其次章第一节曲面的概念显式方程和隐式方程表示

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第一节曲面的显式方程和

隐式方程

一、由显式方程表示的曲面

设D?R2是有界闭区域，函数f:D?R连续。我们称函数f的图像

G(f)?{(x,y,z)?R:z?f(x,y),(x,y)?D}为一张曲面，它展布在D上，称这个曲面是由显式方程

3z?f(x,y),(x,y)?D

所确定的。

寻常用?表示一个曲面。二、几种常见的曲面

例1在空间直角坐标系中，中心在坐标原点、半径为a、在xy平面上方的那个半球面（称为上半球面），它的显式方程为

1

z?a?x?y，(x,y)?D，

222222D?{(x,y):x?y?a}，即D是其中

xy平面上以原点为中心、半径为a的圆盘。

显然，下半球面的方程为

z??a2?x2?y2，(x,y)?D；

同样可给出左半球面、右半球面的方程式。

例2点集

{(x,y,z):x,y,z?0,x?y?z?1}是R3中的一块等边三角形。这块曲面有显式表达

z?1?x?y，(x,y)?D，

其中D?{(x,y):x,y?0,x?y?1}。

2z?axy(x,y)?R例3由方程，，（常数a?0），所确定的曲面称为

双曲抛物面。

由于这曲面在在xy平面的上的，第一、第三象限中，在xy平面的上

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方，而在其次、第四象限中是在xy平面的下方，因此在原点(0,0,0)的近旁，曲面呈鞍的形状，俗称马鞍面。

例4旋转曲面的方程

1?设想在xz平面上有一条显式曲线

z?f(x),(0?a?x?b)。

假使固定z轴不动，让xz平面围着z轴旋转360?，那么这一条曲线就扫出一张曲面，称之为旋转曲面?。

设(x,y,z)??，它在过点(0,0,z)平行于xy平面的平面上，以(0,0,z)为中心，半径为r的圆周上（z?f(r)），

x2?y2?r2，

于是得这个旋转曲面?的方程为

z?f(x2?y2),(D:a2?x2?y2?b2)。

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?z?f(x),曲线??y?0,0?a?x?b

称为这个旋转曲面?的发生线。

为了了解旋转曲面的几何形态，寻常看一看发生线的形状就足够了。

例如曲面

z?x2?y2,(x,y)?R2，

是一个旋转曲面，这是一个圆锥面；

它的发生线是直线z?x,(x?0,y?0)。

曲面

z?x2?y2，(x,y)?R2，

是一个旋转抛物面，由于它的发

2z?x,(x?0,y?0)生线是抛物线

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2?把xz平面上曲线

z?f(x)(f(x)?0,a?x?b)

绕x轴旋转一周，那么这条曲线就扫出一张曲面，称之为旋转曲面?。设(x,y,z)??，它在过点(x,0,0)平行于yz平面的平面上，以(x,0,0)中心，半径为f(x)的圆周上。显然，曲面?的方程为

y?z?(f(x))，

222由此得旋转曲面在z正方向的方程

22z?(f(x))?y为，(x,y)?D，

其中D是旋转曲面在xy平面的投影区域，

D?{(x,y):?f(x)?y?f(x),a?x?b。例如把xz平面上曲线z?a2?x2，

绕x轴旋转一周，所得旋转曲面

2222x?y?z?a方程为。

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三、曲面的隐式表示

2222{(x,y,z):x?y?z?a?0}例如，

表示中心在原点，半径为a的球面，这个球面上的点完全可以用方程x2?y2?z2?a2?0的解(x,y,z)来表示。

一般地，设三元函数F定义在区域D?R，区域D中所有满足方程

3F(x,y,z)?0，（2）

的点集组成一张曲面，称为由方程（2）所确定的隐式曲面。

x2y2z2例如，a2?b2?c2?1?0表示椭球面；

z?(x?y)?0表示锥面。

222四、曲面的切平面和法向量设p0?(x0,y0,z0)?D是隐式曲面（2）上的一点，任意作一条过点p0的曲面上的曲线?，设?有参数方程

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x?x(t),y?y(t),z?z(t)

