华大新高考联盟2023届高三下学期3月教学质量测评数学试题及参考答案

华大新高考联盟2023届高三3月教学质量测评理科数学本试题卷共4页．共23题（含选考题）。满分150分．考试用时120分钟注意事项：1．答题前．考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卷指定位置，认真核对与准考证号条形码上的信息是否一致，并将准考证号条形码粘贴在答题卷上的指定位置。2．选择题的作答：选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试题卷上无效。3．非选择题的作答：用黑色墨水的签字笔直接答在答题卷上的每题所对应的答题区域内。答在试题卷上或答题卷指定区域外无效。4．考试结束，监考人员将答题卷收回，考生自己保管好试题卷，评讲时带来。一、选择题：本题共12小题．每小题5分．共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若集合，集合，满足的实数a的取值范围是（）A． B． C． D．2．已知复数z满足，其中表示z的共轭复数，则复数z的虚部是（）A．1 B．i C．-3 D．-3i3．党的二十大于2022年10月16日在北京召开，二十大报告中提出：积极稳妥推进碳达峰碳中和，立足我国能源资源禀赋，坚持先立后破，有计划分步骤实施碳达峰行动，深入推进能源革命，加强煤炭清洁高效利用，加快规划建设新能源体系，积极参与应对气候变化全球治理．在碳达峰碳中和背景下，光伏发电作为我国能源转型的中坚力量发展迅速．某村计划安装总装机容量为200千瓦的光伏发电机，经测算每千瓦装机容量的发电机组年平均发电800度，若该村有村民300户，从中随机抽取50户，得到其年用电量情况如直方图所示，根据直方图可得下列说法正确的是（）A．全村年用电量的众数一定是500度B．抽取50户用电量的中位数小于其平均数C．根据50户用电量的平均值可以估计计划安装的光伏发电机组够全村用电D．全村用电量度的概率约为0.00154．如图，在已知直四棱柱中，四边形ABCD为平行四边形，E，M，N，P分别是BC，，，的中点，以下说法错误的是（）A．若，，则B．C．平面D．若．则平面平面5．将函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，并沿x轴向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度得到的图象．若对于任意的，的段大值可能是（）A．-3 B．-2 C．1 D．26．南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列本身不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列（则称数列为一阶等差数列），或者仍旧不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列（则称数列为二阶等差数列），依次类推，可以得到高阶等差数列．类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列1，1，2，8，64．…是一阶等比数列，则该数列的第8项是（）A． B．2 C． D．7．已知定义域为的函数满足，，，若，则的极值情况是（）A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值C．既有极大值，又有极小值 D．既无极小值，也无极大值8．过抛物线的焦点F且倾斜角为的直线l与抛物线在第三象限交于点P，过点P的切线与y轴交于点M，则下列说法正确的是（）A．直线MP的斜率为 B．为等边三角形C．点P的横坐标为定值 D．点M与点F关于x轴对称9．在三棱锥中，是以AC为底边的等腰直角三角形，是等边三角形，．又BD与平面ADC所成角的正切值为，则三棱锥外接球的表面积是（）A．8π B．12π C．14π D．16π10．已知函数关于x的方程有6个不等实数根，则实数t的取值范围是（）A． B．C． D．11．在正三棱柱中，若A点处有一只蚂蚁，随机的沿三棱柱的各棱或各侧面的对角线向相邻的某个顶点移动，且向每个相邻顶点移动的概率相同，设蚂蚁移动n次后还在底面ABC的概率为，有如下说法：①；②；③为等比数列；④，其中说法正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．412．已知P、Q是双曲线上关于原点对称的两点，过点P作轴于点M、MQ交双曲线于点N．设直线PQ的斜率为k．则下列说法错误的是（）A．k的取值范围是且 B．直线MN的斜率为C．直线PN的斜率为 D．直线PN与直线QN的斜率之和的最小值为二、填空题：本题共4小题．每小题5分．共20分。13．若x、y满足约束条件则的最大值为______．14．已知实数a，b满足，．