高中数学重难点突破：立体几何题型汇编-2

重难点突破：立体几何常见题型汇编

模块一：知识梳理

一、空间几何体的结构及其三视图与直观图

1.空间几何体的结构

(1)多面体

几何体结构特征备注

按侧棱与底面是否垂直分类，可分为斜

①底面互相平行.

棱柱和直棱柱.侧棱与底面不垂直的棱

②侧面都是平行四边形

棱柱柱叫做斜棱柱，侧棱垂直于底面的棱柱

③每相邻两个平行四边形的公共边互

叫做直棱柱.特别地，底面是正多边形的

相平行.

直棱柱叫做正棱柱.

①底面是多边形.

三棱锥的所有面都是三角形，所以四个

棱锥②侧面都是三角形.

面都可以看作底.三棱锥又称为四面体.

③侧面有一个公共顶点.

①上、下底面互相平行，且是相似图形.

可用一个平行于棱锥底面的平面去截棱

棱台②各侧棱的延长线交于一点.

锥

③各侧面为梯形.

（2）旋转体

几何体结构特征备注

①圆柱有两个大小相同的底面，这两个面互

相平行，且底面是圆面而不是圆.

②圆柱有无数条母线，且任意一条母线都与

圆柱可以由矩形绕其任一边所在

圆柱圆柱的轴平行，所以圆柱的任意两条母线互

直线旋转得到.

相平行且相等.

③平行于底面的截面是与底面大小相同的

圆面，过轴的截面（轴截面）是全等的矩形.

①底面是圆面.

②有无数条母线，长度相等且交于顶点.

圆锥可以由直角三角形绕其直角

圆锥③平行于底面的截面是与底面大小不同的

边所在直线旋转得到.

圆面，过轴的找面（轴微面）是全等的等腰

三角形.

①圆台上、下底面是互相平行且不等的圆

面.圆台可以由直角梯形绕直角腰所

②有无数条母线，等长且延长线交于一点.在直线或等腰梯形绕上、下底中

圆台

③平行于底面的横面是与两底面大小都不点连线所在直线旋转得到，也可

等的圆面，过轴的截面（轴截面）是全等的由平行于底面的平面截圆锥得到.

等腰梯形.

①球心和截面圆心的连线垂直于截面.

②球心到裁面的距离d与球的半径R及极球可以由半圆面或圆面绕直径所

球

面圆的半径r之间满足关系式：在直线旋转得到.

d=>]R2—r2.

2.空间几何体的三视图

（1）三视图的概念

①光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图叫做几何体的正视图；

②光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图叫做几何体的侧视图：

③光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图叫做几何体的俯视图.

几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图.如图.

（2）三视图的画法规则

①排列规则：一般地，侧视图在正视图的右边，俯视图在正视图的下边,如下图：

正侧

俯

②画法规则

i）正视图与俯视图的长度一致，即“长对正”；

ii）侧视图和正视图的高度一致，即“高平齐”；

iii）俯视图与侧视图的宽度一致，即“宽相等

③线条的规则

i）能看见的轮廓线用实线表示；ii）不能看见的轮廓线用虚线表示.

（3）常见几何体的三视图

常见几何体正视图侧视图俯视图

长方体矩形矩形矩形

正方体正方形正方形正方形

圆柱矩形矩形圆

圆锥等腰三角形等腰三角形圆

圆台等腰梯形等腰梯形两个同心的圆

球圆圆圆

3.空间几何体的直观图

（1）斜二测画法及其规则

对于平面多边形，我们常用斜二测画法画它们的直观图.斜二测画法是一种特殊的画直

观图的方法，其画法规则是：

①在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点。.画直观图时，把它们画成对

应的x'轴和〉’轴，两轴相交于点。'，且使Nx'O'y'=45°（或135°）,确定平面表示水平面.

②已知图形中平行于x轴或），轴的线段，在直观图中分别画成平行于V轴或），，轴的线段.

③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于），轴的线段，长

度为原来的一半.

（2）用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤

①在已知图形所在的空间中取水平平面，作互相垂直的轴Ox,Oy,再作Oz轴使N

xOz=90°,且NyOz=90°.

②画直观图时，把它们画成对应的轴O'x',O'y',O'z',使Nx'O'y'=45°（或135°）,Z

x'O'z'=90°,x'O'y'所确定的平面表示水平平面.

③已知图形中，平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于V轴、轴

或/轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的

位置关系相同.

