2023年广东省佛山市数学高一第二学期期末学业质量监测试题含解析

2022-2023学年高一下数学期末模拟试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．某学校有教师200人，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样的方法从全体师生中抽取一个容量为n的样本，若女学生一共抽取了80人，则n的值为（）A．193 B．192 C．191 D．1902．已知实数满足，则的最大值为（）A． B． C． D．3．如图，在长方体中，，，，分别是，的中点则异面直线与所成角的余弦值为（）A． B． C． D．4．如图，函数与坐标轴的三个交点P，Q，R满足，，M为QR的中点，，则A的值为（）A． B． C． D．5．的三内角所对的边分别为，若，则角的大小是（）A． B． C． D．6．圆心为的圆与圆相外切，则圆的方程为（）A． B．C． D．7．已知平面向量，且，则（）A． B． C． D．8．设向量满足，且，则向量在向量方向上的投影为A．1 B． C． D．9．设某曲线上一动点到点的距离与到直线的距离相等，经过点的直线与该曲线相交于，两点，且点恰为等线段的中点，则（）A．6 B．10 C．12 D．1410．若变量满足约束条件则的最大值为()A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知直线与相互垂直，且垂足为，则的值为______.12．已知,,则______.13．在明朝程大位《算术统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”.这首古诗描述的这个宝塔古称浮屠，本题说“宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？”根据上述条件，从上往下数第二层有___________盏灯．14．在等比数列中，，公比，若，则的值为．15．的最大值为______.16．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若b·cosC=c·cosB，且cosA＝，则cosB的值为_____．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数．（1）求函数的单调递增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c，且，，求△ABC的面积的最大值．18．已知，，且（1）求函数的解析式；（2）当时，的最小值是，求此时函数的最大值，并求出函数取得最大值时自变量的值19．如图，在中，，，点在边上，且，.（1）求；（2）求的长.20．已知.（1）求的值；（2）求的值.21．请你帮忙设计2010年玉树地震灾区小学的新校舍，如图，在学校的东北力有一块地，其中两面是不能动的围墙，在边界内是不能动的一些体育设施．现准备在此建一栋教学楼，使楼的底面为一矩形，且靠围墙的方向须留有5米宽的空地，问如何设计，才能使教学楼的面积最大？

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】

按分层抽样的定义，按比例计算．【详解】由题意，解得．故选：B.【点睛】本题考查分层抽样，属于简单题．2、A【解析】

由原式，明显考查斜率的几何意义，故上下同除以得，再画图分析求得的取值范围，再用基本不等式求解即可．【详解】所求式，上下同除以得，又的几何意义为圆上任意一点到定点的斜率，由图可得，当过的直线与圆相切时取得临界条件．当过坐标为时相切为一个临界条件，另一临界条件设，化成一般式得，因为圆与直线相切，故圆心到直线的距离，所以，，解得，故．设，则，又，故，当时取等号．故，故选A．【点睛】本题主要考查斜率的几何意义，基本不等式的用法等．注意求斜率时需要设点斜式，利用圆心到直线的距离等于半径列式求得斜率，在用基本不等式时要注意取等号的条件．3、A【解析】

连结，由，可知异面直线与所成角是，分别求出，然后利用余弦定理可求出答案.【详解】连结，因为，所以异面直线与所成角是，在中，，，，所以.故选A.【点睛】本题考查了异面直线的夹角，考查了利用余弦定理求角，考查了计算能力，属于中档题.4、D【解析】

用周期表示出点坐标，从而又可得点坐标，再求出点坐标后利用求得，得．【详解】记函数的周期，则，因为，∴，是中点，则，∴，解得，∴，由得，∵，∴，，，∴，故选：D.【点睛】本题考查求三角函数的解析式，掌握正弦函数的图象与性质是解题关键．5、C【解析】

将进行整理，反凑余弦定理，即可得到角.【详解】因为即故可得又故.故选：C.【点睛】本题考查余弦定理的变形，属基础题.6、A【解析】

求出圆的圆心坐标和半径，利用两圆相外切关系，可以求出圆的半径，求出圆的标准方程，最后化为一般式方程.【详解】设的圆心为A，半径为r，圆C的半径为R,，所以圆心A坐标为，半径r为3，圆心距为，因为两圆相外切，所以有,故圆的标准方程为:,故本题选A.【点睛】本题考查了圆与圆的相外切的性质，考查了已知圆的方程求圆心坐标和半径，考查了数学运算能力.7、B【解析】试题分析：因为，，且，所以，，故选B.考点：1、平面向量坐标运算；2、平行向量的性质.8、D【解析】

