同济大学高等数学期中考试试题及解答

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同济大学高等数学期中考试试题及解答

2023-2023学年其次学期《高等数学B(下)》期中考试试卷--1

同济大学课程考核试卷（期中试卷）

2023—2023学年其次学期

命题教师签名：审核教师签名：课号：122023课名：高等数学B(下)考试考察：

此卷选为：期中考试(√)、期终考试()、重修()试卷

If(x,y)dxdy

D

2

2

dy

11y2

f(x,y)dxdy

2

71y3

f(x,y)dx

.

5、记条件a为函数zf(x,y)可微分；条件b为函数zf(x,y)具有偏导数；条件c为函数zf(x,y)连续；条件d为函数zf(x,y)具有连续的偏导数.则以下正确的充分必要关系为Ada,

bc；Bda,bc；

学

则二重积分

D

专业学号姓名任课教师

九二五六七一三四八总分

（注意：本试卷共九大题，三大张，总分值100分．考试时间为100分钟.解答题要求写出解题过程）

Cadb以及abc；D.dab以及dac

（其中ab表示a是b的充分条件，ab表示a是b的充分必要条件）

一、填空选择题(每空格4分，共24分)

1、以(1,2,3),(2,0,5)以及(1,2,4)为顶点的三角形面积为

2

6、函数f(x)

0

0x2

，若D是正方形的闭区域：0x2;0y2，

x0或x2

52

.

大

f(xy)d的计算值为

A．1B．2C．4D．8

程为

x2y2

z222

ab

济

;该方向与z轴正向

x2y2

2、若曲面的方程为z22，假使关于平面z1对称的曲面为1，则1的方

ab

，若再将1向着x轴的正向移动2个单位得到曲面2，则

x2y2z23x0

二.（此题10分）求曲线在点(1,1,1)的切线与法平面方程，并分

2210xyz

别求出坐标原点到该法平面以及切线的距离.

解

n1(2x3,2y,2z)(1,1,1)(1,2,2)，n2(2,2,1)切线的方向向量为:ln1n2(6,5,2)切线方程：法平面方程：

2的方程为

2

3

uxye在(1,1,1)点函数值增加最快的方向为3、

的夹角余弦为

z

同

k(2,3,1),k0

(x2)2y2

z22

2ab

.

x1y1z1

652

cos

14

2

.

6(x1)5(y1)2(z1)0

4、若D是由抛物线yx2x1与直线yx3所围成的有界闭区域，则二重积分

或6x5y2z90

If(x,y)dxdy分别化成先对y再对x，以及先对x再对y的二次积分式时，积分

D

坐标原点到该法平面的距离：d

965

If(x,y)dxdy

D

dx

1

4x3

x22x1

f(x,y)dy

；以及

坐标原点到该切线的距离：d

65

同济大学高等数学期中考试试题及解答

2023-2023学年其次学期《高等数学B(下)》期中考试试卷--2

三．（此题10分）f(u,v)具有二阶连续的偏导数（1）假使函数z(x,y)f(2x3y,xy)x在(1,1)点取得极值，试写出函数f(u,v)满足的必要条件；

2

五．（此题10分）假使从(0,0)点开始，xoy平面上的一条曲线始终沿着函数

f(x,y)(x22x6)ex2y的梯度方向运行，试求该梯度曲线的轨迹.

解

梯度方向gradf(fx,fy)与曲线的切线方向一致，所以有

2z

（2）求出函数z(x,y)的二阶偏导.

xy

解(1)

zz2f1f21;3f12yf2xy

dyfy

dxfx

得到f1(1,0)2;f2(1,0)3

大

2z

(2)二阶偏导2(3f112yf12)(3f212yf22)

xy

6f11(4y3)f122yf22

学

解

zx(1,1)2f1(1,0)f2(1,0)10

由必要条件

3(1,0)2(1,0)0zff12y(1,1)

dy2(x22x6)

即得dxx24

y(0)0x22x6

y22

x42x2ln(x24)2arctan

x

C2

由y(0)0得到C2ln4，所以得到所求的曲线

试求偏导数

uv，.xx

济

x2y2uv0

四．（8分）已知函数uu(x,y);vv(x,y)是由方程组2确定的可导函数，22

xyuv0

x24x

y2x2ln2arctan

42

2

4

2

六．（此题10分）利用交换积分次序的方法计算积分

同

2xuxvu0

解各方程两边对x求导，2

yuuvv220xx

dx2x3eydy

x

Fx

Gu

（或x

Fux

Gu

得到

FvGv

FuFxFv

2

dx2x3eydydy

x

4

2

400

x3eydx

2

Gv

，uFvFuxGvGu

GxGv

）

142y2

yedy04

4

21

(y21)ey

4

1

(15e161)4

u4xvuy2v4xuvy2

；2222

x2(uv)x2(uv)

同济大学高等数学期中考试试题及解答

2023-2023学年其次学期《高等数学B(下)》期中考试试卷--3

七．（此题10分）计算二重积分闭区域.

解

222

D，其中是由xy2y;x0确定的(xy)dxdy

D

九．（此题8分）(x1,y1,z1),,(xn,yn,zn)是空间n个点，证明：若平面是使得该n点到平面距离的平方和取得最小值的平面，则该平面必经过点(x,y,z)，其中

(xy)

D

2

dxdy(x22xyy2)dxdy

D

2d

2sin

1n1n1n

xxi，yyi，zzi

ni1ni1ni1

证

(12sincos)3d

420

(12sincos)sin4d

34916

43

12

八．（此题10分）计算三重积分zx2

y2

dv，其中

旋转所成曲面与平面z1所围成的立体.

解

I

2

10

dd1

2zdz

1

(14)2

d

4

21

同

设AxByCzD0是使得n点到平面的距离平方和取得最小值的平面

n

学

即f(A,B,C,D)1

A2

B2C2

(Ax

i

ByiCziD)2取得了最小值，

i1

则有

n

fD

1

A2B2C2

2(Ax

i