则______．15．在中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c．若，，，AD是BC边上的高线，点D为垂足．点E为线段BD上一点，点B关于直线AE的对称点为点M．从四边形BACM中任取一点，该点来自的概率记为，则的最小值为______．16．已知A，B是圆O：上的两点，，记，，向量，若实数x满足，则的最大值为______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答：第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共5小题．每小题12分，共60分。17．（12分）已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，．（1）求角C；（2）若点D在AB边上，且满足，当的面积最大时，求CD的长．18．（12分）某地区区域发展指数评价指标体系基于五大发展理念构建，包括创新发展、协调发展、绿色发展、开放发展和共享发展5个一级指标．该地区区域发展指数测算方法以2015年作为基期并设指数值为100，通过时序变化，观察创新发展、协调发展、绿色发展、开放发展和共享发展5个分领域指数值的变动趋势．分别计算创新发展、协调发展、绿色发展、开放发展和共享发展5个分指数，然后合成为该地区区域发展总指数，如下图所示．若年份x（2015年记为，2016年记为．以此类推）与发展总指数y存在线性关系．（1）求年份x与发展总指数y的回归方程；（2）若规定发展总指数大于115的年份为和谐发展年，和谐发展年中发展总指数低于130的视为良好．记1分，发展总指数大于130的视为优秀，记2分，从和谐发展年中任取三年，用X表示赋分之和，求X的分布列和数学期望．参考公式：回归方程，其，，，．19．（12分）已知平行六面体中，，，，侧面是菱形，．（1）求与底面ABCD所成角的正切值；（2）点E，F分别在和上，，过点B，E，F的平面与交于G点，确定G点位置，使得平面平面．20．（12分）已知A，B为椭圆左右两个顶点，动点D是椭圆上异于A，B的一点，点F是右焦点．当点D的坐标为时，．（1）求椭圆的方程．（2）已知点C的坐标为，直线CD与椭圆交于另一点E，判断直线AD与直线BE的交点P是否在一定直线上，如果是，求出该直线方程；如果不是，请说明理由．21．（12分）已知函数．（1）当时，研究函数的单调性；（2）当时，恒成立，求a的取值范围．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）已知曲线C的参数方程为直线l的极坐标方程为，若直线l与曲线C交于A，B两点，．（1）求a的值；（2）若点M的坐标为，N是曲线C上的一点，求面积的最大值．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数，（1）求的单调递增区间及的最小值m；（2）若a，b，c均为非负数，且，求的最小值及取得最小值时a，b，c的取值．华大新高考联盟2023届高三3月教学质量测评理科数学参考答案和评分标准一、选择题1．【答案】D【命题意图】本题考查集合的运算、一元二次不等式和绝对值不等式的解法．考查逻辑推理、数学运算核心素养．【解析】∵，，，∴，即．2．【答案】A【命题意图】本题考查复数的定义、相等复数的计算．考查逻辑推理、数学运算核心素养．【解析】设，，，故解得虚部．3．【答案】C【命题意图】本题考查平均数、中位数的计算、数据的处理．考查数学建模、数学运算和数据分析核心素养．【解析】抽取50户的年用电众数为500，不是全村年用电众数，所以A错误．由图可知各组用电频率分别为0.14，0.16，0.30，0.26，0.14，则中位数为，而平均数，所以B错误．全村估计年用电量为300×520=156000度，年发电量约为200×800=160000度>156000度，所以C正确．D显然错误．4．【答案】B【命题意图】本题考查异面直线的概念、线面平行、线面垂直的证明．考查逻辑推理、直观想象、数学运算核心素养．【解析】连接CM，则，由，∴，则，∴，故，选项A正确．MN与CD异面，选项B错误．连接ME，由，，∴，由此可得到平面，选项C正确．若，则四边形ABCD为菱形，∴．∵，∴平面，∴平面平面，选项D正确．5．【答案】B【命题意图】本题考查三角函数的变换、求函数的值域．考查逻辑推理、直观想象、数学运算核心素养．【解析】由题可知图象的纵坐标伸长到原来的2倍得到函数的图象，继续向左平移个单位长度后再向下平移1个单位长度得到的图象．由条件可知，而，所以，，在上单调递增，其最大值．6．【答案】C【命题意图】本题考查类比推理、求数列的通项公式．考查逻辑推理、数学运算核心素养．【解析】记数列1，1，2，8，64，…为，设，所以为等比数列，，，公比为2，所以，则，所以第8项为．7．【答案】C【命题意图】本题考查导数的逆运算、利用函数的单调性求极值．