先由题中条件，求出向量的数量积，再由向量数量积的几何意义，即可求出投影.【详解】因为，，所以，所以，故向量在向量方向上的投影为.故选D【点睛】本题主要考查平面向量的数量积，熟记平面向量数量积的几何意义即可，属于常考题型.9、B【解析】由曲线上一动点到点的距离与到直线的距离相等知该曲线为抛物线，其方程为，分别过点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为，由梯形的中位线定理知,所以，故选B.10、B【解析】

先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值.【详解】作出约束条件，所对应的可行域（如图阴影部分）变形目标函数可得，平移直线可知，当直线经过点时，直线的截距最小，代值计算可得取最大值故选B.【点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

先由两直线垂直，可求出的值，将垂足点代入直线的方程可求出的点，再将垂足点代入直线的方程可求出的值，由此可计算出的值.【详解】，，解得，直线的方程为，即，由于点在直线上，，解得，将点的坐标代入直线的方程得，解得，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查了由两直线垂直求参数，以及由两直线的公共点求参数，考查推理能力与计算能力，属于基础题.12、【解析】

直接利用二倍角公式，即可得到本题答案.【详解】因为，所以，得，由，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查利用二倍角公式求值，属基础题.13、6.【解析】

根据题意可将问题转化为等比数列中，已知和，求解的问题；利用等比数列前项和公式可求得，利用求得结果.【详解】由题意可知，每层悬挂的红灯数成等比数列，设为设第层悬挂红灯数为，向下依次为且即从上往下数第二层有盏灯本题正确结果；【点睛】本题考查利用等比数列前项和求解基本量的问题，属于基础题.14、1【解析】

因为，，故答案为1．考点：等比数列的通项公式．15、3【解析】

由余弦型函数的值域可求得整个函数的值域，进而得到最大值.【详解】，即故答案为：【点睛】本题考查含余弦型函数的值域的求解问题，关键是明确在自变量无范围限制时，余弦型函数的值域为.16、【解析】

利用余弦定理表示出与，代入已知等式中，整理得到，再利用余弦定理表示出，将及的值代入用表示出，将表示出的与代入中计算，即可求出值．【详解】由题意，由余弦定理得，代入，得，整理得，所以，即，整理得，即，则，故答案为．【点睛】本题考查了解三角形的综合应用，高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1),(2)【解析】

（1）利用二倍角公式、辅助角公式进行化简,，然后根据单调区间对应的的公式求解单调区间；（2）根据计算出的值，再利用余弦定理计算出的最大值则可求面积的最大值，注意不等式取等号条件.【详解】解:（1）∴函数的单调递增区间为,（2）由（1）知得（舍）或∴有余弦定理得即∴当且仅当时取等号∴【点睛】（1）辅助角公式：；（2）三角形中，已知一边及其对应角时，若要求解面积最大值，在未给定三角形形状时，可选用余弦定理求解更方便，若是给定三角形形状，这时选用正弦定理并需要对角的范围作出判断.18、（1）（2）【解析】试题分析：（1）由向量的数量积运算代入点的坐标得到三角函数式，运用三角函数基本公式化简为的形式；（2）由定义域可得到的范围，结合函数单调性求得函数最值及对应的自变量值试题解析：（1）即（2）由，，，，，此时，考点：1．向量的数量积运算；2．三角函数化简及三角函数性质19、（1）；（2）7.【解析】试题分析：（I）在中，利用外角的性质，得即可计算结果；（II）由正弦定理，计算得，在中，由余弦定理，即可计算结果．试题解析：（I）在中，∵，∴∴（II）在中，由正弦定理得：在中，由余弦定理得：∴考点：正弦定理与余弦定理．20、（1）；（2）．【解析】试题分析：(1)要求的值，根据两角和的正弦公式，可知还要求得，由于已知，所以，利用同角关系可得；（2）要求，由两角差的余弦公式我们知要先求得，而这由二倍角公式结合（1）可很容易得到.本题应该是三角函数最基本的题型，只要应用公式，不需要作三角函数问题中常见的“角”的变换，“函数名称”的变换等技巧，可以算得上是容易题，当然要正确地解题，也必须牢记公式，及计算正确.试题解析：（1）由题意，所以．（2）由（1）得，，所以．【考点】三角函数的基本关系式，二倍角公式，两角和与差的正弦、余弦公式．21、在线段上取点，过点分别作墙的平行线，