控制工程课件控制系统的频域响应

控制工程课件控制系统的频域响应第1页，共49页，2023年，2月20日，星期五采用正弦信号作为输入信号，当系统稳定后，其输出称频率响应。系统输入r(t)=Sint输出（稳定后）c(t)=ASin（t+）

系统对不同频率的正弦输入的响应特性称为频率特性。引言对于一般的线性定常系统，其输出为：稳态响应

第2页，共49页，2023年，2月20日，星期五数学基础：

付立叶（富里哀）级数、复变函数等频率响应法特点： 是一种图解分析法，可以根据开环的频率特性去判断闭环性能；还可以指出改善性能的途径，并对系统进行校正；系统的频率特性很容易通过实验获得，用S代替j就成了传递函数。频率特性是一种广泛使用的工程方法。在控制理论中占有很重要的地位。

频率特性用于系统的分析与设计， 根据：一般周期性的输入信号可以分解为付立叶富里哀）级数，它由一些不同频率、幅值的正弦分量组成，知道了各正弦分量的响应便知道全部的响应（迭加）第3页，共49页，2023年，2月20日，星期五一、基本概念系统输入r(t)=RSin(t+0)通常令0=0稳定后输出C(t)=CmSin（t+）三要素：频率：

不变

幅值：

RCm关系为：

幅角：

0

关系为：

G(s)§4-1频率特性的基本概念第4页，共49页，2023年，2月20日，星期五幅频特性相频特性输入r(t)=RSin（t+0）频率特性控制系统的频率特性--基本概念第5页，共49页，2023年，2月20日，星期五二、频率特性的求法控制系统的频率特性--基本概念1．从输出响应的稳态项求取：例如：

输入信号为

输出：

经过反变换后，便可得：

前一项为稳态项，则：

第6页，共49页，2023年，2月20日，星期五控制系统的频率特性--基本概念2．从传递函数求取当我们用指数表达输入输出时，有：

则:而对于一般的线性定常系统，其微分方程为：

第7页，共49页，2023年，2月20日，星期五由此可知，将传递函数的S换后，用传递函数就表示了系统的频率特性（幅频、相频均反应），这样是一个复变量，可表示为：控制系统的频率特性--基本概念

等式右边相当于把传递函数中的S换为则：

系统响应为：

第8页，共49页，2023年，2月20日，星期五控制系统的频率特性--基本概念

例如，对于

则：第9页，共49页，2023年，2月20日，星期五3、频率特性的实验确定方法系统测试仪:

正弦波发生器：幅值频率可调 相关器：输入输出幅值相角比较计算 显示：倍数、增益、相位差稳定后输出C(t)=CmSin(t+)输入r(t)=MSint测试仪输出1、选定幅值，测量各种频率输入下的增益和相位差；

2、描点画出Bode图；3、画出近似特性曲线，由交点得转折频率控制系统的频率特性--基本概念第10页，共49页，2023年，2月20日，星期五一、频率特性的几种表示方法例：直角坐标表示方法：极坐标表示方法：实频特性虚频特性§4-2频率特性的极坐标图第11页，共49页，2023年，2月20日，星期五极坐标表示方法：§4-2频率特性的极坐标图当取不同值时，复数向量端点的轨迹就反映了频率特性，由于它是在极坐标下的图，因此，把它称作频率特性的极坐标图(Nyquist图

)第12页，共49页，2023年，2月20日，星期五控制系统的频率特性--极坐标图二、典型环节的奈氏图第13页，共49页，2023年，2月20日，星期五典型环节的极坐标图：∞=0↑=1/2小0∞∞0