考查逻辑推理、数学运算核心素养．【解析】∵，∴．令，得，∴，则，∴，令，；令，，易知时，单调递减时，，单调递增，∴，，，∴存在，，使得．不妨设，则当时，，当时，，当时，．∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．∴既有极大值，又有极小值．8．【答案】B【命题意图】本题考查直线与抛物线的关系．考查数学抽象、直观想象、数学运算和数据分析核心素养．【解析】如图，抛物线的焦点坐标，过焦点倾斜角的直线l的方程为，联立抛物线化简得，∴∵，，，∴，故A错误，C错误．∴切线方程为，令，，∴点不与焦点F关于x轴对称，故D错误．而，直线l倾斜角为，故，为等边三角形，故B正确．9．【答案】B【命题意图】本题考查线面角、几何体的外接球．考查直观想象、数学运算核心素养．【解析】取AC的中点E，连接BE，DE，则，，可得平面DEB．又平面ADC，故平面平面DEB，且平面平面．在平面DEB中，过点B作于点H，则平面ADC，∴是直线BD与平面ADC所成角的平面角．设，则，易求，，则．由勾股定理可得，即，解得，于是，点H恰好是正的中心（外心），故球心O必在BH上，过的外心E作，与BH交于点O．设三棱锥外接球的半径，在中，由射影定理可得，即，解得，∴三棱锥外接球的表面积．10．【答案】D【命题意图】本题考查函数图象的交点与一元二次方程根的分布问题．考查逻辑推理、数学建模、数学运算核心素养．【解析】画出函数的图象如图所示．所以函数的图象与函数（c为常数）的图象最多三个交点，且有3个实数根时，所以有6个不等实数根等价于一元二次方程在上有两个不同的实数根，所以解得或．11．【答案】C【命题意图】本题考查由数列的递推公式求通项公式．考查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算核心素养．【解析】由题可知，当时，．当时，表示第次在平面ABC顶点上的概率，表示第次在平面顶点上的概率，由底面走到底面的概率为，由上面走到底面的概率为，所以，得，所以是等比数列，首项为，公比为，化简得，故，所以②③④正确．12．【答案】D【命题意图】本题考查双曲线与直线的位置关系．考查逻辑推理、数学运算核心素养．【解析】设点，，，直线与双曲线两支各有一个交点，则斜率k在两条渐近线斜率之间，选项A正确．∵，，选项B正确．由双曲线的第三定义可知，又，∴，选项C正确．，由于等号无法取得，选项D错误．二、填空题13．【答案】．【命题意图】本题考查线性规划．考查逻辑推理、直观想象、数学运算核心素养．【解析】根据题意可得可行域为如图所示区域，容易求得，，．移动直线可知，当直线过A点时z取最大值．14．【答案】1．【命题意图】本题考查函数构造、利用函数单调性求参数．考查数学抽象、逻辑推理、数学运算核心素养．【解析】由，而，化简得．构造函数，显然是单调递增函数，由，∴，解得，，∴．15．【答案】．【命题意图】本题考查余弦定理、函数最值．考查逻辑推理、直观想象、数学运算核心素养．【解析】由余弦定理知，解得，满足，∴为直角三角形，如图所示，作于点G，易知，，要使得最小，则面积最大，即点M到BC的距离MG最大．设，则．∵，，∴，，．∵，∴，∴，当时等号成立．∵MG最大时，，∴．16．【答案】．【命题意图】本题考查向量的运算、余弦定理．考查逻辑推理、直观想象、数学运算核心素养．【解析】如图，∵，∴，．设向量，则．又∵，即，∴，∴，∴．三、解答题17．【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理、重要不等式．考查逻辑推理、数学运算核心素养．【解析】（1）由正弦定理可得，∴，化简得．∵，∴．（2）由余弦定理得，∴，∴，当且仅当时，等号成立．此时．若的面积取到最大，则，为等边三角形，∴，由余弦定理得，∴．18．【命题意图】本题考查回归方程、概率计算、分布列与数学期望．考查逻辑推理、数学建模、数学运算和数据分析核心素养．【解析】（1），，，∴．（2）由题可知，和谐发展年有5个，其中计分为1分的年份有3个，计分为2分的年份有2个．∴，，．所以X的分布列为345数学期望为．19．【命题意图】本题考查空间直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系．考查逻辑推理、直观想象、数学运算核心素养．【解析】（1）取AB的中点M，连接，MC，AC，．∵侧面为菱形，，∴为等边三角形，，．∵，，，由余弦定理知，∴，∴．在中，，，有，∴．又∵，∴平面．又∵平面，∴．∵，，∴平面ABCD．∴为直线与底面ABCD所成的角，则，∴．（2）当E，F分别为线段和的中点时，平面平面．证明如下：连接，，EF，．由点E为线段的中点，则．又∵，平面，∴平面，，，∴平面BEF，平面，∴平面平面BEF．连接交于点N，连接BN，，BD．∴平面平面，∴与平面BEF的交点在线段BN上．∵，，∴，即点G在线段靠近的三