并且参数t0对应着点p0，将参数方程的三个分量代入（2），得到一个关于t的恒等式

F(x(t),y(t),z(t))?0，

对上式双方在点t0处求导，得到

?F?F?F(p0)x?(t0)?(p0)y?(t0)?(p0)z?(t0)?0?x?y?z用向量的内积来表示，上式乃是

??F??F?F???x(p0),?y(p0),?z(p0)???x?(t0),y?(t0),z?(t0)??0，??这说明：曲线?在点p0的切向量与向量

??F??F?F?F(p0)????x(p0),?y(p0),?z(p0)??（3）??垂直，由于?是曲面上过点p0的任一条曲线，而（3）是一个固定的向量，这说明：曲线上过点p0的任何曲线在点p0的切线是共面的。这个平面称为曲面（2）在p0的切平面，

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而向量（3）称为曲面（2）在点p0处的一个法向量，所以，曲面（2）在点p0处的切平面的方程是

(x?x0)?F?F?F(p0)?(y?y0)(p0)?(z?z0)(p0)?0?x?y?z（4）

这里(x,y,z)是切平面上的滚动坐标。

曲面在一点处的法线方程亦可写出。

例如：考察球面

F(x,y,z)?x?y?z?a?0，

2222在点(x0,y0,z0)处，由（3）可得法向量(x0,y0,z0)，这是一个指向球外的法向量，可以叫做外法向量。为了求球的切平面方程，由（4）可得

(x?x)x?(y?y)y?(z?z)z?0，

注意到(x0,y0,z0)是球面上的点，

0000008

?x20?y0?z0?a222?2

上式又可写作

xx0?yy0?zz0?a；

例考察椭球面

x2y2z2F(x,y,z)?2?2?2?1?0，

abc在点p0?(x0,y0,z0)处，

法向量

??F??F?F??F(p0)??(p0),(p0),(p0)???y?z??x?2x02y02z0?(2,2,2)，abc切平面

x0y0z0(x?x0)?2(y?y0)?2(z?z0)?0，2abc注意到(x0,y0,z0)是椭球面上的点，上式又可写作

x0y0z0x?2y?2z?1。2abc例由方程F(x,y)?0所确定的隐函数y?f(x),x?I。

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在F(x,f(x))?0,x?I中对x求导得

?F?F?f?(x)?0?x?y(1,f?(x))?(，

，（两向量正交）；

?F?F,)?0?x?y?r?(x)?(1,f?(x))?正是曲线r(x)?(x,f(x))的切?r曲线(x)?(x,f(x))的法向

向量，

(?F?F,)?x?y量。切线方程为

(x?x0)?F?F(x0,y0)?(y?y0)(x0,y0)?0?x?y。

例椭圆或双曲线

xyF(x,y,z)?2?2?1?0，

ab22在点p0?(x0,y0)处的的法向量

法向量

2x02y0??F??F?F(p0)????x(p0),?y(p0)???(a2,b2)，??切线方程为

x0y0x?2y?1。2ab

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五、显式曲面的切平面和法向量

曲面?:z?f(x,y),(x,y)?D，

令F(x,y,z)?z?f(x,y)，则此曲面的方程为

F(x,y,z)?z?f(x,y)?0，(x,y)?D；任取(x0,y0)?D，再置z0?f(x0,y0)，依（3）可得曲面的一个法向量

(??f?f(x0,y0),?(x0,y0),1)（5）?x?y由（5）看出：这法向量的第三个分量为1，所以它同z轴的正向的夹角不超过?，可以称（5）为上法向量，2相应地

?f?f((x0,y0),(x0,y0),?1)?x?y可称为曲面z?f(x,y)的下法向量，这两个法向量只是有相反的方向，所以它们都是垂直于过p0?(x0,y0,z0)的切平面。这时切平面的方程为

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??f?f(x0,y0)(x?x0)?(x0,y0)(y?y0)?(z?z0)?0?x?yz?f(x0,y0)??f?f(x0,y0)(x?x0)?(x0,y0)(y?y0)?x?y，，

(6)

六、对隐式曲面F(x,y,z)?0，在一定条件下，可以解成显式曲面。例如，

?F(p0)?0?z，F?C。

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补充：平面方程，

平面的法线方向。

由两个曲面相交的曲线的切线方程和法平面方程

设曲面?1:F(