初中数学 导学案：实数 全省一等奖

教学内容：实数【学习目标】1．能说出无理数和实数的意义，并会对实数进行分类.2．熟记实数相反数的意义，实数与数轴上点的对应关系.3．会比较两个实数的大小.4．会按结果所要求的精确度用近似的有限小数代替无理数进行实数的加、减、乘、除、乘方及开方运算.【主体知识归纳】1．无理数小数字数是无限的，而且是不循环的小数，叫做无理数.2．实数及其分类有理数和无理数统称实数，因此实数可以这样分类：实数还可以按大小分类如下：3．实数的相反数、绝对值的意义a的相反数是－a，a＋（－a）＝0，即互为相反数的和等于0；绝对值的意义是：一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.4．实数和数轴上点的对应关系实数和数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反之，数轴上的每一个点都可以用一个实数来表示.5．运算律和运算性质有理数的运算律和运算性质在实数范围内仍然适用.【基础知识精讲】1．对于无理数概念的理解应注意（1）从无理数的定义可知，无理数应满足三个条件：①小数；②无限小数；③不循环.三者缺一不可，带根号的数不一定是无理数.一般地，凡是开方开不尽的数（如、、）都是无理数，但并非所有的无理数都是开方开不尽的数.例如圆周率π就不是开方开不尽的无理数，再如…（两个2之间依次多个0）等.更不能认为“带根号的数都是无理数”.如、等均为有理数.（2）要把无理数与它的近似值严格区分开来.例如π是无理数，但它的近似值、等都是有理数.不能认为等于π，π是无理数，而是有理数.2．对于实数的分类，我们学习了两种一种是按有理数和无理数分类，一种是按大小分类.分类可以有不同的方法，但要按同一标准，做到不重不漏.有理数包括有限小数和无限循环小数，这时应注意“无限循环小数”和“无限不循环小数”的区别.前者都可以化为分数，而后者则不能化为分数.是无限小数不一定是无理数,而无理数一定是无限的小数.在进行数的分类与判别时，一定要注意以上几点.3．虽然有理数的运算律和运算性质在实数范围内同样适用，但要注意正数和零可以进行开平方或开立方运算，但负数只能开立方，不能开平方.在进行实数运算时，凡涉及无理数运算的问题，均可根据题目的需要取近似值，转化成有理数的计算.4．实数的大小比较是一类综合性较强的题目，往往需要把取近似有理数值、平方、找中介值等方法综合起来运用.【例题精讲】［例1］将下列各数分别填在相应的集合里0，，－2，－2，－1，－7－2，，…，，，….有理数集合{…}无理数集合{…}剖析：要根据有理数和无理数的定义，分别去检验，而不能只看形式.，是开方开不尽的数，是无理数.－虽然带根号，但被开方数，所以－是有理数.同理也是有理数.－2＝＝100，是有理数，同理，－7－2也是有理数.是开方开不尽的数，是无理数，所以－1和也都是无理数.虽然是分数形式，但π是无理数，故是一个无理数.…是两1之间依次多个0，是无限不循环小数，所以它是无理数.解：有理数集合{0，－，－2，－2，－7－2，，…，，…}无理数集合{－1，，…，…}说明：由于有理数集合和无理数集合均包含无限多个数，故不要漏掉括号里面的省略号.［例2］计算：（1）－π＋（精确到）；（2）（－）×2（保留三个有效数字）.解：（1）－π＋≈×－＋≈（2）（－）×2≈－×2×－≈－．说明：在实数运算中，当遇到无理数，并且需要求出结果的近似值时，中间过程可用此要求多保留一位或一个有效数字的相应的近似值来代替无理数进行计算.［例3］比较下列各数的大小（1）－π与－；（2）2与3.剖析：对于－π与－，可以用近似的有理数代替，再用比较大小的方法来解决；对于2与3，可采用平方后再比较大小的方法.解：（1）∵－π＝－…，而－＝－…，∴－π>－；（2）∵（2）2＝60，（3）2＝54，而60>54，∴2>3.［例4］阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示|AB|.当A、B两点中有一点在原点时，不妨设A在原点如图10－1，|AB|＝|OB|＝|b|＝|a－b|，图10－1图10－2图10－3图10－4当A、B两点不在原点时，①如图10－2，点A、B都在原点右边，|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝b－a＝|a－b|；②如图10－3，点A、B都在原点左边，|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝－b－（－a）＝|a－b|；③如图10－4，点A、B在原点两边，|AB|＝|OA|＋|OB|＝|a|＋|b|＝a＋（－b）＝|a－b|.综上所述，数轴上两点之间的距离|AB|＝|a－b|.