2019电大经济数学基础期末考试试卷及答案

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2019最新电大经济数学基础期末考试试卷及答案

《经济数学基础》形成性考核册(一)

一、填空题

..x-sinx居4

l.hm---------=.答案：1

'x2+1Y=60

2.设/(幻='，在x=0处连续，则左=__________.答案1

、k、x=0

3.曲线y=6+1在(1,1)的切线方程是.答案:y=l/2X+3/2

4.设函数/(X+1)=X2+2X+5,则/'(X)=.答案2x

jr71

.答案：-

5.设f(x)=xsinx,则/"(/)=~2

二、单项选择题

1.当X—>+oo时,下列变量为无穷小量的是(D)

X2sinx

A.ln(l+x)B.------C.e/D.

1x

2.下列极限计算正确的是(B)

A』inXlB.liW「sinx1

m=lC.limxsin—=ID.lim------=I

•3°XXxX-»OOJQ

3.设y=lg2x,则dy=(B).

1」1,InlO,

A.——dxB.--------axC.------(LrD.—dx

2xxlnlOxx

4.若函数/(x)在点xo处可导，贝ij(B)是错误的.

A.函数/㈤在点沏处有定义B.limf(x)=A,但AH/(XO)

C.函数/(划在点的处连续D.函数/⑴在点的处可微

5.^/(—)=x,则/(%)=(B).

X

11I1

A.—B.c.一D.——

xx2xx

三、解答题

1.计算极限

本类题考核的知识点是求简单极限的常用方法。它包括:

⑴利用极限的四则运算法则；

⑵利用两个重要极限；

⑶利用无穷小量的性质(有界变量乘以无穷小量还是无穷小量)

⑷利用连续函数的定义。

(1)\imX~~3v+2

—x2-1

分析：这道题考核的知识点是极限的四则运算法则。

具体方法是：对分子分母进行因式分解，然后消去零因子，再利用四则运算法则限进行计算

nn商一「(x—l)(x—2)x—21—21

解：原式=hm---------------£=lim==一一

—I(x+l)(x-l)—1+11+12

,..x~—5x+6

(2)lim------------

2%--6x+8

分析：这道题考核的知识点主要是利用函数的连续性求极限。

具体方法是：对分子分母进行因式分解，然后消去零因子，再利用函数的连续性进行计算

解：原式=limI-2)(*-3)=]而=_L

x~>2(工_2)(工一4)x-42-42

..J1一%-1

(3)lim------------

XTOx

分析：这道题考核的知识点是极限的四则运算法则。

具体方法是：对分子进行有理化，然后消去零因子，再利用四则运算法则进行计算

[.\—x—1..1

解：原式=lim=hm----.-----=lim-

XTOx(Jl-x+1)2"("二*+1)3Jl—x+12

(4)lim25~3-V+45

+2x+4

分析：这道题考核的知识点主要是函数的连线性。

35

+2

版百Txx2-0+02

解：原式=hm-----------——-----------——

―3+2+43+0+03

xx2

丁、sin3%

(5)lim--------

xf。sin5x

分析：这道题考核的知识点主要是重要极限的掌握。

具体方法是：对分子分母同时除以X,并乘相应系数使其前后相等，然后四则运算法则和重要极限进行计算

sin3xsin3x

与clim

33.9o3v3

解：原式=limB-X—=—X-----------

1osin5x55..sin5%515

lim

5xa。5X

一一4

(6)lim----------

x—2sin(x-2)

分析：这道题考核的知识点是极限的四则运算法则和重要极限的掌握。

具体方法是：对分子进行因式分解，然后消去零因子，再利用四则运算法则和重要极限进行计算

解：原式=lim(X+2)(%-2)-=lim(x+2)xlim-%-2=4x1=4

12sin(x-2)x^2sin(x-2)

xsin—+£>,x<0

x

2.设函数/(x)=《a,x=0,

问：(1)当a)为何值时，/(x)在x=0处极限存在？

(2)当a,分为何值时，/(x)在x=0处连续.

