）﹣cosA=sinA+cosA﹣cosA=sinA﹣cosA=sin（A﹣）=，∴A﹣=或，即A=或A=π（舍去），∵bc=1，b+c=3，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=9﹣3=6，则a=．【思路点拨】（1）把已知点坐标代入求出φ的值，根据题意确定出周期，利用周期公式求出ω的值，即可确定出函数f（x）的解析式，利用正弦函数的单调性确定出单调递增区间即可；（2）由第一问确定出的解析式，表示出f（），代入已知等式求出A的度数，利用余弦定理列出关系式，把cosA的值代入，变形后将bc与b+c的值代入即可求出a的值．21.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆（）的上顶点为，圆经过点．（1）求椭圆C的方程；（2）过点M作直线交椭圆C于P，Q两点，过点M作直线的垂线交圆O于另一点N．若△PQN的面积为3，求直线的斜率．参考答案：（1）；（2）【分析】（1）依据题意可得：，由圆经过点可得：，问题得解。（2）当的斜率为0时，检验得不合题意，可设设直线的方程为，联立直线与椭圆方程可得，设，，解得：，，由弦长公式可得：，由△PQN的面积为3列方程可得：，即可求得：，问题得解。【详解】（1）因为椭圆的上顶点为，所以，又圆经过点，所以．所以椭圆的方程为．（2）若的斜率为0，则，，所以△PQN的面积为，不合题意，所以直线的斜率不为0．设直线的方程为，由消得，设，，则，，所以.直线的方程为，即，所以．所以△PQN的面积，解得，即直线的斜率为．【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想，还考查了弦长公式及三角形面积公式，考查计算能力及一元二次方程的求根公式，考查转化能力，属于难题。22.已知λ∈R，函数f（x）=λex﹣xlnx（e=2.71828…是自然对数的底数）．（Ⅰ）若f（1）=0，证明：曲线y=f（x）没有经过点的切线；（Ⅱ）若函数f（x）在其定义域上不单调，求λ的取值范围；（Ⅲ）是否存在正整数n，当时，函数f（x）的图象在x轴的上方，若存在，求n的值；若不存在，说明理由．参考答案：【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，求出切线方程，化简得：，令，根据函数的单调性判断方程无解，从而证明结论即可；（Ⅱ）分离参数，得，令（x＞0）．根据函数的单调性求出参数的范围即可；（Ⅲ）法一：问题等价于．令（x＞0），根据函数的单调性求出F（x）的最小值，从而证明结论即可；法二：问题等价于λ＞的最大值；当x∈（0，1]，得到恒成立，当x∈（1，+∞）时，，根据函数的单调性求出P（x）的最大值，从而证明结论．【解答】解证：（Ⅰ）因为f（1）=0，所以λ=0，此时f（x）=﹣xlnx，证法一：设曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线经过点则曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线y﹣f（x0）=f'（x0）（x﹣x0）所以化简得：…令，则，所以当时，h'（x）＜0，h（x）为减函数，当时，h'（x）＞0，h（x）为增函数，所以，所以无解所以曲线y=f（x）的切线都不经过点…（Ⅱ）函数的定义域为（0，+∞），因为f'（x）=λex﹣（1+lnx），所以f（x）在定义域上不单调，等价于f'（x）有变号零点，…令f'（x）=0，得，令（x＞0）．因为，令，，所以h（x）是（0，+∞）上的减函数，又h（1）=0，故1是h（x）的唯一零点，…当x∈（0，1），h（x）＞0，g'（x）＞0，g（x）递增；当x∈（1，+∞），h（x）＜0，g'（x）＜0，g（x）递减；故当x=1时，g（x）取得极大值且为最大值，所以，即λ的取值范围是…（Ⅲ）证法一：函数f（x）的图象在x轴的上方，即对任意x＞0，f（x）＞0恒成立．f（x）＞0?．令（x＞0），所以…（1）当n=1时，，即①当0＜x≤1时，F'（x）＜0，F（x）是减函数，所以F（x）≥F（1）=λe＞0；②当x＞1时，，令，则，所以G（x）是增函数，所以当x≥2时，，即F'（x）≥0所以F（x）在[2，+∞）上是增函数，所以，当x∈（1，2）时，取m∈（1，2），且使，即，则，因为G（m）G（2）＜0，故G（x）存在唯一零点t∈（1，2），即F（x）有唯一的极值点且为最小值点t∈（1，2）…所以，又，即，故，设，因为，所以r（t）是（1，2）上的减函数，所以r（t）＞r（2）=1﹣ln2＞0，即[F（x）]min＞0所以当时，对任意x＞0，f（x）＞0恒成立…（2）当n≥2时，，因为，取，则，，所以f（x）＞0不恒成立，综上所述，存在正整数n=1满足要求，即当时，函数f（x）的图象在x轴的上方…证法二：f（x）＞0恒成立，等价于λ＞的最大值；当x∈（0，1]，，所以恒成立…当x∈（1，+