概率论与数理统计

本文格式为Word版，下载可任意编辑——概率论与数理统计第五章大数定律和中心极限定理

习题一切比谢夫不等式

一、填空

1.切比谢夫不等式形式是.

2.切比谢夫不等式适合于以为中心的区间上的概率的估计.3.，则=.

二、设电站供电网有10000盏电灯，夜晚每一盏灯开灯的概率都是0.7,而假定开关时间彼此独立，估计夜晚同时开着的灯数在6800与7200之间的概率.

三、废品率为0.03，估计1000个产品中废品多于20个且少于40个的概率.

四、设随机变量X的期望为

内的概率.

，方差为

，试估计X在区间

习题二大数定律

一、贝努里大数定律透露了频率与概率间的什么关系？

二、贝努里大数定律与切比谢夫大数定律的关系如何？

三、表达辛钦大数定律的内容.

四、假使要估计某一地区小麦的平均亩产量，你能根据辛钦大数定律提供一种估计方法吗？

习题三中心极限定理

一、一个螺钉的重量是一个随机变量，期望值是1两，标准差是0.1两,盒内装100个一致型号的螺钉，求其重量超过102两的概率.

二、对敌人的阵地进行轰炸，每次轰炸命中目标的炸弹数目是一个随

机变量，其期望值为2，方差为1.69，求在100次轰炸中有180颗到220颗炸弹命中目标的概率.

三、某保险公司多年的统计资料说明，索赔客户中被盗索赔户占20%，以X表示在随机抽查的100个索赔户中因被盗索赔的户数,（1）写出X的概率分布.

（2）求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率.

四、某保险公司有一万人参与特定商品质量保险，每人每年付12元保

险费，在一年内这类产品出故障概率均为0.006，出故障后可获赔款1000元.求：（1）保险公司一年的利润不小于6万元的概率.（2）保险公司蚀本的概率.

第六章抽样分布

习题一总体与样本

从书库中任取10本书，检查每本书中的错页数，得到样本值为

（8，7，3，6，3，6，3，7，10，12），试写出频率分布及样本分布函数.

习题二统计量

一、计算以下样本均值及样本方差

10，12，15，23，11，12，14，15，11，10，15，17，14，12，11，10，12，14，17，15.二、设

是来自总体

，其中

的样本，现在增加一个样本

.

，证明

习题三抽样分布

一、总体

，今抽取容量为5的样本

，试问：

⑴样本均值大于13的概率为多少？⑵样本的微小值小于10的概率为多少？⑶样本的极大值大于15的概率为多少？二、设

是来自正态总体

，

，

听从自由度为2的分布.

的样本，

，

证明统计量

三、设

求以下统计量的概率分布：

是来自总体的容量为的样本，

⑴

；⑵；⑶

四、查表求以下各式中的⑴⑶⑸

值.；⑵；⑷；⑹

；；

.

复习题

一、填空题1．设.

2．

样本方差分别为2．设总体

其中

与

，和

，则统计量

，且

与听从，

，

相互独立，其样本容量分别为

和

，

，

为容量为10的样本的样本均值，则

的条件是.

，

，

相互独立，

以及

分别是来自总体

分布，4．若

，则

5．设

与的样本，则统计量听从

的数学期望是.是来自总体

的一个样本，

听从分布，概率密度函数是.

的样本，

是来自正态总体

，则当

时，统计量6．设随机变量

和

听从

，

分布，其自由度为.，而

和

相互独立且都听从正态分布

分别是来自总体

自由度是.二、选择题1．设

和的样本，则统计量听从分布，

是来自正态总体

的样本，

为样本均值，记

则听从自由度为的分布的随机变量是.

（A）（B）

（C）2．设

（A）（B）（C）（D）3．设（A）4．设

的值为.

（A）

（D）是来自正态总体

听从听从

听从听从

是来自正态总体；（B）

是来自正态总体

；（C）

.；

的样本，则以下结论成立的是.；；

的样本，则

；（D）

的样本，

听从的分布是..，则

；（B）；（C）；（D）.

（

，

，…，

为

5．设是来自正态总体

不全为零的常数）听从.

的样本，则

二、总体自总体

三、设

的分布密度为又设

.

，是一个来

的样本.试求：（1）的矩估计量；（2）的方差

是来自总体

的样本，

的密度函数为

求参数

的矩法估计和极大似然估计

，并验证无偏性和一致性.已知，

为来自总体

的样本，置信度为

，标准差为

，求

的置信区间.

四、设总体

五、在某地区小学五年级男生的体检记录中，随意抄录了高

和身高标准差

的

名男生的身高数据，测得平均身高为，试求该地区小学五年级男生平均身

的置信区间（假设身高近似听从正态分布）.