分析：本题考核的知识点有两点，一是函数极限、左右极限的概念。即函数在某点极限存在的充分必要条件是该点左

右极限均存在且相等。二是函数在某点连续的概念。

解：(1)因为/")在尤=0处有极限存在，则有

limf(x)=limf(x)

x->0~x->0+

又limf(x)=lim(xsin—+/7)=b

XT。-KT%

「sinx।

limf(x)=lim-----=1

XTO+J

XTO+x

即8=1

所以当a为实数、8=1时，/(尤)在x=()处极限存在.

(2)因为/(x)在x=0处连续，则有

lim/(x)=lim/(x)=/(O)

xf(rXTO"

又/(O)=a,结合(1)可知a=b=l

所以当a=8=l时，/(尤)在x=O处连续.

3.计算下列函数的导数或微分：

本题考核的知识点主要是求导数或(全)微分的方法，具体有以下三种:

⑴利用导数(或微分)的基本公式

⑵利用导数(或微分)的四则运算法则

⑶利用复合函数微分法

2X2

(1)y=x+2+log2x-2,求y'

分析：直接利用导数的基本公式计算即可。

解：y'=2x+21n2+—1―

xln2

'cx+d

分析：利用导数的基本公式和复合函数的求导法则计算即可。

〃力,(ax+b)'(cx+d)-(ax+b)(cx+d)'a(cx+J)-(ax+b)cad-bc

解：y=------------------------------=------------------=---------

(cx+df(cx+d):(cx+d)?

(3)y=」­=,求y'

■yJ3x—5

分析：利用导数的基本公式和复合函数的求导法则计算即可。

—1--13—

解：上侬-5)2],=-”-5)2(3-5),=-”，-5)2

(4)y=Vx-xex,求V

分析：利用导数的基本公式计算即可。

x2xx

解：y=(X2y-{xeS=-^x-e-xe

分析：利用导数的基本公式和复合函数的求导法则计算即可。

(5)y=eaxsinbx,求dy

解：y=(ax)f^Anbx—e(lx=aeaxsinbx-beaxcosbx

dy=ydx=(aeCLXsinbx—he(acosbx)dx

i

(6)y=ex+xVx,求dy

分析：利用微分的基本公式和微分的运算法则计算即可。

-3-13--13-

解：yf=(e")'+(工2)'=2"(一)'+—尤？=———x2

x2x2

ex3~

dy=ydx-(----+^x2)dx

(7)y=cosVx-e-r,求dy

分析：利用导数的基本公式和复合函数的求导法则计算

fv2zz-2snv

解：y=(cosVx)"-(e-)=-sinVx(Vx)-e^(-x)"=_^^+2xe-

28

(8)y=sin〃x+sin〃x,求y'

分析：利用导数的基本公式和复合函数的求导法则计算

解:yf=[(sinx)〃]'+(sin〃x)'=n(sinx)w",(sinx)'4-cosnX^x)r=〃(sinx)〃7COSX+MCOSHX

(9)y=ln(x-l-vl+x2)»求V

分析：利用复合函数的求导法则计算

1I-----11

解：/=——==(x+V1+X2)'=——I-----(1+((1+尤2)2丫)

X+J1+尸X+J1+X2

1Z11Z121T1X+Jl+犬21

=----,-----(l+-(14-x2)2x2x)=----------x-....=-----

X+v1+x~2x+V1+x~Vl+A/1+x~

,、_co«-1+V?-V2x-,

(10)y=2"d------尸-----，求y

A

分析：利用导数的基本公式和复合函数的求导法则计算

1315

---一

siJ」LLsin*1X2+X6o

解：y=(2')'+(x2)，+(》6)，_(伪，=2'In2(sin-y2-6--

S，n

c*1WL,1-j1-2"In211~

=2xin2(---)(—)——x2+-x6=—z--------x2+—x6

cosxx26xcosx26

4.下列各方程中y是x的隐函数，试求y'或dy

本题考核的知识点是隐函数求导法则。

(1)X+9一个+3%=],求⑥

解：方程两边同时对X求导得：

(丁)'+(丁)，_(孙)，+(3幻'=⑴'

2x+2yyr—y—xyr+3=0

2-2x-3

2y-x

dy=yrdx=———————dx

2y-x

(2)sin(x+y)4-=4x,求y'