④已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线

段，长度变为原来的一半.

⑤画图完成以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图.

易错梳理

直观图的面积与原图面积之间的关系

①原图形与直观图的面积比为3=272,即原图面积是直观图面积的20倍，

S'

②直观图面积是原图面积的—倍.

2V24

二、空间几何体的表面积与体积

1.旋转体的表面积

圆柱（底面半径为圆锥（底面半径为r,圆台（上、下底面半径分

r,母线长为/）母线长为1）别为/,r,母线长为/）

口一下…、

A/

侧面展开图

2irr-Vx****A

底面面积s底=兀/s底=兀/S上底-兀，2,S下底=7tr2

$侧=兀/（，+「）

侧面面积S侧=2nrls侧="/

%="+/),22

表面积S表=27ir(r+/)S表=7r(r+r+r7+r/

易错梳理

多面体的表面积就是各个面的面积之和，也就是展开图的面积.

棱锥、棱台、棱柱的侧面积公式间的联系：

c'0aS正棱锥侧=

S正棱台侧=J-（C+C'）/2'

zc=

71AS正棱柱侧ch

h-h--------------

2.柱体、锥体、台体的体积公式

几何体体积

%:体=S/z（S为底面面积，力为高）

柱体

%牲=兀产。（r为底面半径，〃为高）

唳体=1S/z（S为底面面积，力为高）

锥体

1、

/锥=§兀厂为底面半径，〃为高）

咚体=g（S，+AJ+S）/z（S'、S分别为上、下底面面积，/z为高），

台体

%台=；兀〃（，2+卜/、/•分别为上、下底面半径，〃为高）

易错梳理

（1）柱体、锥体、台体体积公式间的关系

匕体=护+"+物

V柱体=s九/体=<$八

（2）一个组合体的体积等于它的各部分体积之和或差;

（3）等底面面积且等高的两个同类几何体的体积相等.

3.球的表面积和体积公式

设球的半径为凡它的体积与表面积都由半径R唯一确定，是以R为自变量的函数，其

表面积公式为4兀K，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍；其体积公式为§兀

易错梳理

球的切、接问题(常见结论)

(1)若正方体的棱长为a,则正方体的内切球半径是,。；正方体的外接球半径是

2

—a：与正方体所有棱相切的球的半径是"a.

22

(2)若长方体的长、宽、高分别为a,b,h,则长方体的外接球半径是

-V<22+b2+h2.

2

(3)若正四面体的棱长为a,则正四面体的内切球半径是亚4：正四面体的外接球

12

半径是逅。；与正四面体所有棱相切的球的半径是走

a.

44

(4)球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的

直径.

(5)球与圆台的底面与侧面均相切，则球的直径等于圆台的高.

三、空间点、直线、平面之间的位置关系

1.平面的基本性质

名称图形文字语言符号语言

如果一条直线上的两点在同一个平Ac/,Bw1,且Awa,Be

公理1

/*/面内，那么这条直线在这个平面内a=/ua

A,B,。三点不共线=有且只

过不在同一条直线上的三点，有且

公理2有一个平面a，使Awa,Be

/二/只有一个平面

a,Cea

推

经过一条直线和直线外的一点，有若点4e直线m贝1」A和a确

论

公且只有一个平面定一个平面a

1/二/

理

推

2经过两条相交直线，有且只有一个aZ?=P=有且只有一个平

论

的平面面a,使aua,bua

2

推

推

论经过两条平行直线，有且只有一个a〃力=有且只有一个平面

论

平面a,使auc,bua

3一

如果两个不重合的平面有一个公共

Pea,且Pw归an§=l,Pel,

公理3点，那么它们有且只有一条过该点

且/是唯一的

的公共直线

------/|

公理4h平行于同一直线的两条直线平行/]〃/,l2//l^lx//l2

--------1

2.等角定理

(1)自然语言：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

(2)符号语言：如图(1)、(2)所示，在NAOB与N夕中，

0A//04。厨0,则ZA03=NA'O域ZAOB+ZA'03'=18()°.

3.空间两直线位置关系的分类

空间中两条直线的位置关系有以下两种分类方式:

两条直线有且仅有一个公共点：相交直线

(1)从有无公共点的角度分类：直线＜平行直线

两条直线无公共点:

异而直线

相交直线

共面直线

(2)从是否共面的角度分类：直线《平行直线

I不共面直线：异面直线

4.异面直线所成的角

(1)异面直线所成角的定义

如图，已知两异面直线a,b,经过空间任一点0,分别作直线a'〃a,b'//b,相交直线

a,,〃所成的锐角(或直角)叫做异面直线。与〃所成的角(或夹角).