第八章假设检验

第一节假设检验的基本概念

一、什么是参数检验和非参数检验？

二、什么是双侧假设检验和单侧假设检验？

三、假设检验的基本思想及其基本步骤？

四、什么是第一类错误和其次类错误及如何降低犯这两类错误？

其次节一个正态总体参数的假设检验

一、某种零件长度的方差为位：mm）：

10.5

10.4810.5110.50）？

10.5210.46问：这批零件的长度均值能否认为是10.50毫米（

，今对一批这种零件检查6件，测得长度数据如下（单

二、设在木材中抽出100根，测其小头直径，得样本平均值数

，问该批木材的平均小头直径能否认为是在12cm以上（

三、设某批矿砂的镍含量（%）X听从正态分布.今随机抽取5个样本，测定镍含量的百分比为：3.25，3.27，3.24，3.26，3.24.问在3.25%.

四、进行5次试验，测得锰的熔点（oC）如下：

的状况下能否认为这批镍含量的均值为

，已知标准差）？

1269

1271125612651254）？

已知锰的熔化点听从正态分布，是否可以认为锰的熔化点显著高于1250oC（取

五、在正常状况下，某工厂生产的电灯泡的寿命X听从正态分布.现测得10个灯泡的寿命（小时）如下：

1490

1440168016101500175015501420）.

18001580能否认为该厂生产的电灯泡寿命的标准差为小时（

六、某种导线，要求其电阻的标准差不得超过0.005测得样本标准差

导线电阻的标准差显著地偏大？

.今在生产的一批导线中抽样品9根，

下能否认为这批

.设总体为正态分布，问：在显著性水平

第三节两个正态总体参数的假设检验

一、某厂铸造车间为提高缸体的耐磨性而试制一种镍合金铸件以取代一种铜合金铸件，现从两种铸件中各抽一个样本进行硬度测试（表示耐磨性的一种考核指标），其结果如下：

合镍铸件（X）合铜铸件（Y）72.069.869.570.074.072.070.568.571.873.070.0根据以往经验知硬度，，且，.

问：在的显著性水平上比较镍合金铸件硬度与铜合金镍件硬度有无显著性差异？

二、对两批同类无线电元件的电阻X、Y进行测试，测得结果如下，（单位：欧姆）

XY0.140.1350.1380.1400.1430.1420.1410.1360.1440.1380.1370.1400.141由经验知，两批无线电元件的电阻X、Y都听从正态分布且方差相等.问：能否认为这两批无线电元件的电阻无显著差异（）？

二、从随机抽取的467名男性中发现有8人色盲，而433名女性中发现有1人色盲，在水平上能否认为女性色盲比例比男性低？（提醒：设男性色盲的比例为

，女性色盲的比例为

，则检验的假设组为：

，

，由所给出的备择假设，利用大样本的正态近似得在

为

）

水平上的拒绝域

复习题

一、选择题

1．以下问题中，哪一个不是假设检验问题（）.

A、问电厂工人的平均工资是否高于钢厂工人的平均工资；B、比较两种品牌的电视机是否有显著性差异；C、问某地区农民的平均收入是多少；

D、比较不同工艺下生产的产品，它的质量是否比原来的高.2．在假设检验中，记H0为待检验假设，则称（）为第一类错误.

A、H0为真，接受H0；B、H0为假，拒绝H0;C、H0为真，拒绝H0；D、H0为假，接受H0.

3．设D0为接受域，D1为拒绝域，则以下哪一项属于其次类错误（）.

A、H0为假，C、H0为真，

；B、H0为假，；D、H0为真，

；.

4．显著性水平为的检验，即是（）

A、要求犯第一类错误的概率不超过；B、要求犯其次类错误的概率不超过；

C、要求犯两类错误的概率之和不超过；D、以上都不对.5．以下陈述哪一个是正确的（）

A、在假设检验中，当作出接受原假设H0的结论时，意味着H0一定正确；B、在假设检验中，当作出拒绝原假设H0的结论时，意味着H0一定不正确；

C、在同一假设检验中，假使原假设和备择假设选取不同，不会得到不同的检验结果；D、在同一假设检验中，假使原假设和备择假设选取不同，可能会得到不同的检验结果.6．同一假设检验问题，当显著性水平从0.05变到0.01时，否定域随之（）

A、扩大；B、缩小；C、不变；D、不能确定.7．设总体分布为

，其中

已知，

为取自总体的简单样本.令

，则

A、

；B、

（）；C、，若

；D、

.

的检验，使用（）

8．设正态总体未知，关于方差

A、U统计量；B、t统计量；C、

统计量；D、F统计量.

二、填空题

1．假设检验依照总体类型是否已知可以分和.2．假设检验依照拒绝域的形状可以分和.3．在假设检验中存在着两错误：第一类错误，即和其次类错误，即，二者之间存在着关系.4．总体

，当

未知时，用样本检验原假设

，可以采用听从分

布的统计量；当5．总体若检验原假设6．总体

，则

7．设

已知时，可以采用听从分布的统计量.未知时，若检验原假设的拒绝域为.

；

是一组样本观测值，，则

的拒绝域为，，当，则

，若检验原假设的拒绝域为.是来自正态总体

的简单随机样本，其中参数和未知，记

，使用的

三、计算