解：方程两边同时对x求导得：

cos(x+y)x(x+y)f+exyx(xy)r=4cos(x+y)x(1+y')+exyx(y+xyf)=4

y(cos(r+y)+W)=4-cos(x+y)-yexy

xy

f_4-cos(x+y)-ye

cos(x+y)+xexy

5.求下列函数的二阶导数：

本题考核的知识点是高阶导数的概念和函数的二阶导数

(I)y=ln(l+x2),求y〃

解:八占

(1+/)'2x

1+x2

"2%，2(1+厂)—2x(0+2x)2—2r

,=(i77')=(i77p=(i+%2)2

1—x

(2)y=/，求y”及y〃⑴

7x

1—r1-21」

解：y，=(一)'=(x2y_*2)，=_-x2--x2

22

3

3—1N

2-X2+—X2=1

■2222244

五、应用题(本题20分)

1.设生产某种产品q个单位时的成本函数为：C(q)=100+0.25q2+6q(万元)，

求：(1)当q=10时的总成本、平均成本和边际成本;(2)当产量q为多少时,平均成本最小？

解：(1)总成本C(q)=100+0.25<72+6q,

平均成本C(q)=+0.25q+6,

q

边际成本C<q)=0.5q+6.

所以，C(10)=100+0.25x102+6x1。=185(万元)，

_inn

C(10)=—+0-25X10+6=18.5(万元)

C'(l0)=0.5x10+6=11.(万元)

(2)令C(/=一堂+0.25=0,得4=20(4=-20舍去).

q-

因为q=20是其在定义域内唯一驻点，且该问题确实存在最小值，所以当q=20时，平均成本最小.

2..某厂生产某种产品q件时的总成本函数为C(q)=20+4q+0.01/(元)，单位销售价格为〃=14-0.00(元/件)，问产量

为多少时可使利润达到最大？最大利润是多少.

解：成本为：C(q)=20+4q+0.01/

收益为：R(q)=qp=\Aq—0.0\q2

利润为：L(q)=R(q)-C(q)=10q-0.02g2-20

L'(q)=10—0.0曲，令L'(q)=10-0.0%=0得，q=250是惟一驻点，利润存在最大值，所以当产量为250个单位时

可使利润达到最大,且最大利润为L(25。=1Ox250-0.02x25O2-20=1230(元1

3.投产某产品的固定成本为36(万元),且边际成本为C'(q)=2q+40(万元后台).试求产量由4百台增至6百台时总成本的增量,

及产量为多少时，可使平均成本达到最氐.

解：成本函数为：C(q)=J。(2x+40)dx+36

当产量由4百台增至6百台时，总成本的增量为

△C=[(2x+40)dx=x2M0x|：=100(万元)

,/C(q)=「(2x+40)dx+36=/+4Qy+36

-36

C(q)=q+40+—

q

36—'36

C(g)=I一一，令C(g)=1-一r=0得，q=6,q=-6(负值舍去%q=6是惟一驻点，平均成本有最小值，所以当

q"q"

X=6(百台)时可使平均成本达到最1氐.

3,投产某产品的固定成本为36(万元)，且边际成本为C(q)=2q+60(万元/百台).试求产量由4百台增至6百台时总成本

的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到局氐。

解：成本函数为：C(q)=1(2x+60)dx+36

当产量由4百台增至6百台时，总成本的增量为

AC=£(2x+60)dx=x2I4+60x|；=140(万元)

C(q)=J：(2x+60)dx+36=q2+6%+36

-36

C(q)=q+60H---

q

36一'36

C(q)=l一一r，令C(q)=l--；•=()得，q=6,q=-6(负值舍去%q=6是惟一驻点，平均成本有最小值，所以当

q-q-

X=6(百台)时可使平均成本达到最低。

4.已知某产品的边际成本C'(q)=2(元/件)，固定成本为0,边际收益R'(q)=12-0.0%,求：①产量为多少时利润最大？

②在最大利润产量的基础上再生产50件，利润将会发生什么变化？

解：边际利润为:L'(q)=R'(q)-C'(q)=10—0.0%

令L'(q)=0得，q=500。q=500是惟一驻点，最大利润存在，所以

①当产量为500件时，利润最大。

1•550

②△£=「(10-0.02x)Jx=1Qx霹-0.0£制=_25(元)

即利润将减少25元。

5.已知某产品的边际成本为C'(")=4“一3(万元信台)，q为产量(百台)，固定成本为18(万元)，求最低平均成本.