(2)异面直线所成角的范围

异面直线所成的角必须是锐角或直角，异面直线所成角的范围是(0,色］.

2

(3)两条异面直线垂直的定义

如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直.两条互相垂直

的异面直线a,b,记作

5.直线与平面、平面与平面位置关系的分类

(1)直线和平面位置关系的分类

①按公共点个数分类：

.直线和平面相交一有且只有一个公共点

＜直线和平面平行一没有公共点

直线在平面内一有无数个公共点

②按是否平行分类:

(直线与平面平行

直线与平面相交

直线与平面不平行＜

直线在平面内

③按直线是否在平面内分类:

(■直线在平面内

直线和平面相交

直线不在平面内(直线在平面外乂

直线和平面平行

(2)平面和平面位置关系的分类

两个平面之间的位置关系有且只有以下两种:

(1)两个平面平行——没有公共点；

(2)两个平面相交---有一条公共直线.

易错梳理

(1)唯一性定理

①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.

②过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直.

③过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.

④过平面外一点有且只有•条直线与已知平面垂直.

(2)异面直线的判定方法

经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线.

四、直线、平面平行的判定及其性质

1.直线与平面平行的判定定理

平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.

文字语言

简记为：线线平行n线面平行

a

图形语言/b/

林O、工-5—

付万语吕ata,bua,iLa//b^a//a

作用证明直线与平面平行

2.直线与平面平行的性质定理

一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该

文字语言直线平行.

简记为：线面平行=线线平行

图形语言rzy

AZZV

符号语言a”a,auB，aJ3=b=>a//b

①作为证明线线平行的依据.

作用

②作为画一条直线与已知直线平行的依据.

3.平面与平面平行的判定定理

一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.

文字语言

简记为：线面平行=面面平行

/♦/

图形语言

符号语言aup,buf),ab=P,a//a9b//a^>a//p

作用证明两个平面平行

4.平面与平面平行的性质定理

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.

文字语言

简记为：面面平行=线线平行

图形语言

符号语言a//p.ay=a,0y=bna〃b

作用证明线线平行

易错梳理

L平行问题的转化关系

性质定理

线线'平行爷翳线面平行、、面面世行

性质定理性质定理1t

判定定理

2.常用结论

（1）如果两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.

（2）如果两个平行平面中有一个平面垂直于一条直线，那另一个平面也垂直于这条直线.

（3）夹在两个平行平面间的平行线段长度相等.

（4）经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.

（5）两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例.

（6）如果两个平面分别和第三个平面平行，那么这两个平面互相平行.

（7）如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个

平面平行.

（8）如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行.

五、直线、平面垂直的判定及其性质

1.直线与平面垂直的定义

如果直线/与平面a内的任意一条直线都垂直，我们就说直线/与平面a互相垂直.记

作：/_La.图形表示如下：

易错梳理

定义中的“任意一条直线”这一词语与“所有直线”是同义语，与“无数条直线”不是同义语.

2.直线与平面垂直的判定定理

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.

文字语言

简记为：线线垂直=线面垂直

图形语言上

符号语言/_L。，l±b,aua,bua,ab=P=>l-La

作用判断直线与平面垂直

易错梳理

在应用该定理判断一条直线和一个平面垂直时，一定要注意是这条直线和平面内的两

条相交直线垂直，而不是任意的两条直线.

3.直线与平面垂直的性质定理

垂直于同一个平面的两条直线平行

文字语言

简记为：线面垂直n线线平行

<ab

L7

图形语言%

a-La

符号语言>=>a//h

bLa

①证明两直线平行;

作用

②构造平行线.

4.平面与平面垂直的定义

两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.平面a与

平面夕垂直，记作a，乃.图形表示如下：

5.平面与平面垂直的判定定理

一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.

文字语言

简记为：线面垂直=面面垂直

i

图形语言Z_7

付万偌a/-La,IU0=>a

作用判断两平面垂直

6.平面与平面垂直的性质定理

两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.

文字语言

简记为：面面垂直=线线平行

aa

图形语言LJ

a工0

ap=l

符号语言>=>al/3

Qua

a1.1

作用证明直线与平面垂直

7.直线与平面所成的角

(1)定义：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的

斜线，斜线和平面的交点叫做斜足.过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和

斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影.