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二阶振荡环节控制系统的频率特性--极坐标图第14页，共49页，2023年，2月20日，星期五典型环节频率特性极坐标图的大致走向按照各个典型环节频率特性在各个频率下的大小迭加而成。它是一条大致的曲线，需要准确的地方，如：和负实轴相交的地方，才需要准确计算三、系统频率特性极坐标图（奈奎斯特曲线）的绘制第15页，共49页，2023年，2月20日，星期五每增加一个惯性环节,起始点不变,终点仍在原点，只是相角切入角-90°;此时,频率特性曲线与负实轴会有交点,应准确求出:令虚部为零,得到代入实部便得第16页，共49页，2023年，2月20日，星期五与例1区别仅多了一个积分环节由于=0+时，惯性环节的相角有很小的负值，所以，曲线在=0+处应在第三象限随的增加，幅值减小，相角滞后越大，变化趋势如图。（从使用角度，不必准确）=∞幅值为零，相角为3*（-90°）。最关心的是相角＝-180°时的幅值。第17页，共49页，2023年，2月20日，星期五“0”型系统：奈氏曲线从实轴（幅值=K处）开始奈氏曲线在=0到0+的变化随系统的不同而差别很大：“1”型系统：奈氏曲线从实轴（幅值=∞处）开始，=0+就转过-90°到负虚轴附近；是在第三或第四象限，应比较=0+时各零点的相角之和与各极点相角之和哪个大，前者大则在第四象限，否则第三象限“2”型系统：奈氏曲线也是从实轴（幅值=∞处）开始，=0+就转过-180°到负实轴；是在第二或第三象限，也是比较=0+时各零点的相角之和与各极点相角之和，前者大则第三象限，否则第二象限系统奈奎斯特曲线（开环频率特性极坐标图）的绘制要点：第18页，共49页，2023年，2月20日，星期五n>m:奈氏曲线终止在原点（=∞），切入方向根据零、极点确定,即：N(-90°)+M(90°)求奈氏曲线与实轴的交点：令虚部为零，得到代入实部而得第19页，共49页，2023年，2月20日，星期五一、半对数坐标表示方法(Bode图)两张图：相频特性对数幅频特性半对数坐标：

频率横坐标刻度按对数值等分标注仍用实际频率值描述增益与频率的关系描述相角与频率的关系Lg0.6=-0.2218Lg0.8=-0.0969Lg2=0.301Lg3=0.4771Lg4=0.602Lg20=1.301§4-3频率特性的伯德图第20页，共49页，2023年，2月20日，星期五二、典型环节的频率特性比例环节控制系统的频率特性—典型环节伯德图第21页，共49页，2023年，2月20日，星期五-20dB/dec20dB-20dB/dec积分环节L1(w)20lgK110控制系统的频率特性—典型环节伯德图第22页，共49页，2023年，2月20日，星期五惯性环节≈控制系统的频率特性—典型环节伯德图第23页，共49页，2023年，2月20日，星期五

wt>>1的近似线斜率-20dB/dec,与零分贝线交于处惯性环节的对数幅频特性通常用折线近似:

绘制惯性环节的Bode图方法控制系统的频率特性—典型环节伯德图第24页，共49页，2023年，2月20日，星期五1/τ-20dB/decL(ω)wφ(ω)-90°wL(ω)1-84.3°-45°-5.7°绘制惯性环节的Bode图的方法2、wt<<1部分画0dB/dec线3、延长至1/t处斜率转折为-20dB/dec线1、找出w＝1/t称w=1/t转折频率相频特性不能用近似特性需要时，对近似特性进行校正，通过转折频率w=1/t处-3dB点画光滑曲线控制系统的频率特性—典型环节伯德图第25页，共49页，2023年，2月20日，星期五w惯性环节极坐标图G(jw)幅值随w增加而变小，幅角从0→-90∘，矢量末端轨迹是个半圆对照BODE图w=0处实部＝1控制系统的频率特性—典型环节伯德图第26页，共49页，2023年，2月20日，星期五120dB/dec1/τwφ(ω)-90°wL(ω)1-45°-20dB/decL(ω)+45°G(jw)=1+jwt微分环节传递函数与积分环节互为倒数，它们的Bode图以实轴相互对称；而一阶微分环节则与惯性环节对称。控制系统的频率特性—典型环节伯德图第27页，共49页，2023年，2月20日，星期五幅频特性：相频特性：对数幅频特性：振荡环节对数幅频特性低频段0dB/dec线，过转折频率1=1/后斜率变为-40dB/dec直线控制系统的频率特性—典型环节伯德图第28页，共49页，2023年，2月20日，星期五振荡环节Bode图幅频特性精确曲线与大小有关,因此，近似曲线应根据值进行修正；误差最大发生在=1/处。0.10.20.30.40.50.70.80.91L()14.07.964.441.940-2.92-4.08-5.1-6相频特性曲线也与大小有关L()|=1/=-20lg(2)控制系统的频率特性—典型环节伯德图第29页，共49页，2023年，2月20日，星期五迟后环节迟后环节的Bode图=0极坐标图：控制系统的频率特性—典型环节伯德图第30页，共49页，2023年，2月20日，星期五前式两边取对数再乘20，得系统开环频率特性大都是典型环节串联起来的这样，系统的对数幅频特性、相频特性分别是串联 典型环节的对数幅频 特性、相频特性相加二、系统开环频率特性的绘制控制系统的频率特性—典型环节伯德图第31页，共49页，2023年，2月20日，星期五系统可看成三个环节串联：一个比例环节、两个惯性环节低频为0dB/dec直线，在i=1/Ti处转折为-20dB/dec的直线控制系统的频率特性—典型环节伯德图第32页，共49页，2023年，2月20日，星期五L1()20lgKw1=1/T1L2()-20dB/decL3()w2=1/T20dB/dec-20dB/dec-40dB/decL()系统相频特性通过表达式计算描点分析：系统开环传函由三个典型环节组成，其对数幅频特性的近似特性由三段组成；转折处频率就是两个惯性环节的转折频率（=1/T）；经过一个惯性环节转折频率后，对数幅频特性的近似特性的斜率增加-20dB/dec;控制系统的频率特性—典型环节伯德图第33页，共49页，2023年，2月20日，星期五