回答下列问题：（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是_____，数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是_____，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是_____；（2）数轴上表示x和－1的两点A和B之间的距离是_____，如果|AB|＝2，那么x＝_____；（3）当代数式|x＋1|＋|x－2|取最小值时，相应x的取值范围是_____.解：（1）|2－5|＝|－3|＝3，|－2－（－5）|＝|－2＋5|＝3；|1－（－3）|＝|4|＝4；（2）|x－（－1）|＝|x＋1|，由|x＋1|＝2，得x＋1＝2或x＋1＝－2，∴x＝1或x＝－3；（3）数形结合，若|x＋1|＋|x－2|取最小值，那么表示x的点在－1和2之间的线段上，∴－1≤x≤2．【同步达纲练习】1．填空题（1）在－、、、－、、0、－1、0.、、、…中，______是整数，________________是无理数，__________________是有理数.（2）－2的相反数是_____，绝对值是_____.（3）在数轴上表示－的点离开原点的距离是_____.（4）最小的正整数是_____，绝对值最小的实数是_____.（5）若实数a，b在数轴上的对应点如图10－5所示，化简｜a｜－｜a＋b｜－｜b－a｜的结果为_____.图10－5（6）一个负数a的倒数等于它本身，则＝_____；若一个数a的相反数等于它本身，则＝_____.2．选择题（1）下列说法中正确的是（）A．倒数等于本身的数只有1B．绝对值等于本身的数只有0C．相反数等于本身的数只有0D．算术平方根等于本身的数只有1（2）下列语句中，正确的是（）A．无理数与无理数的和一定是无理数B．无理数与无理数的积一定是无理数C．无理数与有理数的和一定是无理数D．无理数的乘方一定是无理数（3）下列语句中，不正确的是（）A．数轴上表示的数，如果不是有理数，那么一定是无理数B．大小介于两个有理数之间的无理数有无数个C．－1的立方是－1，－1的立方根也是－1D．两个实数，较大者的平方也较大（4）已知实数a、b、c在数轴上的位置是：a在b的左边，b在0的左边，c在0的右边，则计算a＋｜b－a｜＋｜b－c｜的结果是（）A．cB．2b＋cC．2a－cD．－2b＋c（5）下列说法中正确的是（）A．是最小的无理数B．－是最大的负无理数C．在大于－且小于的实数中，没有其它无理数D．在数轴上与原点距离等于的点之间有无限多个点表示无理数（6）下列等式一定成立的是（）A．｜a｜＝aB．｜a｜＝｜－a｜C．｜a｜＝－aD．＝1（7）在实数范围内，下列判断正确的是（）A．若｜x｜＝｜y｜，则x＝yB．若x＞y，则x2＞y2C．若｜x｜＝（）2，则x＝yD．若，则x＝y（8）数a、b在数轴上的位置如图10－6所示，则下列各式中有意义的是（）图10－6A．B．C．D．3．求下列各数的相反数与绝对值（1）；（2）2－；（3）；（4）.4．比较下列各组数的大小（1）－与－；（2）5与6；（3）与.5．计算：（1）＋π＋（精确到）；（2）（－2）3×.6．已知|2003－a|＋＝a，求a－20032的值.7．计算：.8．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点，分别按下列要求画三角形.图10－7图10－8（1）使三角形的三边长分别为3，2在图10－7中画一个即可；（2）使三角形为钝角三角形且面积为4，在图10－8中画一个即可.9．阅读理解题：阅读下列内容：求18－8的算术平方根.解：∵18－8＝18－2＝18－2＝10＋8－2＝∴8－4的算术平方根是完成题目：求17－4的算术平方根.【知识拓展题】π与祖冲之提起圆周率π，小学中大家都知道π＝，现在看来这是不准确的，因为π是一个无限不循环小数，是一个无理数.只不过是它的一个近似数.十九世纪有个外国人，用尽毕生精力将π算到707位.但后人发现，他算得的结果中第528位后的数值是错误的.如果用现在的计算机只要几小时就可算到十万位，印出来有20页，这当然还没算完.早在一千五百年前，我国数学家祖冲之（公元429～500年）推算就已精确到小数点后七位，即＜π＜，在当时是一项了不起的科学成就.到了十五世纪，才由伊斯兰国家的数学家阿尔·卡西打破了祖冲之保持的精确到七位小数的记录.但这已经是祖冲之以后近千年的事了.在实际应用时，无理数π除了常用一个有限小数近似的来表示外，有时也用一个分数来近似地表示.在祖冲之以前，就有人用和来表示π，后来祖冲之又用来表示π.在我国，因为是三国时代魏刘徽首先使用的，所以人们把它叫做“徽率”；人们又把叫做“疏率”或“约率”，把叫做“密率”.这个数值，在西方要到十六世纪时才由德国人奥托算出来，又比祖冲之迟了一千多年.祖冲之在数学方面的成就，都汇编在一部叫做《缀术》的书中，可惜这部极有价值的科学文化著作早已失传.因此现代人无法弄清，在当时条件下，祖冲之是怎样把π准确地计算到小数点后第七位的，也无法知道“密率”的来龙去脉了.参考答案【同步达纲练习】1．（1）0，、、－1、、