解：因为总成本函数为

C(q)=J(4q-3)dq=2q2—3q+c

当夕=0时，口0)=18,得c=18,即

qq)=2q~—3q+18

又平均成本函数为

A(q)=皿=2”3+竺

qq

[8

令A'(q)=2一-7=0,解得q=3(百台)

q-

该问题确实存在使平均成本最低的产量.所以当X=3时，平均成本最1氐.最底平均成本为

1Q

A(3)=2x3-3+—=9(万元台)

6、已知生产某产品的边际成本为C'(q)=4+q(万元/S台),收入函数为R(q)=l()q-g/(万元)，求使利润达到最大时的产量,

如果在最大利润的产量的基础上再增加生产200台，利润将会发生怎样的变化？

解：边际利润为:L'(q)=R'(q)-C'(q)=10—q—4—g=6—2q

令L'(q)=0得，q=3g=3是惟一驻点，而最大利润存在，所以当产量为3百台时，利润最大。当产量由3百台增加到5百台

时，利润改变量为

AL=J：(6-2x)dx=6xg-x2=6x(5-3)-(52-32)

=12-16=-4(万元)即利润将减少4万元。

7..设生产某产品的总成本函数为C(x)=5+x(万元)，其中x为产量,单位：百吨.销售x百吨时的边际收入为R'(x)=11—2x(万

元吨)，求：⑴利润最大时的产量；⑵在利润最大时的产量的基础上再生产1百吨，利润会发生什么变化？

.解：⑴因为边际成本为C'(x)=1,边际利润

L\x)=R'(x)-C'(x)=10—2x

令L\x)=0,得x=5可以验证x=5为利润函数L(x)的最大值点.因此，当产量为5百吨时利润最大.

⑵当产量由5百吨增加至6百吨时，利润改变量为

AL=J；(l0—2x)dx=(1Ox-x2)，

=-1(万元)

即利润将减少1万元.

8..设生产某种产品九个单位时的成本函数为：C(x)=100+Y+6x(万元)，

求：⑴当x=10时的总成本和平均成本；⑵当产量x为多少时，平均成本最小？

.解：⑴因为总成本、平均成本和边际成本分别为：

C(x)=100+x2+6x

m)=%x+6,

x

所以，C(10)=100+1x1()2+6x10=260

_inn

C(10)=—+1x10+6=26,

10

100,

⑵C(x)x=---—+1

x

令C(x)=0，得x=10(x=TO舍去)，可以验证x=10是C(x)的最小值点，所以当x=10时，平均成本最小.

15.某厂生产某种产品Q千件时的总成本函数为C(q)=l+2G+d(万元单位国售价格

为P=8-2q(万元/千件)，试求：(1)产量为多少时可使利润达到最大,(2)最大利润是多少？

15.解：(1)由已知得R=“》=g(8—2g)=的-2寸

利润函数

L=R—C=8g—2/—〔1+2g+/)=6q—1—3/

从而有

L'=6-6q

令L'=0,解出唯一驻点g=1,可以验证g=l是利润函数的最大值点，所以当产量为

1千件时可使利润达到最大.

(2＞最大利润为

L⑴=6-1-3=21万元)

线性代数计算题

-1I3

1、设矩阵A=1-15求(1+A)L

1-2-1

-100---113一013

解：因为I+A=010+1-15=105

0011-2-11-20

-0310o-ri05010

[I+A/]=105010―013100

1-200010-2T0-11

105010100-106-5

-013100T010-53-3

0012-110012-]1

-106-5

所以，(/+A)T=-53-3

2-11

0-1-3

2、设矩阵力=-2-2-7，/是3阶单位矩阵，求（/—A）L

-3-4-8

113

解：因为/一A=237

349

1131001「113100

(I-A/)=237010-»011-210

349001010-301

1023-101001-32

-011-210^010-301

00-1-1-11J|_00111-1

1-32

所以（/—A）-：-301

11-1

3

102]