根据上述分析，绘制系统开环对数幅频特性的近似特性步骤如下：①求出各环节的转折频率。②画高度为20lgK的直线，从01（最小的转折频率）作为系统对数幅频特性近似特性的低频段。③在1后，斜率变为-20dB/dec,因为该转折处频率是惯性环节的转折频率（振荡环节则-40dB/dec)，随的增加，每经过一个转折频率，幅频特性的斜率改变一次。④系统相频特性通过表达式计算描点控制系统的频率特性—典型环节伯德图第34页，共49页，2023年，2月20日，星期五解：该系统由5个典型环节组成：1、比例环节

K=4

20lgK=12dB3、惯性环节

转折频率

1=1/2=0.5(1/sec)

幅频特性经过1斜率增加-20dB/dec；

相频特性为0°→-45°→-90°4、一阶微分环节

转折频率

2=1/0.5=2（1/sec）

幅频特性经过2斜率增加+20dB/dec

； 相频特性为0°+45°+90°2、积分环节

幅频特性-20lg是一条过=1，斜率-20dB/dec

的直线 相频特性-90°

5、振荡环节

转折频率

3=1/0.125=8（1/sec）

幅频特性经过3斜率增加-40dB/dec

相频特性为0°-90°

-180°

2T=0.05=0.2幅频特性应修正20lg2=8dB

第35页，共49页，2023年，2月20日，星期五-60dB/decL()2=

21=0.512dB-20dB/dec-20dB/dec-40dB/dec()

=0.23附近幅值应修正,增加8dB3=8准备坐标：频率范围：最小1=0.5，最大3=8；横坐标范围大约从0.05到80w-f(w)0.5-1221.6-1292-1278-19110-237第36页，共49页，2023年，2月20日，星期五()-60dB/decL()2=

21=0.5-20dB/dec-20dB/dec-40dB/dec3=8Bode定理二线性最小相位系统，L()与()关系唯一Bode定理一线性最小相位系统，L()的斜率与()有对应关系：斜率为N*(±20dB/dec)对应相角N*(±90°)；系统的相角当然由整个频率范围内的各斜率决定，但某频率下的相角主要由该频率下的斜率决定，其余斜率的影响越远越小。第37页，共49页，2023年，2月20日，星期五系统开环频率特性的绘制小结：绘制系统开环对数频率特性曲线（Bode图）：有两张图，都是按典型环节相加，开环对数幅频特性曲线通常可以使用近似特性，绘制时根据传递系数、环节的转折频率和斜率一步就可以画出绘制系统频率特性极坐标图（奈奎斯特曲线）：抓住曲线头尾的特征，曲线与实轴的交点计算而得绘制系统频率幅相图（尼柯尔斯图线）：先画Bode图，再对应描点绘制控制系统的频率特性—典型环节伯德图第38页，共49页，2023年，2月20日，星期五§4-5由频率特性曲线求系统的传递函数对于一般的线性定常系统，其频率特性总可以写成：

当=0

称该系统为0型系统；当=1

称该系统为I型系统；当=2

称该系统为II型系统。以此类推。第39页，共49页，2023年，2月20日，星期五对0型系统（相当于比例、积分和惯性环节迭加）低频段：ω很小，转角频率为：ω1=1/T1,ω2=1/T2,ω3=1/τ1。（设ω1<ω2<ω3）分别画出各环节的渐近线，迭加后得：第40页，共49页，2023年，2月20日，星期五对I型系统（相当于比例、积分和惯性环节迭加）低频段：ω很小，ωτ1、ωT1、ωt2<<1转角频率为：ω1=1/T1,ω2=1/T2,ω3=1/τ1。（设ω1<ω2<ω3）分别画出各环节的渐近线，迭加后得：则ω=1时

低频段近似