正余弦序列发生器的 MATLAB 程序本

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讲座12正余弦序列发生器

在大量实际应用（例如，在DTMF电话通信中），需要使用正余弦序列。这里介绍怎样编制程序以产生这种序列。

在模拟电路中，假使输出端电压/电流对输入端有适合的正反馈量。则经过某种初始触发后，电路便产生等幅振荡。

用数字网络可以很简单通过软件产生各种等幅振荡波形。其中，可以用滤波法产生所希望的信号。下面介绍这种方法。

设需要产生的信号是w(n)。令数字滤波器的冲激响应h(n)?w(n)。系统输入、输出序列分别记为x(n)和

y(n)。由此可知系统函数为

H(z)?W(z)?Y(z)X(z)利用x(n)对系统提供初始触发，即：n?0时，x(n)?1，而在其后的任何瞬间，x(n)?0。所以，x(n)??(n)，而?(n)的Z变换是X(z)?1。于是，上式变为Y(z)?W(z)，即系统输出我们所希望的波形。

下面用这种方法产生频率为f0、采样率为fS的正弦因果序列。与f0相应的数字频率是2?f0/fS。令系统的冲激响应为h(n)?Rnsin(?0n)u(n)（12.1）故系统函数为

Rsin?0z?1H(z)?（12.2）

1?2Rcos?0z?1?R2z?2若0?R?1，则所产生的正弦序列是衰减的。R?1时，振荡是等幅的。

类似地，令系统的冲激响应为h(n)?Rncos(?0n)u(n)（12.3）相应的系统函数为

1?Rcos?0z?1H(z)?（12.4）?12?21?2Rcos?0z?Rz由此可以得到数字频率为?0的余弦因果序列。

图12.1和图12.2分别示出数字正弦发生器和数字余弦发生器的结构。图中，w0、w1和w2是便于程序设计而设定的状态变量。

1

图12.1数字正弦发生器图12.2数字余弦发生器

图12.3DTMF信号发生器

图12.3示出DTMF信号发生器。它由两个并联的正弦发生器组成。其中，ωL和ωH分别是低频组和高频组的频率。在程序控制下，可以改变二者的值。

式（12.2）和式（12.4）代表两个系统函数，都有两个复数极点，位于p?Re函数的分母分解因子，得

j?0和p?Re*?j?0处。将系统

1?2Rcos?0z?1?R2z?2?(1?pz?1)(1?p*z?1)（12.5）

222将极点p表示为p?a?jb，则a?Rcosω0，b?Rsinω0，R?a?b，故

1?2Rcos?0z

?1?R2z?2?1?2az?1?(a2?b2)z?2

2

因此，余弦和正弦系统函数可用a和b分别表示为

1?az?1H1(z)?（12.6）?122?21?2az?(a?b)zbz?1H2(z)?（12.7）?122?21?2az?(a?b)z这里，H1(z)和H2(z)分别相应于式（12.4）和式(12.2)。由以上两式得

1?az?1?jbz?11?p*z?1H1(z)?jH2(z)???122?21?2az?(a?b)z(1?pz?1)(1?p*z?1)?11?pz?1j?0n

进行Z反变换，得

h1(n)?jh2(n)?pnu(n)?Rne根据欧拉公式ejω0nu(n)

?cos(ω0n)?jsin(ω0n)，得

(0n)u(n)h1(n)?Rncos(ω0n)u(n)，h2(n)?Rnsinω这两个式子分别与式（12.3）和式（12.1）一致。

图12.1和图12.2的滤波器系数与极点实部a、虚部b以及模值平方R?a?b有关。在硬件实现中，这些系数必需用有限二进位来量化，而系数a?b所需要的二进位比单个系数所需要的二进位多一倍。

图12.4将正弦和余弦发生器以耦合形式组合在一起。由于滤波系数中只有a和b而没有它们的平方，所以这

种形式没有上述量化缺点。

22222R?1时，一般不能找到确切地满足a2?b2?1的量化系数a和b。这时，可使R略小于1。

图12.4耦合式正弦/余弦发生器

由于w1(n)?y1(n?1)，w2(n)?y2(n?1)，故耦合式发生器可以在时域和Z域用差分方程表示如下：

y1(n)?ay1(n?1)?by2(n?1)?x(n)