3.设矩阵/=,B=2，计算

1-2

1

3

1-21

.解：因为43=2

4-1

-21101F-2110

[ABI）=T

4121

-200]_]_

22

0121

11

--

以

所22

21

0121

4、设矩阵A-114,B0，求A%

2-10-1

解：求逆矩阵的过程见复习指导P77的4,此处从略。

1

；所以，A-'B3

1212

5..设矩阵4、B，求解矩阵方程XA=B,

3523

12102100-5210-52

解：->

35010-I-30-1-31013-1

-1-1O-一T

6..设矩阵A=-121,B=-1

2231

.解：利用初等行变换得

1-1O1OO''1-10100

-121010T011110

223001043-201

1-101001-10100

—>011110->010-5-31

00-1-6-4100164-1

100-4-3--4-31

010-5-31即A~'=-5-31

00164-164-1

由矩阵乘法得

-4-3

A-'B=-5-3

64

2%[—5xj—3光3=—3

项+当=的一股解.

1.求线性方程组《2X2-63

—2项+14々—6当=12

.解：因为增广矩阵

2-5-3-312-6310-41

A=12-630一99-9->01-11

-214-612/p>

X]=4*3+1

所以一般解为（其中当是自由未知量）

x2=X3+1

匕

X]+2X3-=0

.求线性方程组＜当+的一般解.

2-%1+X2-32X4=0

2xt-x2+5X3-3X4=0

解：因为系数矩阵

102-1102-1102-1

A-11-3201-1101-11

2-15-30-11-10000

x,=—2x-,+

所以T殳解为《（其中与，匕是自由未知量）

x2=x3—x4

3、当力取何值时，齐次线性方程组

$-3X2+*3=0

・2%—5/+3七=0有非。解？并求一般解。

3^-8X2+疝3=0

1-311-31104

解：因为系数矩阵A=2-53011011所以当％=4时，该线性方程组有无穷多解，且一

3-8A.012-3002-4

x.=-4x,

）③（其中七是自由未知量I

）%2=一尤3

4、问当A取何值时，线性方程组

<2项+/+7/+3匕=6有解，在有解的情况下求方程组的T殳解.

9X1+7尤2+4》3+x4=4+1

解：方程组的增广矩阵

11-2-1-211-2-1-2

A=21736-0-111510

97412+1]|_0-222102+19

11-2-1-21-2-1-2

-01-11-5一10-01-11-5-10

00002-10000/l-l

10948

01-11-5-10所以当/I=1时，方程组有解；

0000/1-I

=8-9.-4X4

T殳解为：〈（其中》3,是自由未知量）

x2=-10+llx3+5X4

+巧+

2xi-%2%4=1

《

5.X,+2X2-X3+4X4=2

$+1x2-4X3+1lx4=5

2-111112-142

解：A12-142f0-53-7-3

17-411505-373

164

1O---

一1242555

0373

573fo1--

0-1555

0-3。00OO000

164

X]=--x3----X4H--

所以，方程组的一般解为：《'',?（其中当,％4是自由未知量）

X+

/=-^3~J4-

6.求线性方程组

再-

3X2-2X3-x4=1

V3^1—8々—4/—%4二°

—2X1+X）—4/+2%4—1

一$一2%2—6工3+%=2

.解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形

1-3-2-111-3-2-11

3-8-4-100122-3

->

-21-4210-5-803

-1-2-6120-5-803

1-3-2-11100-1516

0122-3010-89

00210-120015-6

0000000000

-15x4=16

此时齐次方程组化为\

X2-胱=9

尤3+5X4=-6

得方程组的T殳解为

%=16+15*4

<x2=9+8X4其中匕是自由未知量.

x3=-6-5X4

7..当4为何值时，线性方程组

项一々一5刍+4X4=2

2苞-x+3X-x=1

<234

3xl-2X2-2X3+3X4=3

7%j-5X2-9X3+10x4=A

有解，并求T殳解。

-1-1-542--1-1-542

_2-13-110113-9-3

解：A=一

3-2-2330113-9-3

_7-5-9100226-182-14

1-1-542108-5-1

0113-9-30113-9-3=-8%3+54—1

所以，当4=8时，有解。一般为：《(

00002-800002-8——13巧+9%—3

0000000000

中13，i4是自由未知量）

V微分计算题

试卷

1.设y=esinx+cos5x,求dy.

