近世代数期末考试试卷及答案

近世代数模拟试题三

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个

备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、

多选或未选均无分。

1、6阶有限群的任何子群一定不是()。

A、2阶B、3阶C、4阶D、6阶

2、设G是群，G有()个元素，则不能肯定G是交换群。

A、4个B、5个C、6个D、7个

3、有限布尔代数的元素的个数一定等于()。

A、偶数B、奇数C、4的倍数D、2的正整数次幕

4、下列哪个偏序集构成有界格()

A、(N,<)B,(Z,>)

C、({2,3,4,6,12},|(整除关系))D、(P(A),±)

5、设S3={⑴,(12),(13),(23),(123),(132)},那么，在S3中可以与(123)

交换的所有元素有()

A、(1),(123),(132)B、12),(13),(23)

C、(1),(123)D、S3中的所有元素

二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正

确答案。错填、不填均无分。

1、群的单位元是-------的，每个元素的逆元素是--------的。

2、如果/是A与，间的一一映射，。是A的一个元，则/'/(")］=---------。

3、区间［1,2］上的运算a"={mina,6}的单位元是------。

4^可换群G中|a|=6,|x|=8,贝Uax|=--------------------。

5、环乙的零因子有----------------------。

6、一个子群H的右、左陪集的个数---------。

7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的--------o

8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的----------o

9、设群G中元素。的阶为m,如果a"=e,那么机与"存在整除关系为

三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)

1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链?

2、S„S2是A的子环，则SCS2也是子环。S1+S2也是子环吗？

3、设有置换o=(1345)(1245),t=(234)(456)e§6。

1.求5和t除；

2.确定置换仃和r心的奇偶性。

四、证明题(本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分)

1、一个除环R只有两个理想就是零理想和单位理想。

2、M为含幺半群，证明占T的充分必要条件是aba=a^\ab^e。

近世代数模拟试题三参考答案

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个

备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、

多选或未选均无分。

1、C；2、C；3、D；4、D；5、A；

二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正

确答案。错填、不填均无分。

1、唯一、唯一；2、。；3、2；4、24；5、金彳工；6、相等；7、商群；8、特征;

9、帅；

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）

1、解在学群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法。用笔在纸上画一下，用

黑白两种珠子，分类进行计算：例如，全白只1种，四白一黑1种，三白二黑2

种，…等等，可得总共8种。

2、证由上题子环的充分必要条件，要证对任意a,beSinS2有a-b,abGSl

AS2：

因为SI,S2是A的子环，故a-b,abCSl和a-b,abGS2,

因而a-b,abeSlAS2,所以S1CS2是子环。

S1+S2不一定是子环。在矩阵环中很容易找到反例：

ab

设力=舷2（7），司=.\a,c&Z\,S=<卜其2

200

易见Si与S2均为子环，但$1+5=；\a,b,ce工加是子环.

3、解：i,5=(1243)(56),T-'O=(16524).

2.两个都是偶置换。

四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）

1、证明：假定〃是R的一个理想而〃不是零理想，那么aHOe〃，由理想的定

义a%=lj,因而R的任意元6=

这就是说〃=R,证毕。

2、证必要性：将b代入即可得。

充分性：利用结合律作以下运算：

ab=ab（ab2a）=（aba）b2a=ab2a=e,

ba=（ab2a）ba=ab2（aba）=ab2a=e,

所以b=a-lo

一.判断题（每小题2分，共20分）

1.实数集R关于数的乘法成群.（）

2.若”是群G的一个非空有限子集，且都有a匕eH成立，则”是G的一个子

群.（）

3.循环群一定是交换群.（）

4.素数阶循环群是单群.（）

5.设G是有限群，a&G,〃是a的阶，若a*=e,则〃（）

6.设/是群G到群G的同态映射，”是G的子群，则/（H）是G的子群.（）

7.交换群的子群是正规子群.（）

8.设G是有限群，”是G的子群，则|%|=氏.（）

9.有限域的特征是合数.（）

10.整数环Z的全部理想为形如"Z的理想.（）

二.选择题（每小题3分，共15分）

11.下面的代数系统（G,*）中，（）不是群.

A.G为整数集合，*为加法；B.G为偶数集合,*为加法；

C.G为有理数集合，*为加法；D.G为整数集合，*为乘法.

12.设"是G的子群，且G有左陪集分类如果”的阶为6,那么G

的阶@=()

A.6；B.24；C.10；D.12.

13.设邑={⑴,(12),(13),(23),(123),(132),},则邑中与元(123)不能交换的元的个数

是

A.1；B.2；C.3；I).4.

14.从同构的观点看，循环群有且只有两种，分别是()

A.G=(a)与G的子群；B.整数加法群与模〃的剩余类的加法群；

C.变换群与置换群；D.有理数加法群与模〃的剩余类的加法群.

15.整数环Z中，可逆元的个数是(),

A.1个B.2个C.4个1).无限个

三.填空题(每小题3分，共15分)

16.如果G是全体非零有理数的集合，对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元

是.

17.〃次对称群的阶是.

18.整数加法群Z关于子群nZ的陪集为.

19.设N是G的正规子群，商群%中的单位元是。

20.若R是交换环，aeR则主理想(a)=.

四.计算题(第21小题8分,第22小题12分，共20分)

23456、(\23456)

21.123156”

54321,

123456、仙.

T-c,计算per,b.

621

22.设"=HD,(123),(132)}是3次对称群S3的子群，求”的所有左陪集和右陪集，并说

明”是否是邑的正规子群.

五.证明题(每题10分，共30分)

23.设G是群，”是G的子群，证明：aeG,则”"。一|也是子群

24.设G是群，〃是G的正规子群.G关于〃的陪集的集合为

%={g"lgeG}，

证明：G/"对于陪集的乘法成为一个群，称为G对”的商群.

25.证明：域尸上全体〃x〃矩阵的集合用“（尸）在矩阵的加法和乘法下成为环.

一.判断题（每小题2分，共20分）

1-10XXVVVVVVXV

二.选择题（每小题3分，共15分）

11.D；12.B；13.C；14.B；15.B.

三.填空题（每小题3分，共15分）

16.1；17.〃!；18.卜?Z,“Z+1,…,〃Z+（〃-11；

19.N；20.aR.

四.计算下列各题（第21小题8分，第22小题12分，共20分）

‘123456、

21.解:P<7=....................................4分

、546213,

(123456)

22.解：H的所有左陪集为

"={(1),(123),(132)},

(12)//={(12),(13),(23)}；....................................4分

H的所有右陪集为

〃={⑴,(123),(132)},〃。2)={(12),(13),(23)}.

对TbeS?,有bH=Hb,即"是正规子群......................12分

五.证明题(每题10分，共30分)

23.证明：因为“是G的子群，对任意有