平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的线耳，叫做这条直线和这个平面所成的角.

(2)规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于90；一条直线和平面平行，

或在平面内，我们说它们所成的角等于0.因此，直线与平面所成的角a的范围是［0,2］.

.........................2

8.二面角

(1)二面角的定义：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平

面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做于中耳.这条直线叫做二面角的

棱，这两个半平面叫做二面角的面.

(2)二面角的平面角的定义：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平

面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线构成的角叫做这个二面角的平面角.

(3)二面角的范围：［0,兀］.

易错梳理

1.垂直问题的转化关系

2.常用结论

(1)若两条平行线中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.

(2)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内任何一条直线.

(3)过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直.

(4)过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直.

(5)两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直.

(6)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面.

(7)如果两个平面互相垂直，那么过第一个平面内的一点且垂直于第二个平面的直线在

第一个平面内.

六、空间向量与立体几何

1.空间直角坐标系

以空间一点。为原点，具有相同的单位坐标原点点。

长度，给定正方向，建立两两垂直的数

定

轴：X轴、y轴、z轴，建立了一个空间坐标轴x轴、y轴、z轴

义

直角坐标系。-.

坐标平面通过每两个坐标轴的平面

在空间直角坐标系中，让右手拇指指向X轴的正方向，食指指向)，轴的正方向，如果中

指指向Z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系，如图所示.

2.空间一点用的坐标

(1)空间一点M的坐标可以用有序实数组(x,y,z)来表示，记作M(x,y,z),其中X叫

做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标.

(2)建立了空间直角坐标系，空间中的点M与有序实数组(x,y,z)可建立一一对应关系

3.空间两点间的距离公式、中点公式

(1)距离公式

①设点A(彳，y,彳，3(*2，%/2)为空间两点，则A8两点间的距离

14（X--）+（炭-$）+

②设点尸(x,y,z)，则点P(x,y,z)与坐标原点。之间的距离为|OP\=yjx2+y2+z2.

(2)中点公式

X,+X）

x=-----

2

X+K

设点P(x,y,z)为6(X],y,Z]),鸟(々,%/2)的中点，则,y

2

Z]+

Z=Z?

2

4.共线向量定理

对空间任意两个向量a,仇b#)),a〃b的充要条件是存在实数2,使得a=劝.

牢记两个推论：

(1)对空间任意一点。，点P在直线AB上的充要条件是存在实数t,使

OP=(1-，)04，。或OP=xQ4+yO3(其中x+y=l).

(2)如果/为经过已知点A且平行于已知非零向量。的直线，那么对空间任意一点。，

点P在直线/上的充要条件是存在实数f,使。P=Q4*a，其中向量”叫做直线/的方

向向量，该式称为直线方程的向量表示式.

5.共面向量定理

如果两个向量。，分不共线，那么向量p与向量a，分共面的充要条件是存在唯一的有序

实数对(x,y),使。=刈+)力.

牢记推论：空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x,y),使

AP=xAB+yAG或对空间任意一点0,有OP=Q4+xAB+yAC.

6.空间向量基本定理

如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p,存在有序实数组｛x,y,z｝,使

得。=苫。+)力+2,其中，｛a,b,c｝叫做空间的一个基底，a,b,c都叫做基向量.

易错梳理

(1)空间任意三个不共面的向量都可构成基底.

(2)基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示.

(3)0不能作为基向量.

7.空间向量的运算

（1）空间向量的加法、减法、数乘及数量积运算都可类比平面向量.

（2）空间向量的坐标运算

设。=（4，。2，。3），》=（4，》2，”3），则

a±b=(a}±b^a2±b2,a3±b3)；Aa=(2^p/la2,/l«3)(/lGR),

a

a•b=+a2b2+。3么；bob=Aa=b、=/tap/72=Aa2,b3=Aa3(AeR),

a±bab=。也+a2b2+a3b3=0；\a\==Ja；+a；+a；,

+44

cos〈a,》)=ab%"+a2b2

14BlJa；+a；+a；y]b；+b；+b；

8.直线的方向向量和平面的法向量

(1)直线的方向向量就是指和这条直线平行(或共线)的向量，记作人显然一条直线的

方向向量可以有无数个.