.解：因为V=e"1nx(sinx)'+5cos4x(cosx)f

=es,n;vcosx-5cos4xsinx

所以dy=(esiacosc-5co^xsinx)dx

2.计算积分jxinxdx.

2e

「eX.1fe

.解：xlnxax=——mx——x2a(lnr)

Ji??Ji

3.设丁=600"+;(;五，求dy.

13I

.解：y=eM(cosx)，+(x2y=ecos2A(-sinx)+-x2

dy=(—/-sinxeco2A)dx

,1

sin—

4..计算积分f-^dx.

Jx

.1

sin

r-r111

.解：一#dx=-sin—d(—)=cos—+c

JxJxxx

5..设y=eanx+tanx,求dy.

.解：由导数运算法则和复合函数求导法则得

dy=d(e"g+tanx)=d(es,nx)+d(tanA)

=es,nAd(sinx)H---—dx-es,nxcosxdx-1----—dx

COSXCOSX

-(es,nxcosx+―-)dx

cosx

....10分

解：由不定积分的凑微分法得

jg^=2je«dg=2e«+c

7x

7..已知=2"sin/,求y.

.解：由导数运算法则和复合函数求导法则得

V=(2]sinx2y=(2X)'sinx2+2X(sinx2)'

=2XIn2sinr2+2Xcosc2(x2)'

=2VIn2sinx1+2x2xcosx2

n

8.计算[22XCOSM¥.

J0

.解：由定积分的分部积分法得

jJ2xcosxdx=2xsinx|2-j2sjnX^2X

作业

(1)y=«-xe",求y'

解：y'=(五)'—(xe')'=1—(x)'e'-x(e')'=)—(1+x)e'

2y/x2jx

(2)y=eaxsinbx，求dy

解：y'=sinbx-(eav)'+・(sin〃x)'=sinbx.e"・(ax)'+e'"•cos/?x-(bx)r

=e(lxasinbx+eaxbcosbx

dy=yrdx=e⑪(asinbxdx+hcoshx)dx

(3)y=e*+xy[x,求dy

3r-1-

解：dy=y'dx=(—"x---e^)d¥

2x

---1313/-1-

y=(eA)+(x2)=ev(—)+—x2=—Jx——-ex

x22x

(4)y=cosVx-e-r,求dy

解：=(cos4)'-(ef)'=-sin五•(4)'-e*•(丁)'=2起一'-

2Vx

」，」zo-sinVx..

/.dy=yax-(2xe----^)dx

2y/x

(5)y=ln(x+Jl+t)，求V

12元

I-----I-----IH---.r

短,*+&+/)，l+(Jl+/)，2川+/

解：y=-----”--=------=-----—

X+71+X2X+Jl+.2x+Jl+d

1+Jl+元2I

(X+Jl+X，)Jl+X、Jl+尤2

(6)jxy/T^-^dx

解：原式=gj亚工7d(江=3.2+/)3(2+尤2)=，(2+%2)5+c

rsinVx,

(7)—7=-dx

JJX

解：=2jsiny[xd(yfx)=-2cosy[x+C

r.x.

(8)Jxs\n—dx

解:原式=2jxsin^6/(-^)=-2JAZ/(COS=-2xcos-^+2jcos^dx

XX

=-2Cxcos—+4Afcos—6」f(/—%\)=-r2xcos—1+4si.n—X+「C

2J2222

(9)jln(x+l)dx

解：方法1

原式=jln(x+l)d(x+1)=(x+1)ln(x+1)-j(x+l)dln(x4-1)

re1,

(11),dx

J1xVl+lnx

解：原式=—d(lnx+l)=2jl+lnx1=2(Jl+lne3-Jl+lnl)=2

J1Jl+lnx

冗

(12)[2xcos2xdx

Jo

解：xcos2xd(2x)=x^(sin2x)=­xsin2x|g--j^sin2xdx

1-1