2023年高考最后一轮复习微专题14 导数解答题之函数型数列不等式问题（原卷版）

微专题14导数解答题之函数型数列不等式问题【秒杀总结】1、分析通项法：由于左边是一个求和(积)形式的表达式，右边是一个简单的式子，为了使得两者能够明显地显现出大小特征，有必要将两者统一成同一种形式，此处有两条路可走，一种是将左边的和式收拢，一种是将右边的式子分解.很明显，左边是无法收找的，因此需要将右边进行拆分，而拆分的原则就是和左边配对.假设右边，这样一来，相当于已知一个数列的前项之和，求，利用数列的知识可知.所以，接下来只需要证明即可.2、几种常见的数列放缩方法：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）.3、根据不等式的信息，利用题目的结论，得出不等式，然后对变量取合适的数据，再用数列求和法而得解.【典型例题】例1．（2023·山东济南·高三统考期中）已知函数.(1)若恒成立，求的取值范围；(2)证明：对任意；(3)讨论函数零点的个数.例2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．(1)证明：对恒成立；(2)是否存在，使得成立？请说明理由．例3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．(1)当时，求证：；(2)求证：．例4．（2023·广东广州·高三广州市第七中学校考阶段练习）已知函数．(1)当时，，求的取值范围；(2)是否存在，使得？说明理由．例5．（2023·上海·高三专题练习）已知函数.(1)当时，，求的最大值；(2)设，证明：.例7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．(1)若在区间上单调递增，求a的取值范围；(2)证明：，例8．（2023·江苏苏州·高三统考期末）已知函数.（1）证明：时，；（2）证明：.【过关测试】1．（2023·浙江·永嘉中学校联考模拟预测）已知为正实数，函数.(1)若恒成立，求的取值范围；(2)求证：（）.2．（2023·全国·高三专题练习）若函数.(1)若恒成立，求实数的取值范围；(2)若，均为正数，.证明：.3．（2023·全国·校联考模拟预测）已知函数.(1)若，求的极值；(2)若在上恒成立，求的取值范围；(3)证明：.4．（2023·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）设函数.(1)当时，讨论函数的单调性；(2)曲线与直线交于，两点，求证：；(3)证明：.5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（其中为自然对数的底数），．(1)讨论函数的单调性；(2)若对任意的都有不等式成立，求实数a的值．(3)设，证明：．6．（2023·广东·高三统考期末）已知函数，其中为自然对数的底数，.(1)当时，函数有极小值，求；(2)证明：恒成立；(3)证明：.7．（2023·广西梧州·统考一模）已知函数.(1)求函数的最小值；(2)证明：.8．（2023·全国·高三专题练习）若函数(1)证明:当时；(2)设，证明9．（2023春·山东济宁·高三校考开学考试）已知函数.(1)求的单调区间；(2)若，证明：.10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（）.(1)，求证：；(2)证明：.()11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.(1)试比较与1的大小；(2)求证：.12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.(1)试判断函数在上单调性并证明你的结论；(2)若对于恒成立，求正整数的最大值；(3)求证：．13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，.(1)若在上恒成立，求实数的取值范围；(2)求证：.14．（2023·全国·高三专题练习）已知.(1)求函数的单调区间；(2)设函数，若关于的方程有解，求实数的最小值；(3)证明不等式：.15．（2023·全国·高三专题练习）已知二次函数图象经过坐标原点，其导函数为，数列的前项和为，点均在函数的图象上；又，，且，对任意都成立.(1)求数列，的通项公式；(2)求数列的前项和；(3)求证：①；②.16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，.（1）若恰为的极小值点.①证明：；②求在区间上的零点个数；（2）若，，又由泰勒级数知：，证明：17．（2023春·湖北鄂州·高三校考阶段练习）已知函数.（1）讨论的零点个数.（2）正项数列满足，（），求证：.18．（2023·四川泸州·高三四川省泸县第四中学校考期末）已知函数在处的切线方程为.（1）求函数的解析式；（2）若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围；（3）求证：.19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.（1）对定义域内的任意,都有，求的取值范围；（2）若在处取得极值，求证：对于任意大于1的正整数，其中为自然对