(2)若直线则该直线/的方向向量即为该平面的法向量，平面的法向量记作a,

有无数多个，任意两个都是共线向量.

平面法向量的求法：设平面的法向量为a=(x,y,z).在平面内找出(或求出)两个不共

线的向量@=(4,4，小)/=(仇，仇，仇)，根据定义建立方程组，得到《，通过赋

ab^O

值，取其中一组解，得到平面的法向量.

9.利用空间向量表示空间线面平行、垂直

设直线/,加的方向向量分别为/，加，平面a,夕的法向量分别为a,夕.

(1)线线平行：若/〃m，则/机0/=%机(/leR)；

线面平行：若"/a,则/_La=1-a=O；面面平行：若a〃/，则aP夕oa=〃.

(2)线线垂直：若/_!_〃？，则/_L/M=()：

线面垂直：若/_La,则/aoZ=Aa(/lGR)；

面面垂直：若al",则al£oa•夕=0.

io.利用空间向量求距离

(1)两点间的距离

设点A(彳，y,彳，B(x2,y2,z2)为空间两点，则两点间的距离

IAB|=|AB\=5(苞一%)2+(乂-%)2+(4—22)2.

(2)点到平面的距离

如图所示，己知AB为平面a的一条斜线段，〃为平面a

的法向量，则B到平面a的距离为||」"8."।.

1«1

11.利用空间向量求空间角

设直线/,用的方向向量分别为/,用，平面d夕的法向量分别为n,,n2.

,兀

(1)直线/,加所成的角为6,则计算方法：cos^=L\l--m4\；

2W网

(2)直线/与平面a所成的角为6,则0W，4乙，计算方法：sin<9=1^1；

2W同

(3)平面a,夕所成的二面角为6,则0<6<兀，

如图①，AB,CD是二面角a—/—£的两个面内与棱/垂直的直线，则二面角的大小。

=(AB,CD)).

如图②③，外,人分别是二面角a—/一夕的两个半平面a,夕的法向量，则二面角的大小

。满足|cos例㈤旬二面角的平面角大小是向量m与”2的夹角(或其补角).

hJI^I

模块二：例题分析

题型一外接球与内切球问题

角度1:球与棱柱的组合体

例题1：已知体积为4#的长方体的八个顶点都在球。的球面上，在这个长方体经过同一

个顶点的三个面中，如果有两个面的面积分别为2百、4百,那么球。的体积等于_

【解析】设这两个面的边长分别为a,c,则不妨设4匕=2be=4瓜ahc=476,

则a=4i,b=瓜c=2V2，则该长方体的外接球的直径"=72+6+8=4，故球的体积为

432

vV=-71x2-—71

33

【小结】长方体（或正方体）外接球的组合问题，主要抓住的几何特征是：长方体（或正方

体）的体对角线等于球体的直径.

例题2：我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用

语可见，譬如"堑堵"意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，"阳马"指底面为

矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的"堑堵"即三棱柱ABC-A5£,

其中AC15C,若A41=43=2,当"阳马"即四棱锥B—4ACG体积最大时，"堑堵"即

三棱柱ABC-AAG外接球的体积为

4产？-------71名

AB

【解析】设4C=m,则=44-后,=§x4mxy/4—m2=—m^4—m2

所以当初最大时，体积最大，

--------/I-------7T«J2+f4—m2）r-

周4.病=^2（4-/»2）＜—、——L=2,当且仅当初=0时，取到最大值,

所以，AC=BC=J1,外接球的直径Z>=J4c。+5C4+CG”=际=26,

所以K=Ji,/=上欣3=逋〃。

33

变式1：已知正三棱柱(上下底面是等边三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱)的高“J2,

它的6个顶点都在体积为二的球的球面上，则该正三棱柱底面三角形边长为

3

【解析】设正三棱柱的外接球半径为R,底面三角形外接圆半径为r,边长为。

则：g兀R，=，弋.%,解得：R—yfl,r=J(V5)—J=1,

结合正弦定理：---=2r,；.a=2xlxX3=

sin602

变式2：若正三棱住的所有棱长均为a,且其体积为2百，则此三棱柱外接球的表面积是

【解析】由题意可得，正棱柱的底面是边长等于。的等边三角形，面积为』GasiD60。，正棱柱的高为a,

2

：.-aa^W0=143,：.a=l,取三棱柱ABC-A'B'C的两底面中心。，。'，连结。。'，取。。'

2

的中点连结刖，则此为三棱柱外接球的半径.•••AX5C是边长为2的正三角形，。是AX5c的中

心，

:.B0=*—xV3=2^^.又0D=—OOf——AAf=1

3322

・・・BD=ylOB2^OD2

28

・•・三棱柱外接球的表面积S=4^xBD2=——re.