3

y2(n)?ay2(n?1)?by1(n?1)

Y1(z)?az?1Y1(z)?bz?1Y2(z)?X(z)Y?12(z)?azY?12(z)?bzY1(z)

解出系统函数H1(z)?Y1(z)/X(z)和H2(z)?Y2(z)/X(z)就得到式（12.6）和式（12.7）。图12.4同时产生输出y1和y2。样点处理算法如下：

以下是正、余弦序列发生器的MATLAB程序最新版本

%G078

%正、余弦序列发生器%

h_fig1=figure;

set(h_fig1,'unit','normalized','position',[0.0,0.0,1,1]);set(h_fig1,'defaultuicontrolunits','normalized');

h_text1=uicontrol(gcf,'Style','text','Position',[0.645,0.78,0.33,0.06],...'String','正、余弦序列发生器','FontName','黑体','ForegroundColor','r',...

'FontSize',26,'FontWeight','Bold','BackgroundColor',[0.7,0.9,1]);set(gcf,'color','w');h_text2=uicontrol(gcf,'Style','text','Position',[0.675,0.53,0.28,0.06],...'String','频率f=','FontName','黑体','ForegroundColor','r',...

'FontSize',16,'FontWeight','Bold','BackgroundColor',[0.7,0.9,0.7]);set(gcf,'color','w');h_pushbutton1=uicontrol(h_fig1,'Style','PushButton','Position',[0.78,0.18,0.06,0.06],...

'string','退出','BackgroundColor',[0.80.90.8],'ForegroundColor','r','FontSize',14,'FontWeight','Bold',...'callback','delete(h_fig1)');

h_slider=uicontrol(h_fig1,'style','slider','position',[0.72,0.47,0.2,0.04],'max',12,'min',2,'sliderstep',[0.1,0.1],'Value',6);h_axes0=axes('Box','on','Position',[0.0,0.0,0.9999,0.9999],'FontSize',8,'Color',[0.8,0.8,0.95])h_axes1=axes('Box','on','Position',[0.06,0.6,0.57,0.33],'FontSize',8)h_axes2=axes('Box','on','Position',[0.06,0.15,0.57,0.33],'FontSize',8)ha=get(gcf,'Children');

set(h_slider,'callback',['z=get(gcbo,''value'');','cb37(ha,z)']);%

cb37(ha,6);%未点击slider控件时，调用子程序cb37(ha,6)，此时，slider的Value初始值为6%

4

%下面的子程序作为一个文件，不能与G78.m文件合二为一，这两个文件应分开存放在同一个目录里。%子程序cb37

functioncb37(ha,v)k=v;

str1=strcat('数字频率w0=0.00',strcat(num2str(k),'pi'));set(ha(6),'string',str1);%正弦序列发生器

w0=v*0.001*pi;%正弦序列的数字频率（每个周期的点数为1/0.004=250）s0=1;s1=0;s2=0;R=1;

fori=1:2000ifi==1s0=1;else

s0=s1*2*R*cos(w0)-s2*R^2;end

y(i)=s1*R*sin(w0);s2=s1;s1=s0;end

h=subplot(ha(2))

plot(0:length(y)-1,y);grid;axis([0,2000,-1,1]);

xlabel('n','FontSize',12,'FontWeight','Bold');ylabel('y(n)','FontSize',12,'FontWeight','Bold');str1=strcat(num2str(k),'pi');

str2=strcat('y(n)=sin(w*n)w=0.00',str1);title(str2,'FontSize',12,'FontWeight','Bold');str1='每个周期的点数=2pi/w:';

text(550,0.5,str1,'FontSize',14,'FontWeight','Bold')

text(1400,0.5,num2str(2/(0.001*k)),'FontSize',14,'FontWeight','Bol