3

【小结】球内接正棱柱的组合体问题，主要抓住的几何特征：正棱柱的上下底面中心连线段

的中点与正棱柱的顶点连线为球的半径.

角度2：球与棱锥的组合体

例题3：《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖腌.若三棱锥

尸一ABC为鳖臊，尸A_L平面ABC,PA=AB=2,AC=4,三棱锥尸-A3C的四个顶

点都在球。的球面上，则球。的表面积为

【解析】三棱锥产一ABC将四个面都为直角三角形，所以只能〃13C为直角，将三棱锥补

成长方体，可得PC为球。的直径，PC=J4+16=2区：.球。的半径为瓜：.球0的

表面积为4%-5=20〃

例题4：在四面体S-ABC中，AB1BC,AB=BC=RS4=SC=2,S3=,则该

四面体外接球的表面积是

【解析】因为A3_L3C,A8=8C=忘，所以AC=S4=SB=2,设AC的中点为。，连

接AD,则三角形S4C的外心Q为在线段上，且。。=！4。=等，又三角形A3。

的外心为。，又山L4CBDAC，所以AC1平面SOB,过。垂直于平面ABC的直

线与过。垂直于平面S4C的直线交于点。，则。为四面体外接球的球心,

在三角形SDB中，由余弦定理得cos/SQ5=—虫

3

所以sinNO。。=sin(ZSDB-1)=-cosZSDB=餐,

所以Of}1=0}DxtanZODO]=

3

设外接圆半径为/?,则R2=5。：+。。；=],所以5=4乃尺2=6%

【小结】解答本题的关键：（1）由条件中垂直确定球心在平面ABC上的投影为AA3C的

斜边AC中点；（2）由条件中垂直确定球心在平面S4C上的投影为ASAC的外心；（3）由

（1）（2）确定出球的球心.

变式3：半径为1球内切于正三棱锥P-A3C中，此正三棱锥体积最小值为

【解析】设正三棱锥P-4SC的底面积为品，侧面积为3S,高为川，斜高为兄，底面边长为。，内切球

111aor4"

的半径为人由等积转换得「=lSo/=]So.¥+3.]S,,SPA=1+—,?./z-l=—,

~Ta

2

：.h-\=楞}+12,.•.S-1尸=12"：U，解得a3=,V=-^-^h=-（h>l）,

aah—2h34h—2

7二/'=丁），令'=0得及=4,故当&=4时，心=873.

（力-2）

变式4：在正三棱锥V—ABC内，有一半球，其底面与正三棱锥的底面重合，且与正三棱

锥的三个侧面都相切，若半球的半径为2,则正三棱锥的体积最小时，其高等于.

【解析】由题意，设侧棱长为a,底面边长为匕，

Vv-ABC=gx号b。x,_；匕2=3x；x—Ja?一；/x2,.

b4-36b2

化简可得/

3("-48)

=3X'XL

,,*V-ABC32

令从-48=/>0,/•⑺=5+48）-,

t

，/e3«+4吗”+48）；2（，+4誉-24）,故可知=加4）,

,,,b4-36b2

即当-48=24=>=72时，三棱锥•体积取到最小值，此时高。~=—；-------=36,

3（/—48）

h=Ja2T2=,36-24=2百.

【小结】本题半球与三棱锥的组合体中的最值问题，解答时注意到球的半径为球心（底面三

角形中心）到侧面的距离，然后通过建立函数来解决

变式5：如图，已知平面四边形A5CO满足A8=A£>=2,NA=60°,NC=9（,将

A4BZ）沿对角线3。翻折，使平面ABQL平面C5。，则四面体ABCD外接球的体积为

【解析】由题意可知，△48。是等边三角形，找到△ABO的中心/，作GF，平面ABD,

由题意可知，外接球的球心在直线GF上

由等边三角形的性质，有AF上BD=E,利用面面垂直的性质可知：AEJ_平面8CQ,

则外接球的球心在直线AE上

结合AEcG尸=尸可知点F为外接球球心，外接球半径A尸为△48。的外接圆圆心

22

设外接球半径为R,则------=2R,;.